2022年高考数学重点难点复习求空间的角.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求空间的角空间的角是空间图形的一个要素,在异面直线所成的角、线面角、 二面角等学问点上,较好地考查了同学的规律推理才能以及化归的数学思想. 难点磁场 如图, l 为 60° 的二面角, 等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在 l 上,M ,N ,且 MP 与 所成的角等于NP 与 所成的角 . 1求证： MN 分别与 、 所成角相等；2求 MN 与 所成角 . 案例探究例 1在棱长为a 的正方体 ABCD A BCD 中,E、F 分别是 BC、A D 的中点 . 1求证：四边形BEDF 是菱形；2求直线 A C 与 DE 所成的角；3求直线 AD 与平面 BEDF 所成的角；4求面 BEDF 与面 ABCD 所成的角 . 命题意图： 此题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法,综合性较强,属级题目 . 学问依靠：平移法求异面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角 . 错解分析：对于第 1问,如仅由 BE=ED=DF=FB 就肯定 BEDF 是菱形是错误的,因为存在着四边相等的空间四边形,必需证明B 、 E、D、F 四点共面 . 技巧与方法：求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采纳平移法 .求二面角的大小也可应用面积射影法 . 51证明：如上图所示,由勾股定理,得 BE=ED=DF=FB =2 a,下证 B 、 E、 D、F 四点共面,取 AD 中点 G,连结 A G、EG,由 EG AB AB 知, BEGA 是平行四边形 . 名师归纳总结 BE AG,又 AF DG,A GDF 为平行四边形 . 第 1 页,共 10 页A G FD, B 、 E、D、F 四点共面- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故四边形 BEDF 是菱形 . 学习必备欢迎下载2解：如下列图,在平面ABCD 内,过 C 作 CP DE,交直线 AD 于 P,就 ACP或补角 为异面直线AC 与 DE 所成的角 . 13a 在 ACP 中,易得 A C=53 a,CP=DE=2a,AP=215由余弦定理得cosACP=1515故 A C 与 DE 所成角为 arccos15. 3解： ADE= ADF,AD 在平面 BEDF 内的射影在 EDF 的平分线上 .如下图所示 . 又 BEDF 为菱形, DB 为 EDF 的平分线,故直线 AD 与平面 BEDF 所成的角为 ADB 在 Rt BAD 中, AD= 2 a,AB = 2 a,BD= 2 a 3就 cosADB =33名师归纳总结 故 AD 与平面 BEDF 所成的角是arccos3. D 的中点, 从而 O 为正方形 ABCD第 2 页,共 10 页4解：如图, 连结 EF、BD,交于 O 点,明显 O 为 BA BCD 的中心 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载作 OH平面 ABCD ,就 H 为正方形 ABCD 的中心,再作 HM DE,垂足为 M ,连结 OM ,就 OM DE,故 OMH 为二面角 B DE A 的平面角 . 2 3 5在 Rt DOE 中, OE=2 a,OD=2 a,斜边 DE=2 a, OD OE 30就由面积关系得 OM= DE 10 a OH 30在 Rt OHM 中, sinOMH= OM 630故面 BEDF 与面 ABCD 所成的角为arcsin6. 例 2如下图,已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 AA1 长为 b,且 AA1 与 AB 、AD 的夹角都是 120° . 求： 1AC1 的长；名师归纳总结 2直线 BD1 与 AC 所成的角的余弦值. AD. 第 3 页,共 10 页命题意图：此题主要考查利用向量法来解决立体几何问题,属级题目学问依靠：向量的加、减及向量的数量积. =90° . 错解分析：留意AA ,AB=AA , AD =120° 而不是 60° ,AB,技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解:1|AC12 |AC1AC1AA 1学习必备欢迎下载ACAA 1ACAA 1ABADAA 1ABADAD2ABADab,ABAD0,|AA 1| 2|AB| 2|AD| 22AA 1AB2AA 1由已知得:|AA 12 |b2|,AB2 |AD2 |a2901AA 1,ABAA 1,AD120,AB,ADAA 1ABbacos 1201ab ,AA 1ADbacos 12022|AC 1| 22a2b22ab ,|AC1|2a2b22ab.ab2 a2b22 依题意得|,AC|2a,ACABADBD 1ADBAAA 1ADABABADACBD 1ABADAA 1ADABABAA 1ADAA 1ABADAD2AB2|BD 12 |BD1BD 1AA 1ADABAA 1ADAB|AA 1| 2|AD| 2|AB| 22AA 1AD2ABAD2AA 1AB|BD 1|2 a2b2cosBD1,AC|BD1|AC|4a2b2b2BD 1ACbBD1 与 AC 所成角的余弦值为4 a22b2. 锦囊妙计空间角的运算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范畴： 0° 90°方法：平移法；补形法 . 2.直线与平面所成的角 范畴： 0° 90°方法：关键是作垂线,找射影 . 3.二面角方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 . 注：二面角的运算也可利用射影面积公式 S=Scos 来运算 消灭难点训练一、挑选题1. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, M 为 DD1 的中点, O 为底面 ABCD 的中心, P 为棱 A1B1 上任意一点,就直线OP 与直线 AM 所成的角是 A.6B.4C.3D.22. 设 ABC 和 DBC 所在两平面相互垂直,且CBD=120 ° ,就 AD 与平面 BCD 所成的角为 AB=BC=BD=a, CBA= 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - A.30 °B.45°学习必备欢迎下载D.75°C.60°二、填空题3. 已知 AOB=90 ° ,过 O 点引 AOB 所在平面的斜线 OC,与 OA 、OB 分别成45° 、 60° ,就以 OC 为棱的二面角AOC B 的余弦值等于 _. 4. 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 23,就这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 _. 三、解答题5. 已知四边形 PA=AD=AB=1,BC=2 1求 PC 的长；ABCD 为直角梯形, AD BC, ABC=90 ° ,PA平面 AC,且2求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小；3求证：二面角 BPCD 为直二面角 . 6. 设 ABC 和 DBC 所在的两个平面相互垂直,且DBC=120 °求： 1直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小；2异面直线 AD 与 BC 所成的角；3二面角 A BD C 的大小 . AB=BC=BD , ABC= 7. 一副三角板拼成一个四边形ABCD ,如图,然后将它沿BC 折成直二面角 . 1求证：平面ABD 平面 ACD ；2求 AD 与 BC 所成的角；3求二面角 ABD C 的大小 . 8. 设 D 是 ABC 的 BC 边上一点,把置 C 在平面 ABD 上的射影 H 恰好在 AB 上. ACD 沿 AD 折起,使 C 点所处的新位1求证：直线CD 与平面 ABD 和平面 AHC 所成的两个角之和不行能超过90° ；2如 BAC=90 ° ,二面角C AD H 为 60° ,求 BAD 的正切值 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案难点磁场1证明：作 NA 于 A ,MB 于 B,连接 AP、PB、BN 、AM ,再作 ACl 于 C,BD l 于 D,连接 NC、 MD. NA ,MB , MPB 、 NPA 分别是 MP 与 所成角及 NP 与 所成角, MNB ,NMA 分别是 MN 与 , 所成角, MPB= NPA. 在 Rt MPB 与 Rt NPA 中, PM=PN , MPB= NPA, MPB NPA, MB=NA. 在 Rt MNB 与 Rt NMA 中, MB=NA ,MN 是公共边,NMA ,即 1结论成立 . MNB NMA , MNB=2解：设 MNB= ,MN=2 a,就 PB=PN=a,MB=NA=2 asin ,NB=2 acos,MB ,BD l,MD l, MDB 是二面角 l 的平面角, MDB=60 ° ,同理 NCA=60 ° , BD=AC=3 MB 36asin ,CN=DM=6MB26asin , 3sin603MB , MP PN, BPPN BPN=90 ° ,DPB= CNP, BPD PNC,PCBD2a2PNPB即a2aCN2DBa2,a226asin26sin3BN2a32acos整理得, 16sin4 16sin2 +3=0 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 sin2 =1 或 43,sin =1 或 23学习必备欢迎下载26asin = 2 aPN 不合理,342,当 sin =2时,CN=3舍去 . 1sin = 2,MN 与 所成角为30° . 消灭难点训练一、 1.解析： 特别位置法）将P 点取为 A1 ,作 OEAD 于 E,连结 A1E ,就 A1E 为 OA1的射影,又 AM A1E , AM OA1 ,即 AM 与 OP 成 90° 角 . 答案： D 2.解析：作 AO CB 的延长线,连 3OD,就 OD 即为 AD 在平面 BCD 上的射影,AO=OD=2a, ADO=45 ° . 答案： B 二、 3.解析：在 OC 上取一点 C,使 OC=1 ,过 C 分别作 CAOC 交 OA 于 A ,CB OC 交OB 于 B,就 AC=1 ,OA=2 ,BC=3 ,OB=2 ,Rt AOB 中,AB2=6 , ABC 中,由余3弦定理,得cosACB= 3. 3 答案：3S4.解析：设一个侧面面积为S1,底面面积为S,就这个侧面在底面上射影的面积为3,由题设得S 12,设侧面与底面所成二面角为 ,就 cos =1 3SS1, =60° . S3S 13 S 12答案： 60°名师归纳总结 三、 5.1解：由于2PA平面AC , AB BC, PB BC, 即 PBC=90 ° ,由勾股定理得第 7 页,共 10 页PB=PA2AB22. PC=PB2PC6. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2解：如图,过点 C 作 CE BD 交 AD 的延长线于 E,连结 PE,就 PC 与 BD 所成的角为PCE 或它的补角 . CE=BD=2 ,且 PE=PA22AE2103由余弦定理得cosPCE=PC2CE2PE2CEPC63PC 与 BD 所成角的余弦值为6. G、F,连结FG、AG 、 DF,就GF BC AD ,且3）证明：设PB、 PC 中点分别为1GF=2BC=1=AD ,从而四边形ADFG 为平行四边形,又 AD 平面 PAB, AD AG ,即 ADFG 为矩形, DF FG. 在 PCD 中, PD=2 , CD=2 ,F 为 BC 中点, DFPC 从而 DF平面 PBC,故平面 PDC平面 PBC,即二面角BPCD 为直二面角 .6.解： 1如图,在平面 ABC 内,过 A 作 AH BC,垂足为 H,就 AH平面 DBC , ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角 .由题设知AHB AHD ,就 DH BH ,AH=DH , ADH=45 °2BCDH ,且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影,名师归纳总结 BCAD ,故 AD 与 BC 所成的角为90° . 第 8 页,共 10 页3过 H 作 HR BD,垂足为R,连结 AR,就由三垂线定理知,AR BD,故 ARH 为二面角 A BD C 的平面角的补角.设 BC=a,就由题设知, AH=DH=3a,BHa,在 HDB22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3AH学习必备欢迎下载中, HR=4a, tanARH=HR=2 故二面角 A BD C 大小为 arctan2. 7.1证明：取 BC 中点 E,连结 AE , AB=AC , AE BC 平面 ABC 平面 BCD , AE平面 BCD ,BCCD ,由三垂线定理知 AB CD. 又 AB AC , AB 平面 BCD , AB 平面 ABD. 平面 ABD 平面 ACD. 2解：在面 BCD 内,过 D 作 DF BC,过 E 作 EFDF,交 DF 于 F,由三垂线定理知 AFDF, ADF 为 AD 与 BC 所成的角 . 设 AB=m ,就 BC=2 m,CE=DF=26212m,CD=EF=3m tanADFAFAE2EF221,ADFarctanDFDF3321即 AD 与 BC 所成的角为 arctan 33解： AE 面 BCD ,过 E 作 EGBD 于 G,连结 AG ,由三垂线定理知 AG BD , AGE 为二面角 A BDC 的平面角2 2 EBG=30 ° , BE= 2 m, EG= 4 m2 AE又 AE= 2 m,tanAGE=GE =2, AGE=arctan2. 即二面角 A BD C 的大小为 arctan2. 名师归纳总结 8.1证明：连结DH , CH平面 ABD , CDH 为 CD 与平面 ABD 所成的角且第 9 页,共 10 页平面 CHA 平面 ABD ,过 D 作 DEAB ,垂足为 E,就 DE平面 CHA. 故 DCE 为 CD 与平面 CHA 所成的角DEDHsinDC E=CDCD=sinDC H - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - DCE DC H, 学习必备欢迎下载 DCE+CDE DCH+ CDE=90°2解：作 HG AD ,垂足为 G,连结 CG, 就 CG AD,故 CGH 是二面角 C ADH 的平面角2名师归纳总结 即 CGH=60 ° ,运算得tanBAD=2. 第 10 页,共 10 页- - - - - - -