2022年高中数学抽象函数专题含答案-教师版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 抽象函数周期性的探究老师版抽象函数是指没有给出详细的函数解析式, 只给出它的一些特点、性质或一些特别关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有严谨的规律思维才能、丰富的想象力以及函数学问灵活运用的才能 . 而在教学中我发觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难 , 所以特探究一下抽象函数的周期性问题 . 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法 义、紧扣函数图象特点,查找函数的周期,从而解决问题. 此类问题的解决应留意到周期函数定 . 以下给出几个命题：命题 1：假设 a是非零常数,对于函数 y=fx 定义域的一切 x,满意以下条件之一,就函数y=fx 是周期函数 . （1）函数 y=fx 满意 fx+a=fx,就 fx 是周期函数,且 2a是它的一个周期 . （2）函数 y=fx 满意 fx+a= 1,就 fx 是周期函数,且 2a是它的一个周期 . f x （3）函数 y=fx 满意 fx+a+fx=1,就 fx 是周期函数,且 2a是它的一个周期 . 命题 2：假设 a、b a b 是非零常数,对于函数 y=fx 定义域的一切 x,满意以下条件之一,就函数 y=fx 是周期函数 . 1 函数 y=fx 满意 fx+a=fx+b,就 fx 是周期函数,且 |a-b| 是它的一个周期 . 2 函数图象关于两条直线 x=a,x=b对称,就函数 y=fx 是周期函数,且 2|a-b| 是它的一个周期 . 3 函数图象关于点Ma,0 和点 Nb,0 对称,就函数y=fx是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期 . 4 函数图象关于直线x=a,及点 Mb,0 对称,就函数y=fx是周期函数,且4|a-b|是它的一个周期 . 命题 3：假设 a是非零常数,对于函数 y=fx 定义域的一切 x,满意以下条件之一,就函数y=fx 是周期函数 . （1）假设 fx 是定义在 R上的偶函数,其图象关于直线 x=a对称,就 fx 是周期函数,且2a是它的一个周期 . （2）假设 fx 是定义在 R上的奇函数,其图象关于直线 x=a对称,就 fx 是周期函数,且4a是它的一个周期 . 我们也可以把命题 3看成命题 2的特例 , 命题 3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个 . 下面证明命题 31,其他命题的证明基本类似 . 设条件 A: 定义在 R上的函数 fx 是一个偶函数 . 条件 B: fx 关于 x=a对称条件 C: fx 是周期函数 , 且2a是其一个周期 . 结论 : 已知其中的任两个条件可推出剩余一个 . 证明 : 已知 A、B C 2001年全国高考第 22题其次问fx 是 R上的偶函数 f-x=fx 又 fx 关于 x=a对称 f-x=fx+2a fx=fx+2afx 是周期函数 , 且2a是它的一个周期已知 A、CB 定义在 R上的函数 fx 是一个偶函数f-x=fx 又 2a是 fx 一个周期 fx=fx+2a 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - f-x=fx+2a fx关于 x=a对称已知 C、BA fx 关于 x=a对称 f-x=fx+2a 又 2a是 fx 一个周期 fx=fx+2a f-x=fx fx 是R上的偶函数由命题 32 ,我们仍可以得到结论 :fx 是周期为 T的奇函数,就 f T =0 2基于上述命题阐述,可以发觉,抽象函数具有某些关系 . 依据上述命题,我们易得函数周期,从而解决问题,以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用 . 例1：fx 是R上的奇函数 fx= fx+4 ,x0 ,2 时fx=x,求 f2007 的值解：方法一 fx= fx+4 fx+8 =fx+4 =fx 8是fx 的一个周期f2007= f251× 8-1=f-1=f1= 1 方法二 fx= fx+4 ,fx 是奇函数f-x=fx+4 fx 关于 x=2对称 又 fx 是奇函数8是fx 的一个周期,以下与方法一相同 . 例2：已知 fx 是定义在 R上的函数, 且满意 fx+21fx=1+fx,f1=2 ,求f2022 的值解：由条件知 fx1,故f x21f x × 8+1=f1=2 1f x f x41f x211f x2f x 类比命题 1可知,函数 fx的周期为 8,故 f2022= f2512. 求函数解析式例3：已知 fx 是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,且当 x 2,0 时, fx= 2x+1,就当 x 4,6 时求 fx 的解析式解：当 x 0,2 时 x 2,0f x=2x+1 fx 是偶函数 f x=fx fx=2x+1 当 x 4,6 时 4 x 0,2f 4+x=2 4+x+1=2x 7 又函数 fx 是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,类比命题 31知函数 fx 的周期为4 故f-4+x=fx 当x4,6时求 fx=2x7 1,f999+x=f999x , 试是定义在 R上的函数, 且满意 fx+999=例4：已知 fxf x 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 判定函数 fx 的奇偶性 . 解：由 fx+999= 1,类比命题 1可知,函数 fx 的周期为 1998即fx+1998=fx；f x 由f999+x=f999x 知fx 关于 x=999对称,即 f x=f1998+x 故fx=fx fx 是偶函数例5：已知 fx 是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,且当 x 2,0 时,fx 是减函数,求证当 x 4,6 时fx 为增函数解：设 4 x 1 x 2 6 就 2 x 2 4 x 1 4 0 fx 在-2 ,0 上是减函数f x 2 4 f x 1 4又函数 fx 是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,类比命题 31知函数 fx 的周期为4 故fx+4=fx fx2fx 1 f-x=fx f x 2f x1故当x4,6时fx为增函数, fx= f2-x,假设 fa =-f2000, a5 ,9 且fx例6：fx满意 fx =-f6-x在5 ,9 上单调 . 求 a的值 . 解： fx=-f6-x fx 关于 3,0对称 fx= f2-x fx 关于 x=1对称依据命题 2 4得 8是fx 的一个周期f2000= f0 又 fa =-f2000 fa=-f0 又 fx =-f6-x f0=-f6 fa=f6a5 ,9 且fx 在5 ,9 上单调 a =6 5. 确定方程根的个数例7：已知 fx是定义在 R上的函数, fx= f4x ,f7+x= f7x,f0=0,求在区间 1000, 1000 上fx=0至少有几个根？解：依题意 fx关于 x=2,x=7对称,类比命题22可知 fx 的一个周期是 10 故fx+10=fx f10=f0=0 又f4=f0=0 即在区间 0 ,10 上,方程 fx=0至少两个根又fx是周期为 10的函数,每个周期上至少有两个根,因此方程 fx=0在区间 1000,1000 上至少有 1+22000=401个根 . 10两类易混淆的函数问题：对称性与周期性刘云汉名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1. 已知函数 y= f xxR满意 f5+x= f5x,问： y= fx是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例 2. 已知函数 y= f xxR满意 f5+x= f5x,问： y= fx是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？这两个问题的已知条件形似而质异；有的同学往往把它们混为一谈,从而得出错误的结论；为了精确地答复上述问题,必需把握以下基本定理；定理 1：假如函数 y= fxxR满意 f5+x= f 5x,那么 y= fx的图像关于直线 xa 对称；P关于直线 x=a 的对称点为Q,证明： 设点 P x0,y 0是 y= fx的图像上任一点,点易知,点 Q 的坐标为2 ax 0,y 0；y0由于点 P x0,y 0在 y= fx的图像上,所以fx0于是 f2 ax 0f aax0f aax 0f x0y 0所以点Q2ax0,y0也在 y= fx的图像上；由 P 点的任意性知,y= fx的图像关于直线x=a 对称；定理 2：假如函数 y= fxxR满意 fa+x= f bx,那么 y= fx的图像关于直线xa2b的对称；证明：略证明同定理1定理 3：假如函数y= fxxR满意 fx+a = fx a,那么 y= fx是以 2a 为周期的周期函数；证明： 令 xax' ,就 xx'a,xax'2aa代入已知条件fxaf x得：f x'2af x'依据周期函数的定义知,y= fx是以 2a 为周期的周期函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 4：假如函数y= fxxR满意 f xafxb ,那么 y= fx是以 ab为周期的周期函数；证明：略证法同定理 3由以上的定理可知,在已知条件 f a x f b x 或 f x a f x b 中,等式两端的两自变量部分相加得常数,如 a x b x a b ,说明 f 的图像具有对称性,其对称轴为 x a b；2等式两端的两自变量部分相减得常数,如 x a x b a b ,说明 fx是周期函数,其周期 T=a+b；简单证明：定理 1、2、3、4 的逆命题也是成立的；牢牢把握以上规律,就例 1、例 2 迎刃而解；例 1 中, 5 x 5 x 10,因此 fx的图像关于直线 x=5 对称；由这个已知条件我们不能判定 fx是周期函数；例 2 中,x 5 x 5 10 ,因此 fx是周期函数,其周期 T=10；由这个已知条件我们不能判定它是轴对称图形；例 3. 假设函数 fx=x2+bx+c 对于任意实数t 均有 f3+t= f1t,那么A. f2< f1< f4C.f2< f4< f1B. f1< f2< f4D. f4< f2< f1名师归纳总结 解析：在f3+t= f1t中 3+t +f 1t=4 第 5 页,共 8 页所以抛物线f x=x2+bx+c 的对称轴为x=2 作示意图如图1,可见,应选A；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 1 例 4. 设 fx是定义在R 上的奇函数,且fx2= fx,给出以下四个结论：f 2=0；f x是以 4 为周期的函数；f x的图像关于直线 x=2 对称；f x+2=f x其中全部正确命题的序号是 _；解析 1：1由于 y= fxxR是奇函数,所以 令 x=0,得 f 0=f0f f 0,2f 0所以 f0=0 又已知 fx2= fx令 x=2,得 f0= f2所以 f2= f 0=0 故成立；2由于 fx2= fx,所以f x= fxf x f x2fx22f x4由 x x4 =4两自变量相减得常数所以 fx是以 4 为周期的周期函数；故成立；3由 fx+2 = f x得： x+2+ x=2两自变量相加得常数名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 fx的图像关于直线x=1 对称；而不是关于直线x=2 对称；故是错误的；4由 2知, f x应满意 f x+2= f x2而 fx2=fx所以 fx+2= f x= f x故成立；综上所述,应填；解析 2：依据题设条件,构造出函数f x 的图像如图2；图 2 由图可见,正确,而不正确；例 5. 函数 ylog 2ax1a0 的图像关于直线x=2 对称,就 a=_；解析： 由于函数ylog 2ax1a0 的图像关于直线x=2 对称y= fx是所以有 log2a2x1log2a2x1定理 1 的逆定理a2x1a2x12 aax12aax1a0 与题设冲突,舍去或a12所以 a1；2例 6. 设 fx是 R上的奇函数,又f x的图像关于直线x=a 对称；问函数名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不是周期函数？假如是,求出它的一个周期；解： 由于 fx的图像关于直线 x=a 对称由定理 1 的逆定理知： fa+x= fax用 ax 代换上式中的 x,得： f 2ax= fx再用 x 代换 x,得： f2a+x = f x<1> 再用 2a+x 代换 x,得：f2 axf4 ax2 axf4ax2又 fx为奇函数,即f由<1><2>得：fxf4ax即 fx= fx+4a名师归纳总结 依据周期函数的定义,fx是周期函数,且T=4a 是它的一个周期；第 8 页,共 8 页- - 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