2022年高二数学直线的方程.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高二数学 :直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用一、教学要求：1、通过本内容的学习,充分懂得直线的方程与方程的直线的关系,加深对几何问题坐标化的懂得2、争论直线方程的五种形式及相关公式,留意直线方程的五种形式中除一般形式外,均有不能表示的直线,否就可能丢解3、懂得直线方程的常数参数的几何意义4、两直线平行垂直的判定与应用 5、到角与夹角公式二、重难点分析：一 直线方程五种形式及限制条件名称方程常数的几何意义k 为直线不能表示的直线点斜式y-y1=kx-x 1 x1,y1为直线上的肯定点,x=x 1的斜率斜截式y=kx+b k 为直线的斜率, b 为直线在 y 轴上x=x 1的截距两点式x1,y1,x 2,y2是直线上的两定点x=x 1y=y 1截距式a 是直线在 x 轴上的截距, b 是直线与 x 轴、 y 轴垂直的直一般式Ax+by+c=0 在 y 轴上的截距线和过原点的直线A、 B、C 为系数无A2+B2 0说明：点斜式处于中枢位置,是最基本的形式,也是推导其它形式的基础；对其它形式要牢记它的适用范畴,有哪些不能表示的直线,并且能敏捷地互化；一般式是对各种详细形式的概括,因此理论上很重要；二 方程的推导 1.点斜式 留意：1点斜式是最基本的形式,也是推导其它形式的基础；它的推导是直接法求曲线的方程的典型应用,在推导过程中把握以下几点：1 直线的定义：过定点且保持运动方向不变的点集；2 通过斜率公式将结合条件坐标化： 3由斜率公式的限制条件,导致对xx l 和 x=x 1 的分类争论； 4 能合并的尽量合并；2通过点斜式的推导,进一步熟识求曲线方程的方法,加深对曲线的方程的懂得,留意体会变形中如 何保证等价性；3写直线方程时保证 1x ,yR； 2 等价变形,结果会不会缩小或扩大曲线,满意曲线的方程定义的 两条；4在详细求解问题时,点斜式不能表示的直线需单独进行争论；简单丢解；2. 斜截式名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如直线 L 的斜率为 k,在 y 轴上的截距为 b,就直线 L 过点 0, b,由点斜式方程知,直线 L 的方程为 y-b=kx 即 y=kx+b. 注：截距是数量值,而不是长度值；3. 两点式如直线 L 过点 x1,y 1、x 2, y2,且 x 1 x2,y 1 y2就直线 L 的斜率为,由点斜式方程知直线 L 的方程为留意：与其它两种写法的区分：方程：表示的不是整条直线,不包括点 x1, y1,所以它不符合纯粹性,不是所求曲线的x2-x1y-y 1=y 2-y1x-x 1可以表示过这两点的全部直线,而且对已知两点没有限制；4. 截距式如直线 L 在 x 轴上的截距为a,在 y 轴上的截距为b,即过点 a,0,0,b 当 a 0, b 0时,由两点式方程知,即为所求的截距式方程：当 a=0 且 b=0 时,直线 L 的方程为 y=kx 名师归纳总结 当 a, b 其中一个为0 时,不存在截距,不能表示与x 轴、 y 轴垂直的直线；x,y 的二元一次方第 2 页,共 9 页5. 一般式 Ax+By+C=0A2+b2 0第一、在平面直角坐标系中,对于任何始终条直线,都有一个表示这条直线的关于程；如：在平面直角坐标系中,每条直线都有倾角时,有斜率k,直线方程为y=kx+b ；当时, x=x1；他们都是关于x、y 的二元一次方程；其次、任何关于x、 y 的二元一次方程都表示一条直线；直线方程的一般式：Ax+By+C=0A2+B2 0当 B 0 时,其斜率为,在 y 轴上的截距为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 B=0 时,由于A、 B 不同时为零所以学习必备欢迎下载,它表示一条与y 轴平行或重合A 0,方程可化为的直线；综上,在直角坐标平面内,任何关于 x,y 的二元一次方程都表示一条直线；留意：对二元一次方程中限制条件 A2+B 2 0的懂得；三 直线的参数方程直线 L 过 P0x0, y0,方程向量为设 Px,y 是直线 L 上的任意一点,就所以有且只有一个实数t,使得,即 x-x 0 ,y-y 0=ta,b 四 直线的方向量方程：P55点向式方程：将参数方程消去参数 t,得点法式方程, 放到直线的位置关系后讲 过点 Px 0,y0,法向量为就 Ax-x 0+By-y 0=0 二、两条直线的位置关系及到角、夹角公式1. 平行与垂直1平行：1l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时,斜率不存在很简单判定两条直线是否平行；2l 1：A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0 时,2垂直：1l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时,2l1:A 1x+B 1y+C1=0,l 2:A 2x+B 2y+C=0 时,名师归纳总结 在详细问题中,可将与Ax+By+C=0 平行的直线设为Ax+By+m=0 ,垂直的直线设为Bx-Ay+m=0 第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2. 到角、夹角的概念与公式：1到角：设 l1、 l2 的斜率分别是 k 1、 k2, l1 到 l2 的角 ,就留意：到角的概念：l1 按逆时针方向 l 2,第一次重合 最小正角 的范畴： 0° < <180°；2l 1 与 l 2的夹角 ：规定形成角中不大于 90°的角叫两条直线的夹角； l1 与 l2 相交不垂直时是锐角,0° < <90°, l1与 l2相交垂直时： =90°；所以 的范畴； 0° < 90°夹角公式：3使用范畴：到角和夹角均不等于 90°不适于使用公式的情形,常用数形结合解决；如 l 1:x=3 与 l 2:y=2x+6 的夹角：画图：三、典型例题：例 1、已知直线y=kx+k+1 与 y=x 在第一象限内有交点,求k 的取值范畴；法一：法二： y=kx+1+1 ,过定点 -1,1, kAO=-1 如图,由于直线 y=kx+k+1 与 y=x 在第一象限内有交点, -1<k<1例 2. 求满意以下条件的直线方程1L 过点 M-2,1 ,且与点 A-1,2 , B3,0的距离相等；解：当直线 L 过 AB 的中点 C1,1, L 的方程为 y=1 当直线 L AB ,就设直线L 的方程为y-1=kx+2 因名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2L 被两直线 L 1：4x+y+6=0 , L 2:3x-5y-6=0 截得的线段中点恰为坐标原点；法一：设 L 的方程为 y=kx ,且 L 与 L2 交于点 a,b,与 L1 交于点 -a, -b 所以直线 L 的方程为法二：设 L 的方程为 y=kx ,且 L 与 L1 交于点 A,与 L 2 交于点 B,就由由题意知所以 L 的方程为进展 法一中 满意方程为什么？例 3. 直线 L 过点 P2,1,与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、 B 两点,求使1 ABC 面积最小时 L 的方程；法一：设直线 L 的方程为 y-1=kx-2 ,就当且仅当 时, Smin=4,此时直线方程为法二：设直线 L 的方程为名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ab8,当且仅当即学习必备欢迎下载时等号成立所以当面积最小时直线的方程为 x+2y=4 法三： 平面几何 当点 P 恰为直线 L 与 x,y 轴交点的中点时,面积最小,由于如图,就 NPE PAM ,所以 SBOA>SMAN ；2|OA|+|OB| 取最小值时 L 的方程；解：设直线 L 的方程为 y-1=kx-2 ,就当且仅当此时直线的方程为3|PA| ·|PB|取最小值时 L 的方程；解：设直线 L 的方程为 y-1=kx-2 ,就P 为 MN 中点,过 N 作 NE AM ,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当且仅当学习必备欢迎下载y=-x+3 即 k=-1 时|PA| ·|PB|min=4,此时直线方程为例 4. 设直线 L 的方程为 m2-2m-3x+2m2+m-1y-2m+6=0 ,试依据以下条件,分别求出m 的值；1L 在 x 轴上的截距为 -3； 2L 的斜率为 1；解： 12例 5. 已知点 A-2,3 和直线 l1:x-y+3=0 ,分别求过点A 且满意以下条件的直线l 的方程：1l 与 l1 的夹角为 45°； 2l 1 与 l 的角为 15°；解： 1法一：设直线 l 的方程为 y-3=kx+2 ,或 x=-2 由夹角公式知因 x=-2 符合题意,所以直线 l 的方程为 y=3 或 x=-2 法二：数形结合2设直线 l 的方程为 y-3=kx+2 ,由到角公式所以所求直线的方程为注：特别情形要单独解决；数形结合；例 6. 等腰三角形一腰所在直线l1 的方程为 x-2y-2=0 ,底边所在直线l 2 的方程是 x+y-1=0 ,点-2,0 在另一腰上,求这腰所在直线l 3 的方程；提示：例 7.1求点 P4,0关于直线 x+y+1=0 的对称点 P'；法 1：设 P'x',y',就直线 x+y+1=0 是线段 PP'的中垂线,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 法 2：由题意,直线学习必备欢迎下载PP'的斜率为 1,所以其方程为y=x-4 由,所以 P'-1,-5 法 3：设 P'x', y',由题意,直线 x+y 1=0 的方向向量为就又评 上面的两种方法中列方程组的本质是垂直、平分；记忆以下结果可以用于挑选、填空题点 Ax,y关于直线 x+y+c=0 的对称点的坐标是 -y-c,-x-c;点 Ax,y关于直线 x-y+c=0 的对称点的坐标是 y-c,x+c;曲线 fx,y=0 关于直线 x+y+c=0 的对称曲线是 f-y-c,-x-c=0曲线 fx,y=0 关于直线 x-y=c=0 的对称曲线是 fy-c,x+c=0；2求直线 l1:3x-5y-2=0 关于直线 l：y=x+1 对称的直线的方程；法 1： 可求出 l 与 l 1 的交点,再分别在 l1, l2上各找出一点,使它们关于 l 对称 由直线 l 与 l1 的交点为在 l 1 上找一点 M-1 , -1,设 Nx,y 为 M 关于直线 l 的对称点,因直线 l 2 过 P、N 两点,所以直线 l2 的方程为 5x-3y+10=0 法 2：设 Px1,y1是直线 l 1:3x-5y-2=0 上的任一点, P 关于直线 y=x+1 的对称点为 Qx,y 3y-1-5x 1-2=0 所以所求直线的方程为 5x-3y+10=0 法 3： 由对称性, l 1到 l 的角等于 l 到 l2 的角 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由法 1 知直线 l 与 l1 的交点为,设 l2 的斜率为 k,就,所以法 4：利用上面 1的结论直接求,但只能用于挑选填空；评 解法 1 与解法 3 利用了直线的特别性质,而解法 轨迹的方法；课后练习：2 是求轴对称曲线的一般方法,利用了求动点的1. 光线经过点,在直线 l:x+y+1=0 上反射,反射光线经过点B1,1 ,求入射光线所在直线的方程及反射点坐标；2. 已知 ABC 中, A 的平分线方程为 2x+y-1=0 , B1,2C-1,-1 ,求点 A 的坐标；3. 已知 ABC 中,一个顶点为 A4,-1,两条内角平分线所在直线分别为 x=1,x-y-1=0 ,求直线 BC的方程；4. 求直线 y=-4x+1 关于点 M2,3 对称的直线的方程；参考答案：名师归纳总结 1. 2. 3. y=2x+3 4. y=-4x+21 第 9 页,共 9 页- - 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