知识材料讲解-导数的计算-学习基础(1).doc

+导数的计算【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。3. 能熟练运用四则运算的求导法则， 4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式（1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3），（4），（5），（6），（7），（8）， 。要点诠释：1常数函数的导数为0，即C=0（C为常数）其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴 2有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n1）次幂的乘积，即（nQ）特别地，。 3正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）=cos x 4余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）=sin x5指数函数的导数：，6对数函数的导数：，有时也把 记作： 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可 知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数：（）要点诠释： 1. 上述法则也可以简记为： （）和（或差）的导数：， 推广： （）积的导数：， 特别地：（c为常数） （）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时， 这是一个函数倒数的求导法则 2两函数积与商求导公式的说明（1）类比：，（v0），注意差异，加以区分 （2）注意：且（v0） 3求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量知识点三：复合函数的求导法则 1复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数 要点诠释： 常把称为“内层”， 称为“外层” 。2复合函数的导数 设函数在点x处可导，函数在点x的对应点u处也可导，则复合函数在点x处可导，并且，或写作3掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层。（2）各层求导：对内层，外层分别求导。得到（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到 的导数。要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层求导回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。【典型例题】类型一：求简单初等函数的导数例1. 求下列函数的导数： (1) (2) (3)（4）（5）【解析】(1) (x3)=3x31=3x2； (2) ()=(x2)=2x21=2x3(3) （4）；（5）；【点评】（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度。（2）准确记忆公式。（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。举一反三：【变式】求下列函数的导数：(1)y = (2)y = （3）y=2x33x2+5x4 （4）； 【答案】 (1) y=()=(x3)=3x31=3x4(2（3）（4），.类型二：求函数的和、差、积、商的导数例2. 求下列函数导数： (1) y3x2xcosx； (2)y； (3)ylgxex；（4）y=tanx.【解析】 (1)y6xcosxxsinx.(2)y.(3)y(lgx)(ex)ex.(4)=tanx+.【点评】（1）熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前提。（2）先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略。举一反三：【变式1】函数在处的导数等于( )A1 B2 C3 D4【答案】D法一： .法二：.【变式2】 求下列各函数的导函数（1）y=(x+1)(x+2)(x+3)。 （2）y=x2sinx; （3）y=【答案】（1）y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11。（2）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx（3）=【变式3】求下列函数的导数.（1） y （2 x25 x 1）ex； （2）；（3） y 【答案】（1） y(2 x25 x 1)e x (2 x25 x 1) (e x )（4 x 5）e x （2 x 25 x 1）e x （2x 2x 4）ex（2），.（3）y(sin x x cos x)(cos x x sin x)(sin x x cos x)(cos x x sin x)(cos x cos x x sin x) (cos x x sin x)(sin x x cos x) (x cos x)类型三：求复合函数的导数例3求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； 【解析】 （1）设=1-3x，则 。 （2）设，y=cos，则 。（3）设【点评】 把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注意逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。举一反三：【变式】 求下列函数导数. （1）； （2）； （3）.【答案】（1）， （2），.（3），.例4 求下列函数导数. (1)； （2）； （3）【解析】 (1) 令,（2） 。（3）设，=sinv，则 在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤： 【点评】 （1）复合函数求导数的步骤是：分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）；将中间变量代回为自变量的函数。简记为分解求导回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了，即分解（复合关系）求导（导数相乘）。（2）同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。举一反三：【变式1】 求y sin4x cos 4x的导数【答案】解法一 y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x1sin22 x1（1cos 4 x）cos 4 xysin 4 x解法二 y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【变式2】求下列函数导数：（1）； （2）求函数的导数（）。【答案】 （1）设u=12x2，则。 。（2）方法一： 。方法二：， 。类型四：利用导数求函数式中的参数例5 （1），若，则a的值为（ ）A B C D（2）设函数，若是奇函数，则=_。【解析】 （1），故选A。（2）由于，若是奇函数，则，即，所以。又因为，所以。【点评】 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。举一反三：【变式1】已知函数过点（1，5），其导函数的图象如图3-2-1所示， 求的解析式。【答案】，由，得，解得，函数的解析式为。【变式2】已知是关于的多项式函数，（1）若，求；（2）若且，解不等式.【解析】显然是一个常数，所以所以，即所以，可设 由，解得