2022年高中立体几何证明平行的专题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 立体几何平行的证明【例 1】如图,四棱锥PABCD 的底面是平行四边形,点E、 F 分别为棱 AB 、 PD的中点求证：AF 平面 PCE；P分析：取 PC 的中点 G,连 EG.,FG,就易证 AEGF 是平行四边形FEADB C（第 1 题图）【例 2】如图,已知直角梯形 ABCD 中, AB CD ,AB BC,AB 1, BC2,CD 13 ,过 A 作 AE CD,垂足为 E,G、F 分别为 AD、 CE 的中点,现将ADE 沿 AE折叠,使得 DEEC；（）求证： BC面 CDE；（）求证： FG 面 BCD ；分析：取 DB 的中点 H,连 GH,HC 就易证 FGHC 是平行四边形DFCDEFCGGEBABA【例 3】已知直三棱柱ABC A 1B 1C1 中, D, E, F 分别为 AA 1, CC1, AB 的中点,M 为 BE 的中点 , ACBE. 求证：（） C1DBC；（） C1D 平面 B1FM. B1C1A1分析：连 EA ,易证 C1EAD 是平行四边形,于是MF/EA EMDCBFA1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 4】如下列图 , 四棱锥 PABCD 底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为 PC 的中点 , 证明 : EB/平面PAD; 分析 :：取 PD 的中点 F,连 EF,AF 就易证 ABEF 是平行四边形2 利用三角形中位线的性质【例 5】如图,已知 E 、 F 、 G 、 M 分别是四周体的棱AD、CD、BD、BC的中点,求证： AM 平面 EFG ；EB A E D 分析：连MD 交 GF 于 H,易证 EH 是 AMD 的中位线【例 6】如图, ABCD是正方形, O 是正方形的中心,G F M C 是 PC 的中点；求证：PA 平面 BDE D 为 AC 的中【例 7】如图,三棱柱ABC A 1B 1C1中,点. 求证： AB 1/面 BDC 1；分析：连 B 1C 交 BC1 于点 E,易证 ED 是 B1AC 的中位线2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 8】如图,平面ABEF平面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,BADFAB0 90 ,BC/ 1 2AD , BE/ 1 2AF ,G H 分别为FA FD 的中点（）证明：四边形BCHG 是平行四边形；（）C D F E 四点是否共面？为什么？（.3） 利用平行四边形的性质【例 9】正方体 ABCDA1B1C1D 1 中 O 为正方形 ABCD 的中心, M 为 BB 1的中点,求证：D1O/平面 A1BC1; 分析：连 D 1B 1 交 A 1C1 于 O1 点,易证四边形 OBB 1O1是平行四边形【例 10】在四棱锥P-ABCD中, AB CD,AB=1 DC,2E 为 PD中点A . D 求证： AE 平面 PBC；B P E C 分析：取 PC 的中点 F,连 EF 就易证 ABFE 是平行四边形【例 11】在如下列图的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形, ACB=90,平面,EF , , . =； 如是线段的中点,求证： 平面 ; 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - （I）证法一：由于 EF/AB ,FG/BC ,EG/AC ,ACB90,.所以EGF90 ,ABC EFG由于 AB=2EF ,因此, BC=2FC ,连接 AF ,由于 FG/BC ,FG1BCBC GM/FA ；2在YABCD中, M 是线段 AD 的中点,就AM/BC ,且AM12因此 FG/AM 且 FG=AM ,所以四边形AFGM 为平行四边形,因此又 FA平面 ABFE ,GM平面 ABFE ,所以 GM/ 平面 AB ；4利用对应线段成比例【例 12】如图： S 是平行四边形ABCD 平面外一点, M 、N分别是 SA、BD 上的点,且AM=BN ,NDSM求证： MN 平面 SDC 分析：过 M 作 ME/AD ,过 N 作 NF/AD 利用相像比易证 MNFE 是平行四边形【例 13】如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB ,M,N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM=FN求证： MN 平面 BEC DCBE分析：过M 作 MG/AB ,过 N 作 NH/AB M利用相像比易证MNHG 是平行四边形N4 A F名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例14】如图是某直三棱柱侧棱与底面垂直被削去上底后的直观图与三视图中的侧左视图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,侧 左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如下列图1求出该几何体的体积；2如 N 是 BC 的中点,求证：AN 平面 CME ；3求证：平面 BDE平面 BCD. 【例 15】直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形, AB DC,AB 2AD2DC2,E 为 BD1 的中点, F 为 AB 中点1求证 EF 平面 ADD1A1 ；（2）求几何体 DD 1AA 1EF 的体积；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
