2022年高等代数课程试卷及参考答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高等代数课程试卷及参考答案代数与解析几何试题（一）一、运算（ 20 分）1）13512）xaaxaaxaa5272aa2141a3463二、证明：（20 分）1）如向量组1n线性无关,就它们的部分向量组也线性无关；1n中部分向量线性相关,就向量组1n必线性相关2）如向量组三、（15 分）已知 A 为 n 阶方阵 A为 A 的相伴阵,就 |A|=0, A的秩为 1 或 0；四、（10 分）设 A 为 n 阶阵,求证, rank（A+I ）+rank（A-I） n 五、（15 分）求基础解系x 1x2x33x444000x 1x2x33 xx 1x22x3x六、（10 分）不含零向量的正交向量组是线性无关的 七、（10 分）求证 ABC 的正弦正定理名师归纳总结 aAbBcC第 1 页,共 18 页sinsinsin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 一 一、1）-126 2）xn2 ax2 a n1二、证明：1）11n线性无关,1r是其部分向量组,如存在不全为00 的数k1rk使k 11rkr0就取kr1k r2kn0,就k 11rkrr10n0,就可知n线性相关冲突,所以1r必线性无关；k1rk不全为 0,使2）已知1r是向量组中1n中的部分向量,且线性相关即k 11rkr0, 取k r1kn0, 于 是 有 不 全 为0的k 1rk00, 使k 11rkr0r10n0即1n线性相关；三、证明：|A|A A |A|A|I|A|由于|A|=0 ,A 的秩 n-1 1）如 A 的秩为 n-1,就 A 中的各元素为 A 的全部 n-1 阶子式,必有一个子式不为 0,又由于 A的各列都是 AX=0 齐次线性方程组的解,其基础解系为 n-（n-1）= 1,由此 A的秩为 1；2）如 A 的秩 n-1,就 A 中的全部 A 的n-1 阶子式全为 0,即A =0, A 的秩为 0；四、证明：对任意 n 级方阵 A 与 B,有rank（A+B）rank（A）+ rank （B）又 rank（AI）=rank（ AI）=rank（IA）rank（A+I）+（IA）=rank（ 2I） = rank（I）=n rank（A+I ）+rank（IA）=rank（A+I ）+rank（ AI）五、名师归纳总结 A11111101取x 21,0基础解系第 2 页,共 18 页11130012x 401111230000112100201- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 六、证明：设e 1e 2e n是正交向量组,且不含空向量；如有就k 1e 1k2e 2knkne n,e0ni1nne线性无关 k 1e 2e n,e i且kk i e i0k 1e 2ne n,ee i e ie i0ki,0i1即e1七、证明：如图：|abacaacsinB A B cabC bcca cacab|absinC|ac|bcsinBCac|bc|bcsinAbcsinAabsinabcCsinAsinBsin代数与解析几何试题（二）一、运算：（20 分）1b 1000n-1 个向量100211b 1b 2001）30042）011b 200541312340001b n1b n00011b n二、（20 分）如一向量组是线性相关的充分必要条件是至少有一个向量是其余的线性组合；名师归纳总结 三、（10 分）如 S1与 S2 是线性空间 V（F）的不同真子空间,求证至少存在一个向量,第 3 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 使Sii,12四、（10 分）求基础解系3x1x226x 334x 442x502x 12x3x5x3x50x 15x 26x 38x46x 50五、（15 分）证明：含有 n 个未知数的 n+1 方程的方程组a11x 1a12x 2a 1nxnb 12a21x 1a22x2a2nxnb有解的必要条件是行列式名师归纳总结 an 1x 1an2x2a nnxnbn0 ,V 的维数为 n-1；an11x 1an12x 2an1 nxnb n1a 11a 1nb 1a21a2nb 20但这一条件不充分,试举一反例；an 1annb nan11annnbn1六、（15 分）设 V 是 n 维欧氏空间V,0,求|七、（10 分）设 ABC 的三条中线的交点为O,求证：OAOBOC0第 4 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 二 一、1）-60 2）1 k 11knn0设 ki 不等 0,于是二、证明：如相关, Nwh 不全为 0 的数k1kn使kiik 11k i1i1k i1i1ik 11k i11kii1ikiik2,就S 1,S 2否就S 1如有一个向量表示其余之向量n-1 个向量的组合1k 11kii1ki1i1k nn有k 11kii1iki1i1knn三、证明：设1S 1,1S 2,2S 2,2S 1,就1有21S 冲突,如S 有1S 2S 2冲突；四、解：A3,1,064211,09,3114 34 74 52235301444x3156860000093104 34 74 5x40104 124 034 0x 5001010001五、解：如有解：就把系数阵各列看作列向量有：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1 b 11n, 即1n线性相关,于是有D=0,反之不成立000ie ,x nbn12xy12112xy2有2120但无解；2xy2212六、证明：非空间且1,22有（k 11k22）k1k22是子空间；把扩充为V 的一组基12n,把这组基正交化,1e 1,e 2e n有eii2n,即的维数为n-1 七、证明：如图A 已知 O 是 ABC 三条中线的交点,由向量加法有E AD1ABACF O C 2BF1BABCB D 2CF1CACB2又OA2AD,OB2BE,OC2CFAC333OAOBOC2ADBECF3又APBECF1ABACBABCCACB10022OAOBOC0代数与解析几何试题（三）一、运算：（20 分）名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1）12342）011110xx23411x0x341241231xx0二、（10 分）如一个不含零向量的向量组成线性相关,就至少有两个向量是其余向量的线性组合；三、（20 分）如S 1S 2S m是线性空间V（F）的真子空间,求证到存在一个向量,使iSi i1m 四、（15 分）求证： 1）A 2=A,求证： P=2AI 为对合阵2）A 为 2n+1 阶方阵,且 A=A,求证 |A|=0 五、（10 分）求基础解系x 1x2x 2x32x42040x 1x2x3x402x 12x3x六、（10 分）如 A 为 n 阶方阵,如对任意的一列矩阵X,均有 AX=0,求证 A 为零阵七、（15 分）设e1e n是 n 维欧氏空间 V 的标准正交基,1k是 V 中 k 个向量,如1k两两正交,就必有 ns1ie sje s0i,j1k,ij答案 三 名师归纳总结 一、 1）160 2）1n1n1xn21bk nn,第 7 页,共 18 页二、证明：1n线性相关, 且不含 0 向量,就有一组不全为0 的数k1kn使k 1由于至少有一个ik0有kiik 11k nnik 11kn如其余的nk 2ki一 个 系 数kj全 为0 , 就i矛 盾 , 故 必 有 至 少 有 一 个k j,0ij于 是ki- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - jk 11knn即至少有两个向量是其余向量的线性结合；kjkj三、证明：用归纳法,当 n 2 命题成立（由习题 4）解设为：n k 的命题,当 n k 1 时,由归纳假定存在 Si i 1 k 如 S k 1 就命题成立；如 S k 1,就由 S k 1 为真子空间, 有 S k 1,此时有 k,使 k r S,否就 k r S k 1,就 k S k 1 同时,对不同的 k 1,k 2 不含有 1k 与 k 2 同属于一个 Si i 1 k 反之,如 k 1 S i , k 2 S i 有 k 1 k 2 iS 中 的 所 有 ki i 1 k , 于 是 这 样 的 k , 有k S i i 1 k 12A A四、证明： 1）P 2 2 A I 2 A I 4 A 2 4 A I I P 为对合阵2）A 为 2n+1 阶方阵,且 A A有 A A 1 2 n 1A A又 A A 即 A A , A 0五、解：名师归纳总结 A11111011令x 31,0有1Xnk0第 8 页,共 18 页1111010x 401222200001010,21100110六、证明：A 对任意一列矩阵X 均有AX=0 ,取X10,X21于是,000A X1,X2XnAI0,就 A=0 两两正交,七、设e1e n是 n维欧氏空间V 的标准正交基1k是 V 中 k 个向量,如就必有nie sje s0i,j12k1,js1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：ik i1e 1k ine n又ie jkj1 e 1kjne nkjskisje n又ij两两正交,ij,有ik i1kj 1kinkjnsnkiskjs0于是n1esjess1ns1kiskjsi0代数与解析几何试题（四）一、运算（ 20 分）1351122）1333n 个向量的32331）5272333321413463333n二、（15 分）证明：向量组n线性相关充分且必要条件是至少有一个向量是其它线性组合；三、（10 分）如 S1 与 S2是线性空间V（F）的不同真子空间, 求证至少存在一个向量,使Sii2,1 四、（20 分）已知 A 为 n 阶阵, A为 A 的相伴时,求证A 的秩n如A的 秩 为 n11如A的 秩 为 n0如A的 秩 为 n1五、（10 分）求基础解系名师归纳总结 3x15x226x 334x 442x550第 9 页,共 18 页2x 12x63x85 x3x0x1xx 3x46x 502- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 六、 设e1e n是 n 维欧氏空间V 的标准正交基,1k是 V 中 k 个向量,如有n1iesje s0,就1k两两正交s七、（10 分）用向量的数积运算法就证明：三角形的余弦定理：a2b2c22 bccosA答案 四 一、1）-126 2）6（n-3）！1kn2n0,不妨二、证明：如1n线性相关, 就存在 n 个不全为 0 的数k1k n使k 11设ik0,于是有,S 1kiki1k1kn1ki1kii1k ii1 1k nn如1n有一个向量可表成其它n -1 个向量的线性组合1k 11ki1i111ki11knn三、证明：S1,S2 是 V 的真 r 空间肯定有S 1,S 2,2S 2,2S 1,于是且S 2反之如S 有21S 冲突如S 有12S 冲突四、证明：AAI如 A 的开头当 n,就 A01）有A AAn,即 AAn10, A 的秩为 0；2）如 A 的秩为 n-1,就 A 至少有一个n-1 阶子式不为0,A0且由于 A AAI0,可知 A 的各列都AX0的解向量；3）如 A 的秩小于 n-1,就 A 的 n-1 阶子式全为0,A0即 A 的秩等于 0；五、名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - A31642109314 34 74 5223530144415686x31,0,010,00,001934 34 74 5x40104 124 034 0x 5001010001七、证明：如图ABACCB由向量的平行四边形法就可知C A b a B |2|b2c|2,2 |2|cosA2 即a22|2 |2bccosA代数与解析几何试题（五）一、运算名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1）11112）1a111211311a11123411a1122324212333431111an二、证明：如向量组是线性无关的,就部分向量肯定是线性无关的；反之却未必成立,试举一例说明；三、 1）证明：秩为 r 的矩阵可以表为 r 个秩为 1 的矩阵之和；2）证明： A 为可逆阵,就可以左乘如干个初等阵把 A 变为单位阵；四、设 A 为 n 阶方阵,证明存在一个非 0 矩阵 B,使 AB=0 的充分必要条件是 |A|=0；五、求基础解系六、设123x 1ix26x34x42x 502e1ine与f 1nf是两个没有零向量的正交组,n2x12x23x35x43 x50x 15 x26x38 x46x50是欧氏空间中的一线线性无关向量,即e ie j,ffj,ij,如ie 与if 恒可用1线性表出, 求证必有e 1a ifi,i2,1 ,七、用向量的数量积运算法就证明：内接于半圆且以直径为一边的三角是直角三角形；答案 五 名师归纳总结 一、1） 12 2）a 1a2a n1in1r线性相关,就肯定存第 12 页,共 18 页1a i二、证明：设向量组1n线性无关,1r是其中的部分向量,如1在不全为 0 的数k1rk,使k 11rkr0,取k r1kr2k rm0于是不全为0 的数k 1kr,k r1kn,使k 11krrknn,就1n线性相关,冲突,故1r肯定线性无关；r 个 1的其余全为0三、 1）证明：已知A 为秩为 r 的邻阵,就可以运用初等阵使A 为对角线只有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的矩阵,即1P rP 1AQ1Q T110100010 1101且0001PA100+ +110,就01AP11001P111010由初等矩阵的乘积,不转变矩阵的积,所以A 可以表成 r 个秩为 1 的矩阵之和；名师归纳总结 2）证明： A 可逆,就PrP 1AQ 1Q 1I于是有0第 13 页,共 18 页P rP 1AIQt1 Q t1Q 11Q t1Q 11I1得到Q 1Q t1Q tP rP 1AI即 A 左乘初等可把A 化为单位阵四、 四、证明： =>A 为 n 阶阵,A=（ 1 1 n）,Xi 为 A 的系列作成的向量如存在一个非- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 阵k1,使 AB=0,即（1n）k 10即1n线性相关, |A|=0 k2kn1k 1nkn0 的数k1kn使10k 10,<=|A|=0,就线性相关, 肯定存在一组不全为kn即AB0k20kn五、名师归纳总结 3164f2109311时成立,e iaifi第 14 页,共 18 页4 34 74 5A2235301444156860000093x310014 3,24 7,3n4 5x40,1,04 14 04 0x 5001010001m 1u 1e 1六、证明：归纳法：当n=1 时,e 1k 1u 1,f1a 1f1k,有假设当i1k,当nk时,由u1d11f11u2d21f1d22f2uk1dk1f1dk1 k1fkk1又有e k1d1 u 1dk1 uk1kfkdk1e k1d1f1d2f2d又e k1,e ik1difi,aifidiaififi0i1Ki1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中fi,fi0 ,a i0,只有d i0 i1k即e k1dk1fk1七、解：如图AB是直径, O是圆心,且C是半圆上的任意点；OA=OB OC,OCBCBOOC且BOOAOCrCAOAOCOAODOC ,OA 做内积BCCABCBC,BCBCBO,OA BO ,OC OB,BO OC,OC BO ,OCOC,BOBO2OC2r2r20即BCCA ABC是直角三角形代数与解析几何试题（六）一、运算名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1351xaaa5 2 7 2 a x a a1）2）2 1 4 13 4 6 3 a a a x二、如 e1 en是线性空间 V（F）的一组向量,对 V（F）中任意向量均可表为 e1 en 的线性组合,且对 V（F）中某个固定向量 ,k 1 e 1 k 2 e 2 k ne n 表达式唯独, 求证：e1 en 是 V（F）的一组基；三、如 S1与 S2是线性空间 V（F）的不同真子空间,求证至少存在一个向量,使Sii,12四、已知 A 为 n 阶方阵, A为 A 的相伴阵,如 |A|=0,就 A的秩为 1 或 0；五、当 a、b、c 求任何值时,方程组有唯独解,很多多解,无解？xaya2za3i1k是 V 中 K 个向量,求证 K 个向量xby2 bzb3xcyc2zc3六、设e 1e n是n维欧氏空间 V 的标准正交基,1k是两两正交的必有ndie sdj,e s0,j1k,ijsiOC0七、设 ABC的三条中线的交点为O,求证：OAOB答案 六 名师归纳总结 - - - - - - -一、1） -126 2）x（n1）axa n1二、证明：如有 l1 ln 使l1e 1l2e 2lne n0,就有k 1l 1 e 1knln e n,如li i1m 不完全当 0,就 有两种表达式, 这与已知冲突,故li0 i1n 即e 1e n线性之点,e 1e n是VF的一组基；三、证明：S1 与 S2是 V（F）的真了空间,一不相同,于是有1S 1,1S 2,2S 2,2S 1,故12,就S 1,S 2反如如S 有21S 冲突,如S 有第 16 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1S 2S 2冲突；| A |四、证明：A A | A | A | I| A |又已知 |A|=0 ,A 0,1）如 A 的秩为 n-1,就 A中的各元素为 A 的全部 n-1 阶子式,必有一个子式不为 0,又由于 A的各列都是 AX=0 齐次线性方程组的解,其基础解系为 n-（n-1）= 1,由此 A的秩为 1；2）如 A 的秩 n-1,就 A 中的全部 A 的n-1 阶子式全为 0,即A =0, A 的秩为 0；五、解：名师归纳总结 A1aa21aa2a3n1kiskjs0第 17 页,共 18 页1bb2A1bb2b3A1cc21cc2c31aa2a30bab2a2b3a31）当a0cac3a3c3a3b ,bc时,秩A3有唯独解；2）当abc秩A2,秩 A 1有很多多解3）当ab 或ac 或bc 秩A 的秩A 2有很多多解六、证明：e1e n是V 的标准正交基,于是有ik i1 e 1ki2e 2kine njkj1e 1kj2e 2kjne nnn又由于1k是两两正交,有ijkile l,kjle lss1s1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n又iesl1kile leskisn名师归纳总结 jeskjie leskjsCAB F O A E C 第 18 页,共 18 页l1nni,esjle skiskjs0s1s1七、证明：如图已知 O 是 ABC 三条中线的交点,由向量加法有D AD1ABAC2BF1BABC2ACCF1CACB2又OA2AD,OB2BE,OC2CF33300OAOBOC2ADBECFCB13又APBECF1ABACBABC22OAOBOC0- - - - - - -