2022年高二数学上册各章节知识点总结4.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 不等式单元学问总结一、不等式的性质1两个实数a 与 b 之间的大小关系a ；a = b；a 1a 0a ；2ab = 0a = b；3a 0a 4 a b1如 a、bR,就5 a b = 16a1b2不等式的性质1abba对称性2abac传递性 bc3aba c加法单调性abacbcc04 乘法单调性 ab cacbcc05a a b移项法就6ab0a c bd同向不等式可加cd7aba c bd异向不等式可减cd8a bacbd同向正数不等式可乘c d01 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9a b0ab异向正数不等式可除0 cdcd10a 0ann b 正数不等式可乘方nN11a 0nanb正数不等式可开方nN12a 011正数不等式两边取倒数ab3肯定值不等式的性质1|a| ；a|a|=a a0,a a02假如 a0,那么|x|ax2a20 ；a x a|x|ax2a2x 或 a x a3|a·b|a|·|b|4|a b | | b| |5|a|b|a± b|a|b|6|a1a2 an| |a1|a2| |an|二、不等式的证明1不等式证明的依据1实数的性质：a、 同号ab ； 、 异号ab0a 0a ； 0a ； b = 0a = b2不等式的性质 略 3重要不等式：|a|0；a 20；ab20a、bR a2b2 2aba、bR,当且仅当a=b 时取“=” 号 =” 号a2baba、bR,当且仅当a = b时取“2不等式的证明方法1比较法：要证明a bab,只要证明ab 0ab0,这种证明不等式的方2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 法叫做比较法用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判定符号2综合法：从已知条件动身,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要 证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法3分析法：从欲证的不等式动身,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需 条件已判定为正确时,从而肯定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法证明不等式除以上三种基本方法外,仍有反证法、数学归纳法等三、解不等式1解不等式问题的分类 1解一元一次不等式2解一元二次不等式3可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带肯定值的不等式；解不等式组2解不等式时应特殊留意以下几点：1正确应用不等式的基本性质2正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性3留意代数式中未知数的取值范畴3不等式的同解性1fx·gx0与fx0或fx0同解 gx0 gx02fx·gx0与fx0或fx0同解gx0gx03 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3fx 与fx0或fx0同解gx0gx0gx0gx4 fx gx 与fx0或fx0同解gx0gx0gx05|fx| gx与 gxfx gx同解 gx 0 6|fx| gx与 fx gx或 fx gx 其中 gx 0同解；与gx 0 同解7fxgx与fxgx2或fx0同解fx0gx0gx08fxgx与fxgx2同解fx09当 a1 时, a fxagx与 fx gx同解,当同解0 a1 时, afxagx与 fx gx10当 时,a 1log fxlog gx与fxgx同解fx0当 时,log fxlog gx与fxgx同解 fx0gx0单元学问总结一、坐标法1点和坐标建立了平面直角坐标系后,坐标平面上的点和一对有序实数 的关系2两点间的距离公式x,y建立了一一对应设两点的坐标为P1x 1,y 1,P2x 2,y2,就两点间的距离|P P |=x2x12y2y124 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 特殊位置的两点间的距离,可用坐标差的肯定值表示：1当 x 1=x 2 时两点在 y 轴上或两点连线平行于 y 轴,就|P1P2|=|y2y1| 2当 y 1=y 2 时两点在 x 轴上或两点连线平行于 x 轴,就|P1P2|=|x2x1| 3线段的定比分点1 定义：设 P 点把有向线段 P P 2 分成 P P 和 PP 2 两部分,那么有向线段 P P 和 PP 2 的数量的比,就是 P 点分 P P 2 所成的比,通常用 表示,即 = P 1 P,点 叫做分线段 P P 2 为定比 的定比分点PP2当 P 点内分 P P 1 2 时, 0；当 P 点外分 P P 1 2 时, 02公式：分 P1x 1,y 2和 P2x 2,y2连线所成的比为 的分点坐标是xx1x2 1 = 1,得线段P P 1 2的中点坐标12yy1y1P 是P P 1 2的中点时,特殊情形,当公式xx12x2yy1y22二、直线1直线的倾斜角和斜率1当直线和 x 轴相交时, 把 x 轴围着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角,叫做这条直线的倾斜角当直线和 x 轴平行线重合时,规定直线的倾斜角为 0所以直线的倾斜角 0, 2倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 率,直线的斜率常用k 表示,即k = tan 2当 k 0 时, =arctank锐角 当 k0 时, = arctank钝角 k =3斜率公式：经过两点P1x 1,y1、P2x 2,y2的直线的斜率为y2y1x1x x2x12直线的方程1点斜式 已知直线过点 x 0, y0,斜率为 k,就其方程为：yy 0=kx x 0 2斜截式 已知直线在 y 轴上的截距为 b,斜率为 k,就其方程为：y=kx b 3两点式 已知直线过两点 x 1,y1和x 2, y2,就其方程为：y y 1= x x 1x 1x y 2 y 1 x 2 x 14截距式 已知直线在 x,y 轴上截距分别为 a、b,就其方程为：x y1a b5参数式 已知直线过点 Px 0,y0,它的一个方向向量是 a,b,x x 0 at就其参数式方程为 t 为参数 ,特殊地,当方向向量为y y 0 btvcos , sin 为倾斜角 时,就其参数式方程为x x 0 t cos t 为参数 y y 0 t sin 这时, 的几何意义是 t tv = p p,|t|=|p p|=|p p|6一般式 Ax By C=0 A 、B 不同时为 07特殊的直线方程垂直于 x 轴且截距为a 的直线方程是x=a,y 轴的方程是x=0 垂直于 y 轴且截距为b 的直线方程是y=b,x 轴的方程是y=03两条直线的位置关系1平行：当直线l1 和 l2 有斜截式方程时,k 1=k 2 且 b1 b26 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当l1和l2是一般式方程时,A1B1C1A2B2C22重合：当 l 1和 l 2 有斜截式方程时,一般方程时,A1B1C1A2B2C2k1=k2 且 b1=b2,当 l 1 和 l2 是3相交：当 l 1,l 2 是斜截式方程时,k 1 k 2 0 当l1,l2是一般式方程时,A2B122AB交点：A x A xB yC 10 的解 01 11k k20 B yC2到角：l1到l2的角tank2k斜1k k交夹角公式：l1和 夹角 2tan2k|1k k2|k21k k2垂直当l1和l2有叙截式方程时,k k22=12= 0当l1和l2是一般式方程时,A AB B4点 Px 0,y0与直线 l：Ax ByC=0 的位置关系：Ax0By0C = 0P 在直线 上 点的坐标满意直线方程 l Ax0By0C0P 在直线 外l点Px0,y 0到直线 的距离为：ld = |Ax0+ By0+ C|A2B25两条平行直线l 1Ax ByC1=0, l 2Ax By C2=0 间的距离为：d = |C 1A2C |B26直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系,x,y 以外,仍含有特定的系数 也称参变量 它的方程的特点是除含坐标变量确定一条直线需要两个独立的条件,在求直线方程的过程中往往先依据一个条件写出所求直线所在的直线系方程,然后再依据另一个条件来确定其中的参变量1共点直线系方程：7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 经过两直线l 1A 1xB 1yC1=0,l2A 2xB 2yC2=0 的交点的直线系方程为：A 1xB1y C1 A 2xB 2yC2=0,其中 是待定的系数在这个方程中, 无论 取什么实数, 都得不到A 2xB2y C2=0,因此它不表示l 2当 =0 时,即得 A 1xB1yC1=0,此时表示l 12平行直线系方程： 直线 y=kx b 中当斜率 k 肯定而 b 变动时, 表示平行直线系方程与直线 Ax By C=0 平行的直线系方程是 Ax By =0 C, 是参变量3垂直直线系方程：与直线 Ax By C=0A 0,B 0垂直的直线系方程是：BxAy =0假如在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解7简洁的线性规划1二元一次不等式Ax By C0或 0表示直线Ax ByC=0 某一侧全部点组成的平面区域二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,即各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划： 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题,例如, z=axby,其中 x, y 满意以下条件：A xB yC 10 或0A xB yC 20 或0* A xB xC n0 或0求 z 的最大值和最小值,这就是线性规划问题,不等式组 * 是一组对变量 x、y 的线性约束条件, z=axby 叫做线性目标函数满意线性约束条件的解 x,y叫做可行解,由全部可行解组成的集合叫做可行域,使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解三、曲线和方程1定义在选定的直角坐标系下,假如某曲线C 上的点与一个二元方程fx ,y=0 的实数解8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 建立了如下关系：1曲线 C 上的点的坐标都是方程fx ,y=0 的解 一点不杂 ；2以方程 fx ,y=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点 一点不漏 这时称方程 fx ,y=0 为曲线 C 的方程；曲线 C 为方程 fx ,y=0 的曲线 图形 设 P= 具有某种性质 或适合某种条件 的点 ,Q=x ,y|fx ,y=0 ,如设点 M 的坐标为 x 0,y0,就用集合的观点,上述定义中的两条可以表述为：1MPx0,y Q,即PQ；fx,y = 02x0,y QM ,即 PQP以上两条仍可以转化为它们的等价命题逆否命题 ：1x0,y QMP；2MPx0,y Q明显,当且仅当PQ且QP,即P = Q时,才能称方程为曲线 C 的方程；曲线 2曲线方程的两个基本问题C 为方程 fx ,y=0 的曲线 图形 1由曲线 图形 求方程的步骤：建系, 设点： 建立适当的坐标系,用变数对 x,y表示曲线上任意一点 M 的坐标；立式：写出适合条件 p 的点 M 的集合 p=M|pM；代换：用坐标表示条件 pM ,列出方程 fx ,y=0 ；化简：化方程 fx ,y=0 为最简形式；证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点上述方法简称“ 五步法”,在步骤中如化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同,就步骤可省略不写,由于此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程2由方程画曲线 图形 的步骤：争论曲线的对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点 ；求截距：方程组f x,y0 的解是曲线与x轴交点的坐标；y09 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方程组f x,y0 的解是曲线与y轴交点的坐标；x0争论曲线的范畴；列表、描点、画线3交点求两曲线的交点,就是解这两条曲线方程组成的方程组4曲线系方程过两曲线 f 1x ,y=0 和 f2x,y=0 的交点的曲线系方程是R四、圆1圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合 轨迹 叫圆2圆的方程f1x,y f2x,y=0 1标准方程 xa2yb2=r2a,b为圆心, r 为半径1特殊地：当圆心为0, 0时,方程为x2 y2=r2,E为圆心,以2一般方程 x2 y2DxEy F=0 配方xD2yE2D2E24F224当D2E24F 时,方程表示以 0D22D2E24F为半径的圆；,E2当D2E24F = 0时,方程表示点D22当 D2E24F 0 时,方程无实数解,无轨迹3参数方程以a, b为圆心,以r 为半径的圆的参数方程为xarcos 为参数ybrsin特殊地,以 0,0为圆心,以r 为半径的圆的参数方程为名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - xrcos 为参数yrsin3点与圆的位置关系设点到圆心的距离为 d,圆的半径为 r1 点在圆外 d ；2 点在圆上 d = r；3 点在圆内 d 4直线与圆的位置关系设直线 l：Ax ByC=0 和圆 C：xa2yb2=r2,就1相交d|Aa2BbB2C |A直线与圆的方程组成的方程组有两解, 0 或 ；相切2直线与圆的方程组成的方程组有一组解,= 0 或d = r；相离3直线与圆的方程组成的方程组无解, 0 或 5求圆的切线方法1已知圆 x2y2 Dx Ey F=0如已知切点 x 0, y0在圆上,就切线只有一条,其方程是x x0y yD xx0E yy0F00Ey02yF = 0 表示22当x,y 0在圆外时,x x 0y y 0D x2x过两个切点的切点弦方程如已知切线过圆外一点 x 0,y0,就设切线方程为 yy0=kx x 0,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于 y 轴的切线如已知切线斜率为 k,就设切线方程为 y=kx b,再利用相切条件求 b,这时必有两条切线2已知圆 x2y2=r2rx 0xy0y=r2如已知切点P0x 0,y0在圆上,就该圆过P0 点的切线方程为已知圆的切线的斜率为k,圆的切线方程为y = kx±k216圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r 2,就11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1两圆外切|O O |= r 1r2；2两圆内切|O O |=|r1r |；r1r23两圆相交|r1r |O O |单元学问总结一、圆锥曲线1椭圆1定义定义 1：平面内一个动点到两个定点F1、F2 的距离之和等于常数大于 |F1F2|,这个动点的轨迹叫椭圆这两个定点叫焦点定义 2：点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 c0 1时,这个点的轨迹是椭圆a2图形和标准方程图8 的标准方程为：1x2y21a b0a2b2图8 的标准方程为：2x2y21a b0b2a23几何性质12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 条件 M|MF 1|+|MF 2|=2a , 2a |F1F2|标准方程M|点M|MF |=点M|MF |= e, 1到l1的距离到l2的距离x2y21 a 0x2y21 a 0顶点a2b2b2a2A1 a , 0, A2a , 0A10 , a, A20 , aB10 , b, B20 , bB1 b , 0, B2b , 0轴 焦点 焦距离心率准线方程对称轴： x 轴, y 轴长轴长 |A1A2|=2a ,短轴长 |B1B2|=2bF1 c , 0, F2c , 0F10 , c, F20 , c|F1F2|=2cc 0, c2=a2 b2ec0 1l2： a2l1： a2；l2： a2al1： a2；cccc焦点半径点和椭圆的关系切线方程切点弦方程弦长公式|MF 1| a ex0 ,|MF 1| a ey0 ,|MF 2| a ex0|MF 2| a ey0外x2 0y2 01x0,y0在椭圆上a2b2内k 为切线斜率 ,2 2ykx±a kb2k 为切线斜率 ,2 2ykx±b ka2x xy y1x xy y1a2b2b2a2x 0 , y0为切点x0 , y0为切点x 0 , y0在椭圆外 x x 2y y 21 a bx0 , y0在椭圆外 x x 2y y 21 b a|x2x | 1 + k 12或|y1y | 1+ 1 2k 2其中 x1 , y1,x2 , y2为割弦端点坐标,k 为割弦所在直线的斜率2双曲线1定义定义 1：平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的肯定值等于常数 小于 |F1F2|的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫双曲线的焦点 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义 2：动点到肯定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数 ee1时,这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点2图形和标准方程图 83 的标准方程为：x2y21a0, 0a2b2图 84 的标准方程为：y2x21a0, 0a2b23几何性质14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 条件P M|MF 1|MF2| 2a, a 0 , 2a|F1F2| PM|点M|MF | 到 的距离 点 1M|MF | 到 l 2 的距离 , 12 2 2 2标准方程 x2y21a , 0 y2x21a , 0a b a b顶点 A1 a, 0, A2a , 0 A10 , a, A20 , a轴 对称轴： x 轴, y 轴,实轴长 |A1A2| 2a,虚轴长 |B1B2| 2b焦点 F1 c , 0, F2c , 0 F10 , c, F20 , c焦距 |F1F2| 2cc 0, c2 a2 b2离心率 ec e1a准线方程 l 1： ac 2；l 2： ac 2l 1： ac 2；l 2： ac 22 2 2 2渐近线方 程 y±ba x 或 xa 2yb 20 y±ab x 或 ya 2xb 20共渐近线的双曲线 x2 2y 22kk0 y2 2x 22kk0a b a b系方程|MF1| ex0 a,|MF1| ey0 a,焦点半径|MF2| ex0 a ykx±a k b 2 |MF2| ey0 a ykx±b k a 2k 为切线斜率 k 为切线斜率 kb 或 b ka 或 a切线方程 x xa 02 ay yb 021 a y ya 02b x xb 021 bx 0 , y0为切点 x0 , y0为切点2 x y y x 2xya 的切线方程：a x 0,y 为切点2x 0 , y0在双曲线外 x 0 , y0在双曲线外切点弦方 程 x x2y y21 y y2x x21a b a b|x 2x | 1+ k 2 或 |y 1y | 1 + 1 2k弦长公式其中 x1 , y1, x2 , y2为割弦端点坐标,k 为割弦所在直线的斜率3抛物线1定义15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程,类型及几何性质,见下表：抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点,以一条坐标轴为对称轴；方程不同,开口方向不同；焦点在对称轴上,顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离弦长公式：设直线为 ykx 抛物线为 y 22px,|AB|1 k 2|x 2x |1 12 |y 2y |k焦点弦长公式：|AB|px 1x 24圆锥曲线 椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线 的统肯定义与肯定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用 e 表示,当 0e1 时,是椭圆,当 e1 时,是双曲线,当 e1 时,是抛物线二、利用平移化简二元二次方程1定义缺 xy 项的二元二次方程Ax2 Cy2Dx EyF0A 、C 不同时为 0 ,通过配方和平移,化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程,称为利用平 移化简二元二次方程AC 是方程 为圆的方程的必要条件A 与 C 同号是方程 为椭圆的方程的必要条件A 与 C 异号是方程 为双曲线的方程的必要条件A 与 C 中仅有一个为0 是方程 为抛物线方程的必要条件2对于缺 xy 项的二元二次方程：Ax2Cy2Dx EyF0A ,C 不同时为0利用平移变换,可把圆锥曲线的一般名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方程化为标准方程,其方法有：待定系数法；配方法2 2 2 2椭圆： xa 2 h yb 2 k 或 xb 2 h ya 2 k 1中心 Oh,k 2 2 2 2 x h y k y k x h 双曲线：22 或 1 221a b a b中心 Oh,k 抛物线：对称轴平行于 x 轴的抛物线方程为yk 22pxh或yk 2 2pxh,顶点 Oh,k对称轴平行于 y 轴的抛物线方程为：xh22pyk或 xh2 2py k 顶点 Oh,k以上方程对应的曲线按向量 准方程的形式ah, k平移,就可将其方程化为圆锥曲线的标名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页