2022年高中数学排列组合例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆排列组合到车间也有 7 种分依此类推 , 由分步计数原理共有7 种不同的排法答应重复的排列问题的特点是以元素为讨论对象,元素不受位置的约束,可以逐一支配各个元素一. 特别元素和特别位置优先策略的位置,一般地n 不同的元素没有限制地支配在m 个位置上的排列数为n m 种例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题：解: 由于末位和首位有特别要求, 应当优先支配 , 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C 131某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目. 如然后排首位共有1 C 4果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42 最终排其它位置共有A 4 32. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯 , 下电梯的方法8 7由分步计数原理得1 1 3C C A 4288C1A3C1六. 环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐 , 共有多少种坐法 . 443练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 如两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人A 并例 2. 7人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内从今位置把圆形展成直线其余7 人共有（ 8-1）！种排法即7 ！部进行自排；由分步计数原理可得共有5 2 2A A A 2480种不同的排法C甲乙丙丁DB要求某几个元素必需排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并EAABCDEFGHAFGH为一个元素 ,再与其它元素一起作排列,同时要留意合并元素内部也必需排列. 练习题 : 某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 一般地 ,n 个不同元素作圆形排列,共有 n-1. 种排法 .假如从 n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1Am三. 不相邻问题插空策略nn例 3. 一个晚会的节目有4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场, 就节目的出场次序有多少种？练习题： 6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 解: 分两步进行第一步排2 个相声和 3个独唱共有5 A种,其次步将 4舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有种A46不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的不同次序共有5 A A4 6种七. 多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目. 假如将这两个新节目插入原节目单中,且两个新解:8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排 . 个特别元素有A2节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 4四. 定序问题倍缩空位插入策略种, 再排后 4 个位置上的特别元素丙有A 种, 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列例 4.7 人排队 , 其中甲乙丙3 人次序肯定共有多少不同的排法解: 倍缩法 对于某几个元素次序肯定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数 , 就共有不同排法种数是：A7 7/A3 3有A 种, 就共有A A A 种 空位法 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 A种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,就共有A4种方法；前排后排7摸索 : 可以先让甲乙丙就坐吗. （插入法 先排甲乙丙三个人, 共有 1 种排法 , 再把其余 4 四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法,仍可转化为占位插练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排,每排5 人 , 要求从左至右身高逐步增加,共有多少排法？一般地 ,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研5 C 10五. 重排问题求幂策略 例 5. 把 6 名实习生安排到 7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法 解: 完成此事共分六步 : 把第一名实习生安排到车间有 7 种分法 . 把其次名实习生安排练习题：有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位, 现支配 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 八. 排列组合混合问题先选后排策略名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少不同的装110 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法？C 9 4法. 2 .xyzw100求这个方程组的自然数解的组数3 C 103解: 第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有C 种方法 . 再把 4 个元素 包含一个十一. 正难就反总体剔除策略复合元素 装入 4 个不同的盒内有A 种方法,依据分步计数原理装球的方法共有例 11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数, 使其和为不小于 10 的偶数 ,不同的2 C A4 4取法有多少种？练习题：一个班有 6 名战士 , 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务 ,每人完成一种任务 , 且正副班长有且只有 1 人参与 , 就不同的选法有 192 种九. 小集团问题先整体后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 在两个奇数之解：这问题中假如直接求不小于 10 的偶数很困难 , 可用总体剔除法；这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数 , 所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C , 只含有 1 个偶数的取法有 C C , 和为偶数的取法共有 C C 15 2 C ；再剔除和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法共有 C C 15 2 C 5 3 9间, 这样的五位数有多少个？3有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出解：把 , , , 当作一个小集团与排队共有A 种排法,再排小集团内部共有它的反面 ,再从整体中剔除. A A 种排法,由分步计数原理共有A A A 种排法 . 练习题：我们班里有43 位同学 , 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在1524小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理；内的练习题：. 方案展出 10幅不同的画 , 其中 1幅水彩画 , 幅油画 , 幅国画 , 排成一行陈设 , 要求 同一 品种的必需连在一起, 并且水彩画不在两端, 那么共有陈设方式的种数 为 A A A 2 5 4 42. 5 男生和女生站成一排照像 , 男生相邻 , 女生也相邻的排法有 A A A 种抽法有多少种 . 十二. 平均分组问题除法策略例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆, 每堆 2 本共有多少分法？解: 分三步取书得 C C C 种方法 , 但这里显现重复计数的现象 , 不妨记 6 本书为ABCDEF,如第一步取 AB,其次步取 CD,第三步取 EF 该分法记为 AB,CD,EF, 就C C C 中 仍 有 AB,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,ABEF,CD,AB,EF,AB,CD 共十. 元素相同问题隔板策略在有A 种取法 , 而这些分法仅是 AB,CD,EF一种分法 , 故共有2 2 2C C C 6 4 2/A 种分法；例 10. 有 10 个运动员名额,分给7 个班,每班至少一个 , 有多少种安排方案？解：由于 10 个名额没有差别, 把它们排成一排； 相邻名额之间形成个间隙；平均分成的组,不管它们的次序如何,都是一种情形,所以分组后要肯定要除以n A n 为均分的个空档中选个位置插个隔板,可把名额分成份,对应地分给个班级,每组数 防止重复计数；一种插板方法对应一种分法共有C 种分法；练习题：名师归纳总结 一 班二 班三 班四 班五 班六 班七 班1 将 13 个球队分成 3 组, 一组 5 个队, 其它两组 4 个队, 有多少分法？（5 4 4C C C 4/A ）2.10 名同学分成 3 组, 其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组, 有多少种不同的将 n 个相同的元素分成m 份（ n,m 为正整数） ,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,分组方法（1540）3. 某校高二年级共有六个班级, 现从外地转入 4 名同学,要支配到该年级的两个班级插入 n 个元素排成一排的n-1 个间隙中,全部分法数为m C n1且每班安1排 2 名,就不同的支配方案种数为_（2 2C C A2/A290）练习题：62十三. 合理分类与分步策略第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆例 13. 在一次演唱会上共 10 名演员 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法 解：10 演员中有 5 人只会唱歌, 2 人只会跳舞 3 人为全能演员；选上唱歌人员为标准进行讨论5343 号盒 4号盒 5号盒只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有C C 种, 只会唱的 5 人中只有 1 人选对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果上唱歌人员C C C 种, 只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有C C 种,由分类计数原理共有2 2C C 31 1 2C C C 4C C 种；练习题：练习题：1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参与某个座 谈会,如这 4 人中必需既有男生又有女生,就不同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,1. 同一寝室 4 人, 每人写一张贺年卡集中起来 , 然后每人各拿一张别人的贺年卡, 就四张贺年卡不同的安排方式有多少种？ 9 2. 给图中区域涂色 , 要求相邻区 域不同色 , 现有 4 种可选颜色 , 就不同的着色方法有 72种他们任选2 只船或3 只船, 但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法 . 314（27）2此题仍有如下分类标准：* 以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准5* 以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准* 以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四. 构造模型策略例 14. 公路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯 , 现要关掉其中的 3 盏, 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的 2 盏, 求满意条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个间隙中插入 3 个不亮的灯有3 C 5种一些不易懂得的排列组合题假如能转化为特别熟识的模型,如占位填空模型,排队模型, 装盒模型等,可使问题直观解决十六. 分解与合成策略例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2× 3× 5 × 7 × 11× 13 依题意可知偶因数必先取 2, 再从其余 5 个因数中任取如干个组成乘积,全部的偶因数为：C 5 1C 5 2C 5 3C 5 4C 5 5练习: 正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共4 C 81258, 每个四周体有练习题：某排共有10 个座位,如 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法3 对异面直线 , 正方体中的 8 个顶点可连成 3 58174 对异面直线有多少种？（ 120）十五. 实际操作穷举策略 例 15. 设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子 , 现将 5 个球投入这 五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 , 有多少投法 解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C 种仍剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实十七. 化归策略 例 17. 25 人排成 5× 5 方阵, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 不同的 选法有多少种？解：将这个问题退化成 9 人排成 3× 3 方阵, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也 不在同一列 , 有多少选法 . 这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后, 把这 人所在的行列都划掉, 如此连续下去 . 从 3× 3 方队中选 3 人的方法有 C C C 种；名师归纳总结 际操作法,假如剩下3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时,就 4,5 号球有再从 5× 5方阵选出 3× 3方阵便可解决问题 . 从 5× 5方队中选取 3行 3列有3 3C C 5只有 1 种装法,同理 3 号球装 5 号盒时 ,4,5 号球有也只有 1 种装法 , 由分步计数选法所以从 5× 5 方阵选不在同一行也不在原理有2C 种第 3 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆例 4. 5 个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法？1 种站法1 2 3 4 5 6 7 同一列的 3 人有C C C C C 选法；5 5 3 2 1解法 1：将 5 个人依次站成一排,有A 5 5种站法,练习题 : 某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示公路, 从 A 走到 B的最短然后再消去甲乙之间的次序数A 2 2甲总站在乙的右侧的有站法总数为5 A 55 4 3A 5 3A 2 2路径有多少种？ 3 C 735 解法 2：先让甲乙之外的三人从5 个位置选出13 个站好,有A 5 3种站法,留下的两个位置自然给甲乙有B甲总站在乙的右侧的有站法总数为3 A 53 A 5变式：如下图所示, 有 5 横 8 竖构成的方格图, 从 A到 B 只能上行或右行共有多少条不同的路线. BA十八. 数字排序问题查字典策略例 18由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？AB解:N25 A 524 A 43 A 32 A 21 A 1297练习: 用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来, 第 71 个数是 3140 十九. 树图策略 例 193人相互传球 , 由甲开头发球 , 并作为第一次传球 , 经过 5次传求后 , 球仍回到甲的名师归纳总结 手中, 就不同的传球方式有 _ N10解: 如下列图A11 A 11种排法 . 第 4 页,共 4 页练习: 分别编有1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中i 号人不坐 i 号椅（i1 , 2, 3 , 4, 5）的不同坐法有多少种？N44二十. 复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各5 只, 分别标有 A、B、C、D、E五个字母 , 现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备, 就共有多少种不同的取法解: 红1 1 1 2 2 3 将一条路经抽象为如下的一个排法5-1+8-1=11格: 黄1 2 3 1 2 1 兰3 2 1 2 1 1 取法 C 15C 14二十一：住店法策略C1 5C2C1 5C32 1C 5C 3C2 5C2C3 5C14432也可以看作是1,2,3,4,5,6,7, , , 次序肯定的排列,有4 A 47 A 7解决“ 答应重复排列问题” 要留意区分两类元素：一类元素可以重复,另一类不能重复,其中必有四个 和七个 组成 . 把不能重复的元素看作“ 客” ,能重复的元素看作“ 店” ,再利用乘法原理直接求解. 所以 , 四个 和七个 一个排序就对应一条路经, 例 21. 七名同学争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数所以从 A 到 B 共有C 5 1 8 1 5 1C 11 4条不同的路径 . 有 . 分析：因同一同学可以同时夺得n 项冠军,故同学可重复排列,将七名同学看作7 家“ 店” ,五项冠军看作5 名“ 客” ,每个“ 客” 有7 种住宿法,由乘法原理得75种. 22. 消序法 留空法 几个元素次序肯定的排列问题,一般是先排列,再消去这几个元素的次序. 或者,先让其它元素选取位置排列,留下来的空位置自然就是次序肯定的了. - - - - - - -