2022年高一数学必修一各章知识点总结3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义：2.集合的中元素的三个特性1 元素的确定性如：世界上最高的山2 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P ,Y 3 元素的无序性 : 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3 .集合的表示 ： 如： 我校的篮球队员 印度洋 ,北冰洋 ,太平洋 ,大西洋 ,1 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 实数集 R 正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 1） 列举法： a,b,c 2） 描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内 表示集合的方法；x R| x-3>2 ,x| x-3>2 3） 自然语言描述法：例：直角三角形 4） Venn 图: 4、集合的分类：1 有限集含有有限个元素的集合例： x|x2= 5 2 无限集含有无限个元素的集合3 空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系 1. “ 包含” 关系子集留意：AB有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分或者A 与 B 是同一集合；,；（2）A 是空集；反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A, 记作 AB第 1 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 或 B A 2“ 相等” 关系：A=B 55,且 55,就 5=5 实例：设 A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集；A A 真子集 :假如 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B或 B A 假如 A B, B C ,那么 A C 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,有 n 个元素的集合,含有三、集合的运算空集是任何非空集合的真子集；2n个子集, 2n-1个真子集运算交集并集补集类型定由全部属于A 且属由全部属于集合A 或设 S 是一个集合, A 是义于 B 的元素所组成属于集合B 的元素所S 的一个子集,由S 中韦的集合 ,叫做 A,B 的组成的集合,叫做 A,B全部不属于A 的元素交集 记作AB的并集 记作： AB组成的集合, 叫做 S 中（读作A 交 B ）,（读作A 并 B ）,子集A 的 补集 （或余即 AB=x|xA ,即 AB =x|xA,集）且 xB或 xB 记作C SA,即CSA=x|xS , 且 xA S A ABAB恩图 1图 2第 2 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图示性AA=A A AA=A A CuA CuB 质A = A =A = C u AB AB=BAB=BCuA CuB ABA AB= C u AB ABB ABB AC uA=U AC uA= 例题：1. 以下四组对象,能构成集合的是（）A 某班全部高个子的同学 B 闻名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合 a,b ,c 的真子集共有 个3.如集合 M=y|y=x 2-2x+1,x R,N=x|x 0 ,就 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= x 1 x 2,B= x x a,如 A B,就 a 的取值范畴是5.50 名同学做的物理、化学两种试验,已知物理试验做得正确得有 40 人,化学试验做得正确得有 31 人,两种试验都做错得有 4 人,就这两种试验都做对的有 人；6. 用 描 述 法 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 点 （ 含 边 界 上 的 点 ） 组 成 的 集 合M= . 2-5x+6=0, C=x| x2 -mx+m2-19=0, 7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x如 BC ,A C= ,求 m 的值二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f： AB 为从集合 A 到集合 B第 3 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的一个函数记作：y=fx ,x A其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零；2 偶次方根的被开方数不小于零；3 对数式的真数必需大于零；4 指数、对数式的底必需大于零且不等于1. . .那么,它5 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合6 指数为零底不行以等于零,7 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域一样两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2 2值域 : 先考虑其定义域 1 观看法 2 配方法 3 换元法 3. 函数图象学问归纳1 定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx , x A中的 x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点Px,y的集合C,叫做函数y=fx,x A 的图象 C 上每一点的坐标x,y均满意函数关系y=fx ,反过来,以满意y=fx 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 x,y,均在 C 上 . 2 画法 A、描点法：B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1 平移变换 翻折（肯定值）变换 2 3 对称变换第 4 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射 一般地,设 A 、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有 对应法就 f ,使对于集合 唯独确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射； 记作“ f（对应关系） ：A（原象）B（象）”对于映射 f ：AB 来说,就应满意：1 集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象, 并且象是唯独的；2 集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个；3 不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；6. 分段函数 1 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；2 各部分的自变量的取值情形3 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并 集补充：复合函数假如 y=fuuM,u=gxxA, 就 y=fgx=Fxx A 称为 f、 g 的复合函数；二函数的性质 1. 函数的单调性 局部性质 （1）增函数 设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D x 1,x2 ,当 x 1<x 2 时,都有 fx 1<fx 2,那 内的任意两个自变量 么就说 fx 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 . 假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1,x2,当 x 1<x 2 时,.区间 D 称 都有 fx 1fx 2,那么就说 fx在这个区间上是减函数 为 y=fx 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点 假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数第 5 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - y=fx 在这一区间上具有严格的 单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法 ：1 任取 x1,x 2D,且 x1<x 2；2 作差 fx 1fx 2；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判定差 fx 1fx 2 的正负）；5 下结论（指出函数 fx 在给定的区间 D 上的单调性）B图象法 从图象上看升降 C复合函数的单调性 复合函数 f gx 的单调性与构成它的函数 u=gx , y=fu 的 单调性亲密相关,其规律：“ 同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性 相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地,对于函数 fx 的定义域内的任意一个 那么 fx 就叫做偶函数（2）奇函数x,都有 f x=fx ,一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x= fx ,那么 fx 就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特点 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称；2 确定 fx与 fx 的关系；3 作出相应结论： 如 fx = fx 或 fxfx = 0 ,就 fx是偶函数；如f x = fx 或 fxfx = 0,就 fx 是奇函数第 6 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数 .如对称, 1 再依据定义判定; 2 由 f-x ± fx= 0 或fx f-x= ± 1 来判定 ; 3 利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式（ 1） .函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间 的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函 数的定义域 . （2）求函数的解析式的主要方法有：配凑法 1 2 待定系数法 3 换元法 4 方程组法 10 函数最大（小）值（定义见课本）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx 在区间 a ,b 上单调递增, 在区间 b ,c上单调递减就函数 y=fx 在 x=b处有最大值fb ；假如函数 y=fx 在区间 a ,b 上单调递减, 在区间 b ,c上单调递增就函数 y=fx 在 x=b处有最小值fb ；例题：1.求以下函数的定义域：yx22x15y1x12x1x331 ,就函数 fx2的定义域为 _ _ 2.设函数 f 的定义域为0,3.如函数f x1的定义域为 2,3 ,就函数f2x1的定义域是x2x1,如f x 3,就 x = 4.函数f x 2 x 1x22 x x25.求以下函数的值域：y2 x2x3xRyx22x3x1,2第 7 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3yx12x4yx24x56.已知函数f x12 x4x ,求函数f x ,f2 x1 的解析式,0时f x = 7.已知函数f x 满意 2 f 3 x4；,就f x = 8.设 f x是 R 上的奇函数,且当x0,时 ,f x x 13x,就当xf x在 R 上的解析式为9.求以下函数的单调区间：yx22x33yx22x3yfx26x110.判定函数yx1的单调性并证明你的结论1 xfx1x2判定它的奇偶性并且求证：11.设函数fx 1x2其次章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念： 一般地, 假如xna,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1 ,且 n N*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是|0,记作n0a0；当 n 是奇数时,nana,当 n 是偶数时,nana|aa0 a0 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：ammnaman0 ,m ,nN* n1* n1,na11m a0 ,m ,nNnmaan0 的正分数指数幂等于 3实数指数幂的运算性质0,0 的负分数指数幂没有意义（1）r a ·ararsa0,r,sR ；第 8 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）r a sarsa0,r,sR ；（3）abrarasa0,r,sR （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数yaxa0,且a1叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R1留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和2、指数函数的图象和性质a>1 2 40<a<1 2 466554433221111-40-26-40-2-1-1定义域R 定义域R 值域 y|y 0 值域 y|y 0 在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定函数图象都过定点（ 0,1）点（ 0,1）6留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：（1）在 a ,b 上,fxaxa0 且a1 值域是fa ,fb或fb,fa；fx1；fx取遍全部正数当且仅当xR；（2）如x0,就a（3）对于指数函数fxaxa0且a1 ,总有f1 ；二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地,假如axNa0 ,a1 ,那么数x叫做以a 为底N 的对数,记作：xlogaN（a 底数, N 真数,logaN 对数式）a1；说明： 1留意底数的限制a0,且第 9 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2axNlogaNx；logaN3 留意对数的书写格式两个重要对数：1 常用对数：以10 为底的对数lgN；lnN2 自然对数：以无理数e.2 71828为底的对数的对数指数式与对数式的互化幂值ba N真数log a N b 底数指数 对数（二）对数的运算性质假如a0,且a1,M0,N0,那么：1logaM·NlogaMlogaN；2logMlogaMlogaN；aN3logaMnnlogaMnR 留意：换底公式logablogcb（a0,且a1；c0,且c1；b0）logca利用换底公式推导下面的结论（1）logambnnlogab；（2 ）logab1amlogb（二）对数函数1、对数函数的概念：函数 y log a x a 0,且 a 1 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是（0,+ ）留意： 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别；如：y 2 log 2 x,y log 5 x 都不是对数函数,而只能称5其为对数型函数第 10 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 对数函数对底数的限制：a0,且a1 2、对数函数的性质：a>1 4 56 70<a<1 6 7332.52.5221.51.511110.50.5-10-01.512 38-10-01.512 34 5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域 x0 定义域 x0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过函 数 图 象 都 过 定 点定点（ 1,0）（1,0）8（三）幂函数1、幂函数定义： 一般地, 形如yxaR的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在（0,+ ）都有定义并且图象都过点（1,1）；（2）0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间,0上是增函数 特殊地,当1时,幂函数的图象下凸； 当01 时,幂函数的图象上凸；（ 3）0时,幂函数的图象在区间 0 , 上是减函数在第一象限内, 当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地靠近 y轴正半轴,当 x 趋于 时,图象在 x 轴上方无限地靠近 x 轴正半轴例题：1. 已知 a>0 , a0,函数 y=ax与 y=loga-x 的图象只能是 第 11 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.运算：log32;24log23= ；251log5272log52= ; 364log270. 064170234160. 750. 011= 33283.函数 y=log12x 2-3x+1 的递减区间为24.如函数fx log ax 0a1在区间 a ,2 a 上的最大值是最小值的3 倍,就 a= 5.已知f x xa0 且a1,（1）求f x 的定义域（ 2）求使fx0的 x 的取值范畴loga11x第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 y f x x D ,把使 f x 0成立的实数 x 叫做函数 y f x x D 的零点；2、函数零点的意义：函数 y f x 的零点就是方程 f x 0 实数根,亦即函数 y f x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程 f x 0 的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y f x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数yax2axbxcac0 （ 1） ,方程2bx有两不等实根,二次函数的0图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点第 12 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2） ,方程ax2bxc0有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点（3） ,方程ax2bxc0无实根, 二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点5. 函数的模型收集数据画散点图不 符 合 实 际挑选函数模型求函数模型检验符合实际用函数模型说明实际问题第 13 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页