2022年高考数学一轮汇总训练《任意角和弧度制及任意角的三角函数》理新人教A版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1. 明白任意角的概念1. 考查形式为挑选题或填空题2. 明白弧度制的概念,能进 2. 三角函数的定义与三角恒等变换等相结合,考查三角函数求行弧度与角度的互化值问题,如 20XX 年新课标全国 T5 等3. 懂得任意角三角函数 正 3. 三角函数的定义与向量等学问相结合,考查三角函数定义的弦、余弦、正切 的定义应用,如 20XX年山东 T16 等. 归纳· 学问整合 1角的有关概念角的特点 角的分类从运动的角度看 角可分为正角、负角和零角从终边位置来看 可分为象限角和轴线角 k·360° k Z 或 与 角的终边相同k· 2 ,k Z 探究 1. 终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？提示：终边相同的角不肯定相等,它们相差 360° 的整数倍,相等的角 终边肯定相同2锐角是第一象限 角,第一象限角是锐角吗？小于 90° 的角是锐角吗？提示： 锐角是大于 0° 且小于 90° 的角, 第一象限角不肯定是锐角,如 390° , 300°都是第一象限角小于 90° 的角不肯定是锐角,如 0° , 30° 都不是锐角2弧度的概念与公式在半径为 r 的圆中名师归纳总结 分类定义 公式 1 弧度的角,用符号rad 表第 1 页,共 16 页1 弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载示角 的弧度数公式| | l r 弧长用 l 表示 °角度与弧度的换算1° 180rad 1 rad 180弧长公式弧长 l | | r扇形的面积公式S1 2lr 1 2| | ·r23任意角的三角函数各象三角函数设 正弦余弦正切是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P x,y ,那么定义y 叫做 的正弦, 记作x 叫做 的余弦,y x叫做 的正切,记作sin 记作 cos tan 正正正正负负限符负负正号负正负口诀一全正 ,二正弦,三正切,四余弦三角函数线 探究 有向线段MP为正弦线有向线段OM为余有向线段 AT为正切线弦线3. 三角函数线的长度及方向各有什么意义？提示：三角函数线的长度表示三角函数值的肯定值,方向表示三角函数值的正负名师归纳总结 自测· 牛刀小试 第 2 页,共 16 页1 教材习题改编 以下与9 4的终边相同的角的表达式中正确选项A2k 45° kZ B k· 360° 9 4 kZ Ck· 360° 315° kZ D k 5 4 kZ - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解析：选 C 9 4 9 4× 180° 360° 45° 720° 315° ,9与 4 终边相同的角可表示为 k·360° 315° kZ 2 教材习题改编 如角 同时满意 sin 0 且 tan 0,就角 的终边肯定落在 A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限解析：选 D 由 sin 0,可知 的终边可能位于第三或第四象限,也可能与 y 轴的非正半轴重合由 tan 0,可知 的终边可能位于其次象限或第四象限,可知 的终边只能位于第四象限3已知扇形的周长是6 cm,面积是 2 cm2,就扇形的圆心角的弧度数是 A1 B 4 C1 或 4 D 2 或 4 2r l 6,解析：选 C 设扇形的弧长为l ,半径为 r ,就1 2l ·r2,解之得 l r 2 或 r 1,l 4,故圆心角 1 或 4. 4 教材习题改编 已知角 的终边经过点P x, 6 ,且 cos 5 13,就 x 的值为_xx 5解析： cos x 22x 2 3613,x0,2 5x 236x169,25 解之得 x2. 5答案：225如点 P 在角 3的终边上,且 | OP| 2,就点 P 的坐标是 _2解析：角 3 的终边落在其次象限,可设 P x,y,其中 x0, y0,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由题意得x 2cos 2 3 ,学习必备欢迎下载即x 1,2sin 2 3 ,y3,P 1,3 答案： 1,3 象限角及终边相同的角 例 1 1 写出终边在直线 y3x 上的角的集合；2 如角 的终边与6 7角的终边相同,求在 0,2 内终边与 3角的终边相同的角；3 已知角 为第三象限角,试确定 2 的终边所在的象限 自主解答 1 在 0 , 内终边在直线 y3x 上的角是 3,终边在直线 y3x 上的角的集合为 | 3 k , kZ . 62 72k kZ , 3272k3 k Z 2 2k 3 18依题意 0732 . 7k7,kZ. 2 20 34k0,1,2 ,即在 0,2 内终边与 3相同的角为 7,21,21 . 3 由 是第三象限角,得 2k 3 2 2k kZ,2 4k 2 3 4k kZ 名师归纳总结 角 2的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴第 4 页,共 16 页在3 的条件下,判定 2为第几象限角？解： 2k 3 22k k Z ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 2k 23 4k kZ 3当 k2n nZ 时,22n 24 2n ,3 7当 k2n1 nZ 时,2 2n 24 2n ,2为其次或第四象限角1由 所在的象限,确定 n所在象限的方法 n所在象限1 由角 的范畴,求出 n所在的范畴；2 通过分类争论把角写成 k· 360° kZ 的形式,然后判定2已知三角函数式的符号判定角所在的象限可先依据三角函数式的符号确定三角函数值的符号,再判定角所在的象限11 已知角 2k 5 kZ ,如角 与角 的终边相同,就ysin |sin |cos | tan cos |tan |的值为 A1 B 1 C3 D 3 2 已知点 Ptan ,cos 在第三象限,就角 的终边在 A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限解析：1 选 B 由 2k 5 kZ及终边相同角的概念知, 的终边在第四象限,又 与 的终边相同,所以角 是第四象限角,所以 sin 0,cos 0,tan 0. 因此, y 111 1. 名师归纳总结 2 选 B 点 Ptan ,cos 在第三象限,第 5 页,共 16 页tan 0,是其次象限角 . cos 0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三角函数的定义 例 2 已知角 的终边上一点P 3,m m 0 , 且 sin 2m 4,求 cos ,tan 的值 自主解答 由题设知 x3,ym,r2| OP|2 32m 2 O为原点 ,得 r 3m 2. 从而 sin m r2m 42m,2r 3m 222,于是 3 m 28,解得 m±5. 当 m5时, r 22,x3,cos 236 4,tan 15 3；2当 m5时, r 22, x3,cos 36 4,tan 15 3 . 22利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量： 角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x；纵坐标 y；该点到原点的距离 r . 如题目中已知角的终边在一条直线上,此时留意在终边上任取一点有两种情形 点所在象限不同 2已知角 的终边在直线 3x4y0 上,求 sin ,cos ,tan 的值解：角 的终边在直线 3x4y 0 上,在角 的终边上任取一点 P4 t , 3t t 0 ,就 x4t ,y 3t ,r x2y2t23t25| t |. 当 t 0 时,即 x>0 时, r5t ,名师归纳总结 sin y r3t5,cos x r4t 5t4 5,第 6 页,共 16 页5ttan y x3t3 4；4t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 t 0 时,即 x<0 时, r 5t ,sin y r3t5t5,cos x r 5t4t 45,tan y x3t3 4. 综上可知,当角 的终边在直线 3x4y0 的 x>0 部分时,sin 3 5,cos 4 5,tan 3 4；当角 的终边在直线 3x4y0 的 x<0 部分时,3 4 3sin 5,cos 5,tan 4. 弧度制下扇形弧长与面积公式的应用 例 3 已知扇形的圆心角是 ,半径为 R,弧长为 l . 1 如 60° , R10 cm,求扇形的弧长 l . 2 如扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 为多少弧度时,这个扇形的面积最大？3 如 3,R2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积 自主解答 1 60° 3,R10 cm,l R 10× 3103 cm. 2 扇形的周长 20, 2Rl 20,即 2RR 20,S1 2R 2 1 2R20 2R R 210R 20102, R5225,当 R5 时,扇形的面积最大,此时5即 2 弧度时,这个扇形的面积最大名师归纳总结 3 S弓形1 2R 2 1 2R 2sin 3第 7 页,共 16 页2× 4× 31 2× 4×322 33,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即弓形的面积为2 33 cm2. 学习必备欢迎下载如将本例 1 中的“R10 cm” 改为“ 扇形的弦AB102 cm” 求扇形的弧长l . 解：由题意得52 Rsin 30 ° ,即R 102,故弧长 l R 102× 3102 cm. 3弧度制的应用1 在弧度制下,运算扇形的面积和弧长比在角度制下更便利、简捷2 从扇形面积动身, 在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值记住以下公式： l R；S1 2lR；S1 2 R 2. 其中 R是扇形的半径, l 是弧长, 0 2 为圆心角, S 是扇形面积3已 知在半径为 10 的圆 O中,弦 AB的长为 10,1 求弦 AB所对的圆心角的大小；S. l 及弧所在的弓形的面积2 求 所在的扇形弧长解： 1 如下列图,过O作 OCAB于点 C,就 AC5,在 Rt ACO中,sin AOCAC AO5 101 2, AOC30° , 2AOC60° .名师归纳总结 2 60° 3,3. 第 8 页,共 16 页l | | r 10. 3S扇1 2lr 1 2×10 3× 1050. 3又 S AOB1 2× 10× 10sin 3253,S 弓形S 扇 S AOB50 325350 32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 条规律三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦2 个技巧三角函数的定义及单位圆的应用技巧1 在利用三角函数定义时,点P 可取终边上异于原点的任一点,如有可能就取终边与单位圆的交点,| OP| r 肯定是正值2 在解简洁的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧4 个留意点懂得角的概念、弧度制及三角函数线应留意的问题1 第一象限角、 锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,其次类、第三类是区间角2 角度制与弧度制可利用180° rad 进行互化,在同一个式子中,采纳的度量制度必需一样,不行混用3 要熟记 0° 360° 间特别角的弧度表示4 要留意三角函数线是有向线段 . 创新交汇三角函数的定义与向量的交汇问题三角函数的概念是考查三角函数的重要工具,在高考命题中很少单独考查,常结合三角函数的基础学问、三角恒等变换和向量等学问综合考查,涉及的学问点较多,但难度不大 典例 2022· 山东高考 如图, 在平面直角坐标系 xOy中,一单位 圆的圆心的初始位置在 0,1 ,此时圆上一点 P 的位置在 0,0 ,圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于2,1 时, OP 的坐标为 _ 解析 由于圆心移动的距离为2,所以劣弧 PA 2,即 PCA2,就 PCB2 2,所以 PBsin2 2 cos 2 , CBcos 2 2sin 2 ,所以2 sin 2 , 1cos 2 xP2CB2sin 2 ,yP1PB1cos 2 ,所以 OP 答案 2 sin 2,1cos 2 名师点评 1此题具有以下创新点名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 此题考查三角函数与向量的学问,表面看似向量问题,其实质是考查三角函数的概念问题2 通过静止问题解决动态问题,考查了考生处理变与不变的才能、运算求解才能、应用才能和创新才能2解决此题的关键有以下几点1 正确懂得圆的滚动过程,确定圆心 C的坐标；2 正确作出帮助线,并求得 BP与 BC的长度；3 正确应用向量的坐标运算求出 OP 的坐 标 变式训练 12022· 安徽高考 在平面直角坐标系中,点 O0,0 ,P6,8 ,将向量 OP 绕点 O按3逆时针方向旋转 4后得向量 OQ ,就点 Q的坐标是 A 7 2,2 B 7 2,2 C 4 6, 2 D 4 6, 2 解析：选 A 设从 x 轴正方向逆时针到向量OP 的角为 ,就从 x 轴的正方向逆时针到3 3 4向量 OQ 的夹角为 4 ,这里 cos 5,sin 5. 设 Q坐标为 x,y ,依据三角函3 3 4 2 3数的定义 x10cos 410×55×2 7 2,y10sin 42,即 Q7 2,2 2如图,设点 A 是单位圆上的肯定点,动点 P 从 A动身在圆上按逆时针方向转一周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l ,弦 AP的长为 d,就函数 df l 的图象大致为 解析：选 C 如图取 AP的中点为 D. 设 DOA ,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载就 d2sin ,l 2 ,故 d2sin l 2. 一、挑选题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分 1如 k· 180° 45° kZ ,就 在 A第一或第三象限 B在第一或其次象限C其次或第四象限 D 在第三或第四象限解析：选 A 当 k 为偶数时, 的终边与 45° 角的终边相同,是第一象限角平分线；当 k 为奇数时, 的终边与 45° 角的终边在同一条直线上,是第三象限角平分线2点 Asin 2 013° ,cos 2 013 ° 在直角坐标平面上位于 A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限解析：选 C 由 2 013 ° 360° × 5 180° 33° 可知, 2 013 ° 角的终边在第三象限,所以 sin 2 013 ° 0,cos 2 013 ° 0,即点 A 位于第三象限3已知角 的终边经过点 3 a9,a2 ,且 cos 0, sin 0,就实数 a的取值范畴是 A 2,3 B 2,3 C 2,3 D 2,3 解析：选 A 由 cos 0, sin 0 可知,角 的终边落在其次象限内或 y 轴的正3a90,半轴上,所以有a20,即 2 a3.名师归纳总结 4如 是第三象限角,就ysin+cos的值为 第 11 页,共 16 页22sincos22A0 B 2 C 2 D 2 或 2 解析：选 A 由于 是第三象限角,所以 2是其次或第四象限角,当 2是其次象限角时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ysin 2 cos 2 110；学习必备欢迎下载sin 2cos 2当 2是第四象限角时,sin 2 cos 2y 110. sin 2 cos 225点 P从1,0 动身,沿单位圆逆时针方向运动 3弧长到达 Q点,就 Q点的坐标为 1 3 3 1A. 2,2 B. 2,21 3 3 1C. 2,2 D. 2,22 1 2解析：选 A 由三角函数定义可知 Q点的坐标 x,y 满意 xcos 32,ysin 332 . 6已知扇形的周长是4 cm,就扇形面积最大时,扇形的中心角的弧度数是 A2 B 1 C.1 2D 3 解析：选 A 设此扇形的半径为r ,弧长为 l ,就 2r l 4,面积 S1 2rl 1 2r 4 2r r 22r r 1 21,故当 r 1 时 S最大,这时 l 4 2r 2. 从而 l r2 12. 二、填空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分 7如点 P x,y 是 300° 角终边上异于原点的一点,就y x的值为 _解析：y xtan 300 ° tan360 ° 60° tan 60 ° 3. 答案：3 82022· 辽源模拟 如三角形的两个内角 , 满意 sin cos 0,就此三角形为_名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解析： sin cos 0,且 , 是三角形的两个内角sin 0,cos 0, 为钝角故三角形为钝角三角形答案：钝角三角形49已知角 的终边过点 P8m,6sin 30° ,且 cos 5,就 m的值为 _8m 4解析： r 64m 29, cos 64m 295,24m 1 1m0,64m 2925, m±2. 1m0, m2. 1答案：2三、解答题 本大题共 3 小题,每道题 12 分,共 36 分 10已知角 的终边过点 P 3cos ,4cos ,其中 2, ,求 的三角函数值解： 2, 1<cos <0. 4 cm ,求圆心角的弧度数和弦长AB. r 9cos2 16cos2 5cos ,故 sin 4 5,cos 3 5,tan 4 3. 11一个扇形OAB的面积是 1 cm2,它的周长是解 ：设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,就1 2lr 1,解得r 1,l 2.l 2r4,就圆心角 l r2. 如图,过 O作 OHAB于 H. 就 AOH1,故 AH1· sin 1 sin 1 cm,故 AB 2sin 1 cm. 12角 终边上的点 P 与 A a, 2a 关于 x 轴对称 a0 ,角 终边上的点 Q与 A 关于直线 y x 对称,求 sin · cos sin · cos tan · tan 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：由题意得,点 P 的坐标为 a, 2a ,点 Q的坐标为 2 a, a 所以, sin 2a 2 2,a 22a 5a 1cos 2,a 22a 52atan a 2,a 1sin 2,a 2a 5cos 2a 2 2,a 2a 5tan a 2a12,故有 sin · cos sin · cos tan · tan 2 1 1 2 15·55·5 2 ×2 1. 11 把1 480 ° 写成 2k kZ 的形式,其中 0 2 ；22 在 0° 720° 的范畴内,找出与 5终边相同的角 74解： 1 1 480 ° 1 480 ° ×180rad 9 rad ,74 16 16又9 10 95× 2 9,16故1480° 5 × 2 . 92 2 22 55× 180° 72° ,终边与 5相同的角为 72° k· 360° kZ 当2k0 时, 72° ；当 k1 时, 432° ,在 0° 720° 的范畴内,与 5终边相同的角为 72 ° ,432° .21 假如点 Psin cos ,2cos 位于第三象限,试判定角所在的象限2 如 是其次象限角,试判定的符号是什么？解： 1 由于点 Psin cos ,2cos 位于第三象限,名师归纳总结 所以 sin cos 0,2cos 0,即sin 0,第 14 页,共 16 页cos 0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 为其次象限角学习必备欢迎下载2 2k 2 2k kZ , 1 cos 0,4 k 2 4k 2 kZ ,1sin 2 0,C Csincos 0,cossin 2 0. 0. 的符号是负号3已知一扇形的圆心角为 0 ,所在圆的半径为R. 如扇形的周长是肯定值0 ,当 为多少弧 度时,该扇形有最大面积？解：扇形周长C 2Rl 2R R,RC 2 ,S 扇1 2 ·R 21 2 ·C222C 2 ·12 2C 2·142C 16,4 4 4 当且仅当 24,即 2 时,扇形面积有最大值2 C 16. 4设 是其次象限角,试比较sin 2, cos 2,tan 2的大小解： 是其次象限角, 22k 2k , kZ, 4k 2 2 k ,kZ, 2是第一或第三象限的角 如图阴影部分 ,结合单位圆上的三角函数线可得：当 2是第一象限角时, 2CT,sin 2 AB,cos 2 OA,tan 从而得, cos 2sin 2tan 2；名师归纳总结 当 2是第三象限角时,第 15 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载sin 2 EF,cos 2OE,tan 2CT,得 sin 2cos 2tan 2 . 综上所得,当 2在第一象限时,cos 2sin 2tan 2；名师归纳总结 当 2在第三象限时,sin 2cos 2tan 2 . 第 16 页,共 16 页- - - - - - -