2022年高中数学解题基本方法换元法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学解题基本方法换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法；换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换争论对象, 将问题移至新对象的学问背景中去争论,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简洁化,变得简洁处理；换元法又称帮助元素法、变量代换法； 通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来；或者变为熟识的形式,把复杂的运算和推证简化；它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在争论方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用；换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等；局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中, 某个代数式几次显现,4而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发觉；例如解不等式：x 2x20,先变形为设2xt （t>0 ）,而变为熟识的一元二次不等式求解和指数方程的问题；三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角学问中有某点联系进行换元；如求函数 yx 1 x 的值域时,易发觉 x0,1,设 xsin 2 , 0, ,问题变成了熟识的求三角函数值域；为什么会想到如此设,其中2主要应当是发觉值域的联系,又有去根号的需要；如变量 x、y 适合条件 x 2y 2 r 2（r>0 ）时,就可作三角代换 x rcos 、yrsin 化为三角问题；均值换元,如遇到 xyS 形式时,设 xSt ,ySt 等等；2 2我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原就,换元后要留意新变量范围的选取, 肯定要使新变量范畴对应于原变量的取值范畴,不能缩小也不能扩大；如上几例中的 t>0 和 0,2 ；、再现性题组：1.y sinx ·cosx sinx+cosx 的最大值是 _；2. 设 fx 21 log a 4 x 4 （a>1）,就 fx 的值域是 _；3. 已知数列 a n 中, a 1 1,a n 1·a n a n 1a n ,就数列通项 a n _ ；4. 设实数 x、y 满意 x2 2xy10,就 xy 的取值范畴是 _；名师归纳总结 5. 方程1 13x第 1 页,共 13 页x3 的解是 _；3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 不等式 log 2 2x 1 · log 2 2x 1 2 2 的解集是 _；2【简解】1 小题：设 sinx+cosx t 2 , 2 ,就 yt t 1,对称轴 t 1,2 2当 t 2 ,y max 12 ；22 小题：设 x 2 1 t t 1 ,就 ftlog a -t-1 2 4 ,所以值域为 ,log a4 ；3 小题： 已知变形为 11 1, 设 b n 1,就 b1 1,b n 1n 1-1a n 1 a n a n n,所以 a n 1 n；4 小题：设 xyk,就 x 2 2kx 10, 4k 2 40, 所以 k1 或 k 1；5 小题：设 3 xy,就 3y 22y1 0, 解得 y1,所以 x 1；36 小题： 设 log 22 x1 y,就 yy 1<2 ,解得 2<y<1,所以 xlog 2 5,log 23 ；4、示范性题组：例 1. 实数 x、y 满意 4x2 5xy4y2 5 （ 式） ,设 Sx2 y2 ,求11SminSmax的值；（93 年全国高中数学联赛题）名师归纳总结 x【 分 析 】由 S x2 y2 联 想 到 cos2 sin2 1, 于 是 进行 三角 换 元,设第 2 页,共 13 页Scos代入式求S max 和 Smin 的值；ySsin【解】设xScos代入式得： 4S 5S·sin cos 5 ySsin解得 S 8510；sin -1 sin2 1 3 85sin2 13 10 1381010 35sin113 1013 1016 108 5SmaxSmin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此种解法后面求 S最大值和最小值, 仍可由 sin2 8 S 10S式： |8 S 10| 1；这种方法是求函数值域时常常用到的“ 有界法”S的有界性而求, 即解不等；【另解】由 S x 2 y 2,设 x 2St , y 2 S t ,t S,S ,2 2 2 22 2就 xy±St 2代入式得： 4S± 5 St 2=5,4 4移项平方整理得 100t 2+39S 2 160S1000 ； 39S 2 160S 1000 解得：10 S1013 311313168Smax Smin 10 10 10 5【注】此题第一种解法属于“ 三角换元法”,主要是利用已知条件 Sx 2 y 2与三角公式 cos 2 sin 2 1 的联系而联想和发觉用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题；其次种解法属于“ 均值换元法”,主要是由等式 Sx 2 y 2而依据均值换元的思路,设 x 2 S t 、y 2 St ,削减了元的个数,问题且简洁求解；另外,仍用到了求值域的2 2几种方法：有界法、不等式性质法、分别参数法；和“ 均值换元法” 类似,我们仍有一种换元法,即在题中有两个变量 x、y 时,可以设 xab,yab,这称为“ 和差换元法”,换元后有可能简化代数式；此题设 xab,yab,代入式整理得 3a 2 13b 2 5 ,求得 a 20,5 ,所以 Sa b 2 a b 232a 2 b 2 1020 a 210 ,10 ,再求 11的值；13 13 13 3 Smax Smin1 1 2例 2 ABC的三个内角 A、 B、C 满意： AC2B,求cos A cosC cosB名师归纳总结 cosA2C的值；（96 年全国理）第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【 分 析 】由 已 知 “A C 2B”和 “三 角 形 内 角 和 等 于180°”的 性 质 , 可 得名师归纳总结 AC°120°；由“AC120° ” 进行均值换元,就设A60°,再代入可第 4 页,共 13 页B60C60° 求 cos 即 cosA2C；【解】由ABC中已知 AC2B,可得AC°120°, B60由 AC120° ,设A60°,代入已知等式得：C60° 11cos1cos11cos13sincos AcosC6060221cos13sin12 coscos32 sincos3 22 , 2 cos44422解得： cos 2,即： cosA2C2；22【另解】由AC2B,得 AC120° , B 60° ；所以112cos AcosCcosB 22 ,设12 m,12 m ,cos AcosC所以 cosA1m,cosC1m,两式分别相加、相减得：22cosAcosC2cosA2CcosA2CcosA2C22,m22cosAcosC 2sinA2CsinA2C3 sinA2C2m2,m2即： sinA2C32 m2,2 22,代入 sin2 A2Ccos2 A2C1 整理m2m2得： 3m 4 16m120, 解出 m 2 6,代入 cosA2C2 222；m22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【注】此题两种解法由“AC120° ” 、“11 22 ” 分别进行均值cos AcosC名师归纳总结 换元, 随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,仍要求对第 5 页,共 13 页三角公式的运用相当娴熟；假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出：由AC2B,得 AC120° ,B60° ；所以112 22 ,即 cosAcosCcosBcos AcosC 22 cosAcosC,和积互化得：2cosA2CcosA2C2 cosA+C cosA-C ,即 cosA2C22 cosA-C222 2cos2A2C1 ,整理得： 42 cos2A2C2cosA2C32 0, 2解得： cosA2C22例 3. 设 a>0,求 fx 2asinx cosx sinx · cosx 2a2 的最大值和最小值；, y , 【解】 设 sinx cosx t ,就 t -2 ,2 ,由sinx cosx22 x2 12sinx ·cosx 得： sinx ·cosx t221 fxgt 1 2t 2a2 1 2（a>0）,t -2 ,2 t -2 时,取最小值：2a2 22 a1 2当 2a2 时, t 2 ,取最大值：2a222 a1 2；当 0<2a2 时, t 2a,取最大值：1；2 fx的最小值为 2a2 22 a1 2,最大值为1 2 02a21 a2；22 a2 2 a22【注】此题属于局部换元法,设sinx cosx t 后,抓住sinx cosx 与 sinx ·cosx的内在联系, 将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得简洁求解；换元过程中肯定要留意新的参数的范畴（t -2 ,2 ）与 sinx cosx 对应,否就将会- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 出错；此题解法中仍包含了含参问题时分类争论的数学思想方法,置关系而确定参数分两种情形进行争论；即由对称轴与闭区间的位一般地,在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为 fsinx± cosx,sinxcsox,常常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的争论；例 4. 设对所于有实数x,不等式x2 log 24 a1 2x log22alog 2aa1 2>0aa142恒成立,求a 的取值范畴； （87 年全国理）2 a、log 2a1 2【分析】不等式中log 24 a1、 log2三项有何联系？进行对4 a2aa1数式的有关变形后不难发觉,再实施换元法；【解】设 log 22at ,就 log 24a1 log 28a1 3log 2a13loga1a2 a2 a22a3t ,log 2aa1 22log 2a1 2t ,a1422 a代入后原不等式简化为（3t ）x2 2tx 2t>0 ,它对一切实数x 恒成立,所以：3t4 t08 3t0,解得t3t6 t<0 即 log 22a<0 2t0 或a10<2 aa1<1,解得 0<a<1；【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用；为什么会想到换元及如何设元,关键是发觉已知不等式中log 24a1、 log22a1、log 2aa1 2三项之间的联a42a系；在解决不等式恒成立问题时,使用了“ 判别式法”；另外,此题仍要求对数运算非常熟练；一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发觉它们的联系而实施换元,这是我们摸索解法时要留意的一点；例 5. 已知sin xcos y2,且cos 2 x2siny3 x10y2 式 ,求x y的22值；名师归纳总结 2 +y【解】 设sin xcos yk,就 sin kx,cos ky,且 sin2 cos2 k2 x第 6 页,共 13 页2 1, 代入式得：2 k y22 2k x 2y3 x10y210 k32即：y x2 2 x y2 2 10 3x22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设x y2 2t ,就 t 1 t10 3 , 解得： t 3 或1 3x y±3 或±33【另解】由x ysin cos2tg ,将等式两边同时除以2 cos,再表示成含tg x2的式子： 1 tg4 1tg3 11010 3tg2 ,设 tg2 t ,就 3t210t 31tg20,t 3 或1 3,解得x y±3 或±3；两3【注】 第一种解法由sin cos y而进行等量代换, 进行换元,削减了变量的个数；x其次种解法将已知变形为xsin cos,不难发觉进行结果为tg ,再进行换元和变形；y种解法要求代数变形比较娴熟；在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低；例 6. 实数 x、y 满意x1 2y1 21,如 xyk>0 恒成立,求k 的范畴；916【分析】由已知条件x1 2y1 21,可以发觉它与a2b2 1 有相像之处,916于是实施三角换元；【解】由x1 2y1 21,设x31cos ,y41sin ,916即：x13cos代入不等式xyk>0 得：y14sin3cos 4sin k>0,即 k<3cos 4sin 5sin + 所以 k<-5 时不等式恒成立；【注】此题进行三角换元,将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式 恒成立的问题,再运用“ 分别参数法” 转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范畴；一 般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相像的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等名师归纳总结 有关问题时,常常使用“ 三角换元法”；第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系,不等式 ax byc>0 a>0 所表示的区域为直线axbyc0 所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分；x x yk>0 平面区域此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始y 终位于平面上xyk>0 的区域；即当直线xy k0 在与椭圆下部相切的切线之下时；当直线与椭圆相切时,方程组16 x1 29 y1 2144有相等的xyk0一组实数解, 消元后由 0 可求得 k 3, 所以 k<-3 k 时原不等式恒成立；、巩固性题组：1. 已知 fx 3 lgx x>0,就 f4 的值为 _；A. 2lg2 B. 1 lg2 C. 2 lg2 D. 2 lg4 3 3 32. 函数 yx 1 42 的单调增区间是 _；A. -2,+ B. -1,+ D. - ,+ C. -,-1 3. 设等差数列 a n 的公差 d1,且 S100 145,就 a1 a 3 a 5 a 99 的值为2_；A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知 x 2 4y 2 4x,就 xy 的范畴是 _；5. 已知 a0,b 0,ab1,就 a 1b 1 的范畴是 _；2 26. 不等式 x >ax3 的解集是 4,b ,就 a _,b_；27. 函数 y2xx 1的值域是 _；8. 在等比数列 a n 中, a1 a 2 a10 2,a 11 a 12 a 30 12,求 a 31 a 32 a 60 ；9. 实数 m 在什么范畴内取值,对任意实数x,y D C x 不等式 sin2x2mcosx4m 1<0 恒成立；10.已知矩形 ABCD,顶点 C4,4 ,A 点在曲线O A B x2 y2 2 x>0,y>0上移动,且AB、 AD始终平行 x 轴、 y 轴,求矩形ABCD的最小面积；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 fx gx 的充要条件是：对于一个任意的 a 值,都有 fa ga ；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程；使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判定一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,假如具有,就可以用待定系数法求解；例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、 解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解；使用待定系数法,它解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；其次步,依据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决；如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析：利 用对应系数相等列方程；由 恒等的概念用数值代入法列方程；利 用定义本身的属性列方程；利 用几何条件列方程；比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程：第一设所求方程的形式,其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最终解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程；、再现性题组：1. 设 fxxm,fx 的反函数 f 1 x nx5,那么 m、n 的值依次为 _；2A. 5 , 2 B. 5, 2 C. 5 , 2 D. 5, 2 2 2 2 22. 二次不等式 ax 2 bx2>0 的解集是 1 ,1 ,就 ab 的值是 _；2 3A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 3. 在1 x 3 （1x）10 的绽开式中, x 5 的系数是 _；A. 297 B. 252 C. 297 D. 207 3 14. 函数 yabcos3x b<0 的最大值为,最小值为,就 y 4asin3bx 的最小2 2正周期是 _；名师归纳总结 5. 与直线 L：2x 3y5 0 平行且过点A1,-4的直线 L的方程是 _；第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 与 双 曲 线x2 2 y4 1 有 共 同 的 渐 近 线 , 且 过 点 2,2的 双 曲 线 的 方 程 是_；【简解】 1 小题：由 fxx 2 m求出 f1 x 2x2m,比较系数易求,选C；2 小题：由不等式解集 1 ,1 ,可知1、1 是方程 ax2 3 2 3两根,列出关于系数 a、 b 的方程组,易求得 ab,选 D；2 bx20 的两根,代入3 小题：分析x5 的系数由 C10 5 与 1C 10 2 两项组成,相加后得x5 的系数,选D；2；4 小题：由已知最大值和最小值列出a、b 的方程组求出a、b 的值,再代入求得答案35 小题：设直线 L 方程 2x3yc0,点 A1,-4代入求得 C10,即得 2x3y100；6 小题：设双曲线方程x2 2 y42 ,点2,2 代入求得 3,即得方程x32y121；、示范性题组：例1. 已知函数 ymx2x4 3xn的最大值为7,最小值为 1,求此函数式；21【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m、 n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“ 判别式法”；【解】函数式变形为： y mx 2 4 3 xy n 0, x R, 由已知得 ym 0 4 3 2 4y my n 0 即： y 2 mny mn12 0 不等式的解集为 -1,7,就 1、7 是方程 y 2 mny mn12 0 的两根,1 m n mn 12 0 m 5 m 1代入两根得：解得：或49 7 m n mn 12 0 n 1 n 52 2 y 5 x2 4 3 x 1 或者 yx 4 32 x 5x 1 x 1此题也可由解集 -1,7 而设 y 1y 7 0, 即 y 2 6y7 0,然后与不等式比较m n 6系数而得：,解出 m、n 而求得函数式 y；mn 12 7【注】在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定,第一用“ 判别式法” 处理函数值域问题,得到了含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数 m、 n；两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n 的方程求解；二是由已知解集写名师归纳总结 出不等式,比较含参数的不等式而列出m、n 的方程组求解；此题要求对一元二次不等式的第 10 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解集概念懂得透彻,也要求懂得求函数值域的“ 判别式法”：将 y 视为参数,函数式化成含参数 y 的关于 x 的一元二次方程,可知其有解, 利用 0, 建立了关于参数y 的不等式, 解出 y 的范畴就是值域,使用“ 判别式法” 的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程；例 2. 设椭圆中心在 2,-1,它的一个焦点与短轴两端连线相互垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是10 5 ,求椭圆的方程；【分析】 求椭圆方程, 依据所给条件, 确定几何数据a、b、c 之值,问题就全部解决了；设 a、b、c 后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立y B一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 a cx 的值后列出其次个方程；【解】设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c,就 |BF|A F OFAa 2 2 2a2 b2 c2 a 10 B a a 2 b 解得：b 5a c 10 52 2 所求椭圆方程是：xy1 10 5也可有垂直关系推证出等腰 Rt BBF后,由其性质推证出等腰 Rt BOF ,再进行如下b c列式：a c 10 5,更简洁求出 a、b 的值；2 2 2a b c【注】圆锥曲线中,参数（a、b、c、 e、p）的确定,是待定系数法的生动表达；如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式；在曲线的平移中,几何数据（a、 b、c、e）不变,此题就利用了这一特点,列出关于 ac 的等式；一般地, 解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是： 设方程（或几何数据）几何条件转换成方程求解已知系数代入；例 3. 是否存在常数a、b、c,使得等式1·22 2·32 nn 12 n n 121 an2 bnc 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论；（89 年全国高考题）【分析】是否存在, 不妨假设存在； 由已知等式对一切自然数n 都成立,取特别值 n1、2、3 列出关于a、 b、c 的方程组,解方程组求出a、b、c 的值,再用数学归纳法证明等式对全部自然数n 都成立；【解】假设存在 a、b、c 使得等式成立,令：n1,得 4161 4a 2bc ；n3,得 709a3bc；整理得：2a b c 24 a 34 a 2 b c 44 , 解得 b 11,9 a 3 b C 70 c 10a bc ； n2,得 22名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 于是对n1、2、3,等式1·22 2·32 nn 12 n n 121 3n2 11n10成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数 n,该等式都成立：假设对 nk 时等式成立,即 1· 2 2 2· 3 2 kk 1 2 k k 1 3k 2 11k10 ；12当 nk1 时, 1·2 2 2·3 2 kk 1 2 k 1k 2 2k k 1 3k 2 11k1210 k 1k 2 2k k 1 k 2（ 3k5）k 1k 2 2 k 1 k 2 （ 3k12 122 5k12k24） k 1 k 2 3k 1 2 11k 1 10 ,12也就是说,等式对 nk1 也成立；综上所述,当 a8、b 11、c 10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立；【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特别值代入而得到；此种解法中,也体现了方程思想和特别值法；对于是否存在性问题待定系数时,可以依据先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行；此题假如记得两个特别数列 1 3 2 3 n 3 、1 22 2 n 2 求和的公式, 也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解：由 nn 1 2n 3 2n 2n 得 S n 1· 2 22· 3 2 nn 1 2 1 32 3 n 3 21 2 2 2 n 2 12 22 n n n 1 2×n n 1 2 n 1 n n 1 n n 1 3n 2 11n10 ,4 6 2 12综上所述,当 a8、b 11、c 10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立；例 4. 有矩形的铁皮, 其长为 30cm,宽为 14cm,要从四角上剪掉边长为 xcm 的四个小正方形, 将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问 x 为何值时, 矩形盒子容积最大,最大容积是多少？【分析】实际问题中,最大值、最小值的争论,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的争论；【解】依题意,矩形盒子底边边长为 30 2x