2022年高考不等式经典例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考不等式经典例题【例 1】已知 a0,a 1, Plog aa 3a 1,Q logaa 2 a 1,试比较 P 与 Q 的大小 . 【解析】 由于 a3 a 1a2a 1a2a1,当 a 1 时, a3 a 1a2 a1,PQ；当 0 a 1 时, a3 a1a2a1, P Q；综上所述, a0, a 1时, P Q. 【变式训练 1】 已知 maa2a2,nx 12x 1 2,就 m, n 之间的大小关系为 A.m n B.mn C.m n D.mn【解析】 选 C.此题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递 . m aa 2 1 a 2a 2 1 2 224,而 n x 2 1 2 24. 【变式训练 2】 已知函数 fxax2c,且 4 f1 1, 1f25,求 f3的取值范畴 . 【解析】 由已知 4f1 ac 1, 1f24ac 5. 令 f3 9a c a c4ac,所以49,185,33故 f35 3a c34a c 1,20. 8题型三 开放性问题【例 3】 已知三个不等式： ab 0； ad b； bcad.以其中两个作条件,余下的一个作结论,就能组成多少个正确命题？【解析】 能组成 3 个正确命题 .对不等式作等价变形:c a d b. bcad0. 1由 ab0,bc ad.bcad0,即 . ；ab2由 ab0,bc ad 0. bcad0. bc ad,即 . ；ab3由 bc ad 0,bcad ab0. ab0,即 . . 故可组成 3 个正确命题 . 【例 2】解关于 x 的不等式 mx2 m2x20 mR. 【解析】 当 m 0 时,原不等式可化为2x20,即 x 1；当 m 0时,可分为两种情形：名师归纳总结 1m 0 时,方程 mx 2m 2x 20 有两个根, x1 1, x22 m. 第 1 页,共 4 页所以不等式的解集为 x|x 1 或 x2 m ；2 m 0 时,原不等式可化为mx 2 2mx 20,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其对应方程两根为 x1 1, x22 m, x2 x1 2 m1 m2 . m 2 时, m2 0, m 0,所以 x2 x1 0, x2 x1, 不等式的解集为 x| 1x2 m ；m 2 时, x2 x1 1,原不等式可化为 x12 0,解集为 .； 2 m0 时, x2x10,即 x2x1,不等式解集为 x|2 m x 1. 【变式训练 2】 解关于 x 的不等式ax10. x 1【解析】 原不等式等价于 ax 1 x1 0. 当 a 0 时,不等式的解集为 x|x 1 ；当 a0 时,不等式的解 集为 x|x1 a或 x 1 ；当 1 a0 时,不等式的解集为 x|1 ax 1 ；当 a 1 时,不等式的解集为 .；当 a 1 时,不等式的解集为 x| 1 x1 a. 【例 3】已知 ax2bx c0 的解集为 x|1x 3 ,求不等式 cx2bxa 0 的解集 . 【解析】 由于 ax2 bx c0 的解集为 x|1 x 3 ,因此 a 0,解得 x1 3或 x 1. 1zx 2y 4 的最大值；2zx 2y210y25 的最小值；3z2y1 x 1的取值范畴 . 【解析】 作出可行域如下列图,并求出顶点的坐标 A1,3, B3,1,C7,9. 1易知直线 x2y 4 z 过点 C 时, z 最大 . 所以 x7,y 9 时, z 取最大值 21. 2zx 2y 52 表示可行域内任一点x, y到定点 M0,5的距离的平方,名师归纳总结 过点 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足N 在线段 AC 上,. 第 2 页,共 4 页故 z的最小值是 |0 52| 229 2. 3z2·y 1 2x 1表示可行域内任一点x, y与定点 Q 1,1 2连线斜率的2 倍. 由于 kQA7 4, kQB3 8,所以 z 的取值范畴为 3 4,7 2. 【例 1】1设 x,y R,且 xyxy1,就 A .x y221 B . x y221 C. xy 2212D. x y2 122已知 a,bR ,就ab,ab,2a 2b2,2ab a b的大小次序是2【解析】 1选 A.由已知得 xy1 x y,又 xy x y 2 2,所以 x y2 2 1xy. 解得 x y22 1或 xy 212. 由于 x y 0,所以 xy 221. 2由ab2ab有 ab2ab,即 ab2ab,所以abab2ab ab. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又ab2a 2 2ab b22a学习必备a欢迎下载所以a2b2ab2 2ab2ab a b. 2 b2,所以42b2ab,2 24【变式训练1】 设 ab c,不等式1 ab1 b c a c恒成立,就 的取值范畴是. 【解析】 , 4.由于 a bc,所以 ab 0, b c 0, a c 0. 而a c ab1b c a b bc 1a b1b c 4,所以 4. 1【例 2】1已知 x5 4,就函数 y 4x 24x 5的最大值为 1；【解析】 1由于 x5 4,所以 54x0. 所以 y 4x24x 5 54x154x3 23 1. 1当且仅当 54x1,即 x1 时,等号成立 . 所以 x1 时, ymax1. 5 4x2【变式训练 2】 已知 x, a,b,y 成等差数列, x, c, d,y 成等比数列,求 a b 的取值范畴 . cd【解析】 由等差数列、等比数列的性质得 ab x y,2 2 2 2cd xy,所以a b cdxyxy 2x y y x,当 y x 0 时, a b4；当y x0 时, ab0,2故a b 的取值范畴是 , 04 , .cd名师归纳总结 例已知x y , ,0,281,求 xy 的最小值；32x64；第 3 页,共 4 页xy解：xyxy2 1xy2824y64x3224y64xxyxyxy当且仅当2 x81时,即x4.y16,上式取“=” ,故xymin64y2例已知 0x1,求函数y4x11x的最小值；x解： 由于 001x9x1,所以 1；所以y411xx1x411x54 1xxxx当且仅当4 1 xx1xx时,即x2,上式取“=”,故y min9；3例已知x y zR ,且xyz1,求1 x49的最小值；yz解： 设0,故有xyz10；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 149149xy学习必备欢迎下载4y9zz11 xxxyzxyzyz246412；当且仅当1x,4y,9z同时成立时上xyz述 不 等 式 取 “= ” , 即x1,y2,z3, 代 入xyz1, 解 得36 , 此 时1 23 6,故1 x9的最小值为36；yz例如正实数x,y满意xy2xy6,就xy 的最小值是；（变式：求2x+y 的最小值为_）答案： 18 解：由于x>0,y>0 ,所以xy2 xy622 xy6,xy2 2xy60,解得xy3 2 或xy（舍）xy 的最小值为18；等号当且仅当2x=y= 6 时成立,故变式答案： 12 名师归纳总结 解：由于 x>0, y>0 ,所以xy2 xy61 2 2xy2 4 舍）第 4 页,共 4 页2整理得2xy282xy480,解得 2xy12 或2xy；等号当且仅当2x=y= 6 时成立,故2x+y 的最小值为12；例如对任意x0,2 xx1a恒成立,就 a 的取值范畴是3 x答案：a1a1；5解：由于x0,所以x12（当且仅当 x=1时取等号）,所以有x2 xx1x132131,即x2x1的最大值为1 5,故3 x153 x5x- - - - - - -