2022年高二数学解析几何知识点.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的概念： （1）倾斜角：当直线 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角；（2）倾斜角的范畴：当 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角 为 0°因此 0° 180°；2、直线的斜率（1）斜率公式： K=tan（ 90°）=0°90°（2）斜率坐标公式：K=y 2y 1（x 1 x2）x 2x 1（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角,但不肯定有斜率；当时,k=0 ；当 0°90°时,k0,且越大, k 越大；当=90° 时,k 不存在；当180°时, k0,且越大, k 越大；二、两直线平行与垂直的判定1、两直线平行的判定：（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°,即斜率不存在,就这两直线平行；（2）两条不重合的直线,如都有斜率,就k 1=k 2122、两直线垂直的判定：（1）一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在,就这两直线垂直；（2）假如两条直线 1、2的斜率都存在,且都不为 0,就 12 k1· k2= 1 已知直线 l 经过点 P x 0 , y 0 ,且斜率为 k ,就方程 y y 0 k x x 0 为直线的点斜式方程 . 直线 l 与 y 轴交点 0, b 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距（ intercept）.直线 y kx b叫做直线的斜截式方程 . 已知直线上两点 P x 1 , x 2 , P x 2 , y 2 且 x 1 x 2 , y 1 y 2 ,就通过这两点的直线方程为y y 1 x x 1 x 1 x 2 , y 1 y 2 ,由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直y 2 y 1 x 2 x 1线的两点式方程,简称两点式已知直线 l 与 x 轴的交点为 A a ,0,与 y 轴的交点为 B 0, b ,其中 a 0, b 0,就直线 l 的方程 x y 1 叫做直线的截距式方程 . a b留意 ：直线与 x 轴交点（ a ,0）的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距； 直线与 y 轴交点（0,b ）的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距 . 关于 ,x y 的二元一次方程 Ax By C 0（A ,B 不同时为 0）叫做直线的一般式方程,简称一般式（ general form ）留意 ：直线一般式能表示平面内的任何一条直线名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直线已知条件直线方程使用范畴名称点P x 1,y 1,kyy 1k xx 1k 存在斜式k,bykxbk 存在斜截式两x 1y 1yy 1xx 1P xx 1x 2PP 2x 2x 12y 2y 12. 点（x2y2y 2y 1x2x 1y 1y 2式截a,bxy b1a0距ab0式已知平面上两点P x y 1,2,y ,就特殊地：P x y 与原点的距离为OPC22 xy . ： 已 知 点P x0,y 0和 直 线l:AxByC0, 就 点 P 到 直 线 l 的 距 离 为 ：dAx 0ABy02C. 2B,l2:2王新敞已知两条平行线直线1lAxByC 10C1AxByC20,就1l 与2l 的距离为d2 AB1两直线的交点问题.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组A xB yC10,如方程组有唯独解,就两直线相交；如方程组有无A xB yC 20数组解,就两直线重合；如方程组无解,就两直线平行2直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转 化为代数问题来解决 . 3.坐标法的步骤：建立适当的平面直角坐标系,用坐标表示有关的 量；进行有关的代数运算； 把代数运算结果 “ 翻译” 成几何关系 . 点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式, 能把求两平行名师归纳总结 线的距离转化为点到直线的距离公式王新敞王新敞第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角；特殊地,当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度；因此,倾斜角的取值范畴是0° 180°（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率；直线的斜率常用 k 表示；即 k tan；斜率反映直线与轴的倾斜程度；当 0 , 90 时,k 0；当 90 , 180 时,k 0；当 90 时,k 不存在；过两点的直线的斜率公式：ky 2y 1x 1x 2x 2x 1留意下面四点： 1 当x 1x 2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90° ；2 k 与 P1、P2 的次序无关； 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到；（3）直线方程点斜式：y y 1 k x x 1 直线斜率 k,且过点 x 1, y 1留意： 当直线的斜率为 0° 时, k=0,直线的方程是 y=y1；当直线的斜率为90° 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1；斜截式：y kx b,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b两点式：y y2 yy 11 x x2 xx（x 1 x 2 , y 1 y ）直线两点 x 1, y 1,x 2, y 2截矩式：x y 1a b其中直线 l 与 x 轴交于点 ,0,与 y 轴交于点 0, b ,即 l 与 x 轴、 y 轴的 截距 分别为a b ；0（A,B 不全为 0）xa（a 为一般式：AxByC留意： 1 各式的适用范畴2 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：yb（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线A 0xB 0yC 00（A 0,B0是不全为 0 的常数）的直线系：A 0xB 0yC0（C 为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系：yyy0C 1kxx 0:,直线过定点x0, y 0；（）过两条直线l1:A 1xB 10,l2A 2xB2yC20的交点的直线系方程为名师归纳总结 A 1xB 1yC 1A 2xB 2yC 20（为参数）,其中直线2l 不在直线系中；第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （6）两直线平行与垂直当l1:yk 1xb 1,l2:yk2x2b 2时,1l 1/l2k 1k 2,b 1b 2；l 1lk 1k2留意：利用斜率判定直线的平行与垂直时,要留意斜率的存在与否；（7）两条直线的交点l 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 相交交点坐标即方程组 A 1 x B 1 y C 1 0 的一组解；A 2 x B 2 y C 2 0方程组无解 l 1/ l 2；方程组有很多解 1l 与 2l 重合（8）两点间距离公式： 设 A x y 1 ,（B x 2 , y 2）是平面直角坐标系中的两个点,就 | AB | x 2 x 1 2 y 2 y 1 2（ 9 ） 点 到 直 线 距 离 公 式 ： 一 点 P x 0, y 0 到 直 线 l 1 : Ax By C 0 的 距 离Ax 0 By 0 Cd 2 2A B（10）两平行直线距离公式在任始终线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解；二、圆的方程名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、圆的定义： 平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径；2、圆的方程a2yb2r2,圆心a,b,半径为 r；（1）标准方程x（2）一般方程x2y2DxEyF0当D2E24F0时 , 方 程 表 示 圆 , 此 时 圆 心 为D,E, 半 径 为22r1D2E24F0时,表示一个点；当D2E24F0时,方程不表示2当D2E24F任何图形；（3）求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法： 先设后求； 确定一个圆需要三个独立条件,如利用圆的标准方程,需求出 a,b,r；如利用一般方程,需要求出 D,E,F；另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置；3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离, 相切,相交三种情形, 基本上由以下两种方法判定：（1）设直线 l : Ax By C 0,圆 C : x a 2y b 2r 2,圆心 C a , b 到 l 的距离 为 d Aa2 Bb2 C, 就 有 d r l 与C 相 离；d r l 与C 相切；A Bd r l 与C 相交（2）设直线 l : Ax By C 0,圆 C : x a 2y b 2r 2,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为,就有0 l 与 C 相离；0 l 与C 相切；0 l 与C 相交注：假如圆心的位置在原点,可使用公式 xx 0 yy 0 r 2去解直线与圆相切的问题,其中 x 0, y 0 表示切点坐标, r 表示半径；3过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r 2,圆上一点为 x0,y0,就过此点的切线方程为 xx 0 yy 0 r 2课本命题 圆 x-a 2+y-b 2=r 2 , 圆 上 一 点 为 x0 , y0 , 就 过 此 点 的 切 线 方 程 为x0-ax-a+y 0-by-b= r 2 课本命题的推广 4、圆与圆的位置关系： 通过两圆半径的和（差） ,与圆心距（ d）之间的大小比较来确定；名师归纳总结 设圆 C 1: x a 1 2y b 1 2r 2,C 2: x a 2 2y b 2 2R 2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ,与圆心距（ d）之间的大小比较来确第 5 页,共 10 页定；当dRr时两圆外离,此时有公切线四条；当dRr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；当RrdRr时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；当dRr时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；时,两圆内含；当 d 0 时,为同心圆；当dRr- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 选修内容：椭圆把平面内与两个定点 1F ,F 的距离之和等于常数（大于 F F 2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距即当动点设为 M 时,椭圆即为点集 P M | MF 1 MF 2 2 a椭圆的简洁几何性质2 2范畴：由椭圆的标准方程可得,y2 1 x2 0,进一步得：a x a ,同理b a可得：b y b ,即椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形框图里；对称性：由以 x 代 x,以 y 代 y 和 x 代 x ,且以 y 代 y 这三个方面来讨论椭圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以x轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心；顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统肯定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴； 离 心 率 ：椭 圆 的 焦 距 与 长 轴 长 的 比ec a叫 做 椭 圆 的 离 心 率 （0e1）,当e1 时,ca,b0；当e0 时,c0,ba椭圆图形越扁椭圆越接近于圆椭圆的其次定义当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e c 0 e 1 时,这a个点的轨迹是椭圆定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e是椭圆的离心率2 2 2对于椭圆 x2 y2 1,相应于焦点 F c 0, 的准线方程是 x a依据对称性,相应于焦a b c2 2 2 2点 F c 0, 的准线方程是 x a对于椭圆 y2 x2 1 的准线方程是 y ac a b c可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义名师归纳总结 |由|椭圆e的第二定义|MF |e可得：右焦x半径公式为第 6 页,共 10 页dMF右ed|xa2|aex；左焦半径公式为|MF左|ede|a2|aexcc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形；名师归纳总结 性质一 ：已知椭圆方程为x2y21 ab0,两焦点分别为F 1F 2,设焦点三角形第 7 页,共 10 页a2b2PF 1F 2中F 1PF 2,就SF 1PF2b2tan2；2c 2F 1F22PF12PF222PF1PF2cosPF 1PF 222PF 1PF 21cosPF 1PF2PF 12 1PF 224 c242 a4 c212 b2cos2 1coscos,设焦点三角形SF PF 121PF 1PF2sin12 bsinb2tan22cos性质二 ：已知椭圆方程为x2y21 ab0,左右两焦点分别为F 1 F 2a2b2PF 1F 2,如F 1PF 2最大,就点P为椭圆短轴的端点；PF 22 4 c证明：设P x oyo, 由焦半径公式可知：PF1aex o,PF1aex o在F 1PF 2中,cosPF 122PF122F 1F22PF 1PF222PF 1PF1PF2PF 1PF 214 a24 c212 a4 b2aex o1=a22 b22 ox2PF 1PF 2ex o2 eax0a2 xoa2设焦点三角形性质三 ： 已知椭圆方程为x2y21ab0,两焦点分别为F 1F 2,a2b2PF 1F2中F 1PF 2,就cos12e2.证明 ：设PF 1r 1,PF 2r2,就在F 1PF2中,由余弦定理得：cos2 r 12 r 2rF 1F22r 1r222 r 12 r 1r24 c22 a2r 12 2 c12r 12r 22r 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2a222 c212a22c21122 e.命题得证；2r1r222 a2双曲线把平面内与两个定点F ,F 的距离的差的肯定值等于常数（小于F F 2）的点的轨迹叫做双曲线 （hyperbola ）其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦距即当动点设为M 时,双曲线即为点集PMMF1MF22a 双曲线的简洁几何性质2 2范畴：由双曲线的标准方程得,y2 x2 1 0,进一步得： x a ,或 x a 这b a说明双曲线在不等式 x a ,或 x a 所表示的区域；对称性：由以 x 代 x,以 y 代 y 和 x 代 x ,且以 y 代 y 这三个方面来讨论双曲线的标准方程发生变化没有,从而得到双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴, 原点为对称中心；顶点：圆锥曲线的顶点的统肯定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点 因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称轴叫做实轴,焦点不在的对称轴叫做虚轴；2 2渐近线：直线 y b x 叫做双曲线 x2 y2 1 的渐近线；a a b离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e c叫做双曲线的离心率（e 1）a2双曲线其次定义 :当动点 Mx,y 到肯定点 Fc,0的距离和它到肯定直线 l : x a的距离之c比是常数 e c 1 时,这个动点 Mx,y 的轨迹是双曲线；其中定点 Fc,0是双曲线的一个 焦a2点,定直线 l : x a叫双曲线的一条 准线 ,常数 e 是双曲线的 离心率 ；双曲线上任一点到c焦点的线段称为焦半径；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆定义1 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值2a2a>|F1F2|的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹 .（0<e<1）图形N1PyN2xy K2N2xB2A2 F2P标K1A1F1OF2A2K2B1OB2B1F1 A1 K1N1x2y21x2y21方准a2b2a2b2方程ab>0 ab>0 程参x ya bcos sinx ya bcos sin数方参数为离心角） 参数为离心角）程名师归纳总结 范畴 a x a, b y b a x a, b y b 第 9 页,共 10 页中心原点 O（0,0）原点 O（0,0）顶点a,0, a,0, 0,b , 0, ba,0, a,0, 0,b , 0, b对称轴X 轴, y 轴；X 轴, y 轴；焦点长轴长 2a,短轴长 2b 长轴长 2a,短轴长 2b F1c,0, F2 c,0F1c,0, F2 c,0焦距2c （其中 c=a2b2）2c （其中 c=a2b2）离心率ec0e1ec0e1 准线aax=a2x=a2焦半径ccraexraex通径2 b22b2aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名 称椭圆双曲线yy图 象Ox的距离的和为Ox的距离的差的平面内到两定点F 1, F 2平面内到两定点F 1, F 2名师归纳总结 定 义常数（大于F 1F 2）的动点的轨迹叫椭肯定值为常数（小于F 1F 2）的动点的第 10 页,共 10 页圆；即MF 1MF 22 a轨迹叫双曲线；即MF1MF22a当 2 a 2c 时,轨迹是椭圆,当 2a 2 c时,轨迹是双曲线当 2 a =2c 时,轨迹是一条线段F 1F 2当 2a =2c 时,轨迹是两条射线当 2a 2 c时,轨迹不存在当 2 a 2c 时,轨迹不存在焦点在 x 轴上时：x2y21焦点在 x 轴上时：x2y21标准a2b2a2b2焦点在 y 轴上时：y2x21焦点在 y 轴上时：y2x21a2b2a2b2方 程常数注：是依据分母的大小来判定焦点在注：是依据项的正负来判定焦点所哪一坐标轴上在的位置a2c2b2（符合勾股定理的结构）c2a2b2（符合勾股定理的结构）a,b ,cab0,ca0的关a 最大,cb ,cb ,cbc最大,可以ab,ab ,ab系- - - - - - -