2022年逻辑斯谛映射 .pdf

4 从倍周期分定走向混沌4-1 逻辑斯谛（ Logistic ）映射我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。若昆虫不加以条件控制，每年增加倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：iNoiiiNNN11+=(4-1) iN, 1增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2iNoNoiiNNx =，则该模型由一个迭代方程表示：21iiiNNN-=+即为：)1 (1iiixxx-=+（ 4-2）其中： 4, 0,1 , 0ix。（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。4-2 倍周期分歧走向混沌借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。（一）迭代过程迭代过程可以用图解来表示。图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（ 4-2）式右端的迭代函数。45o线表示nx1+nxnnxx=+1的关系。 由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。由点)0 ,(0 xR),(10 xxA1x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - ),(10 xxA作水平直线，求它与45o线的交点，经 B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。仿此做法可得到所迭代点。),(11xxB),(21xx2x从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。终态集的情况与控制参数有很大关系。增加值就意味着增加系统的非线性的程度。改变值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。（二）终态性质当31时，迭代结果的归宿是一个确定值，趋于一个不动点，即抛物线与45o线的交点，这相当于系统处于一个稳定态，如图4-2(a) 所示。此值与有关，且与值有一一对应关系。当4 .2=时，12/711=+ixx。迭代的结果为一个不动点的情况，其周期为 1，这表示从出发，迭代一次就回到。ixix当449.33时，迭代的终态在一个正方形上循环，亦即在两个值之间往复跳跃，与一个ix值对应将有两个值， 即其归宿轮流取两个值，如图 4-2(b)所示。当ix2.3=时，此值为iixx=?+ 2,7995.05130. 0周期为2，表示从出发，迭代二次后回到。所以，从图3-12(a) 到 3-12(b) 中间发生了一个倍周期分岔，一个稳定态分裂成为两ixix图 4-2 叠代过程种状态，而系统便在两个交替变动的值间来回振荡。当544.3449.3时，最终在四个值之间循环跳跃，如图4-2(c) 所示。+4，即终态集是个四周期解，表示从出发，迭代四次后回到。所以，从图 4-2(b)到 3-12(c)，中间又发生了一个倍周期分岔，两种状态分裂成四种状态，而系统便在四个交ixiixxixix=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 替变动的值间来回振荡。当5.3=时，四个值为当0.3829 0.8269 0.8750 0.5009 4569.3，周期变为，最后归宿可取无穷多的各种不同值，即出现混沌象。图4-2(d)表示0 .4=现时的具体迭代过程，此时系统已进入混沌，没有稳定的周期轨道，相点几乎可以通过相空间中的任何一点。图 4-2 叠代过程、分岔图由于逻辑斯谛映射的计算非常简单，因而人们对它进入混沌区的过程研究得非常细致。计算表明，第一次分岔开始发生在三3=的地方，其后发生一个无穷系列的倍周期分岔，再次开始分岔的参数值为 3.449, 3.544, 3.564, 间 隔 越 来 越 小 ， 到, 其间了 极 限 值569.3=的地方进入混沌区（见图 4-3） 。在从 3.569 到 4 的参数范围内，情况是极为复杂的，这里基本上是混沌区。但名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 在其中有无穷多个稳定的周期解的“窗口”，窗口里又有无情况可以图4-4 中看出来。此图反映的是逻辑斯谛映射穷多个倍周期分岔系列，这些的终态集随参数变化的情况，它叫做映射的分岔图。4-3 鲍姆数978 年美国物理学家费根鲍姆（Feigenbaum） 发现若用图 4-4 映射的分岔图。费根1了有关倍周期分岔系列的一些性质。m代表第 m 次分岔出现的值，则相继分岔的间距之比趋于一个常数，即有6692.4limlim111=?-+-mmmmmmmm(4-3) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 上式表明，随着的增加，两相邻分岔的间距L21,?越来越小（见图4-5） ，倍周期的来临越来越快，这一几何级数的收敛的，92，越到后来越精确。纵轴方向的分岔宽度收敛的比率4.66L,21渐进地按照因子5029.2=衰减，即5029.2/lim1=+mmm(4-4) 也就是说， 前一次的分岔宽度大约是下一次的分岔宽度的2.5029 倍，越到后来越精确。整个系统的运行在越来越小的尺度上重复出现近似的自相似结构，由大到小的自相似的缩不比率就是一个普适的费根鲍姆数。表 4-1 清楚地表明迭代系统)1 (iiixxx-=的周期倍增分岔现象中分岔间距比值1+?mm趋向6692.4=的情形。表 4-1 分岔间距比值的变化情况m 分岔情况分岔值m间距比值1/+?mm1 2 1 分为 2 2 分为 4 为 64 周期解3 3.449 4899 743 9 691 610 4.751 466 4.668 74 .669 1 4.669 201 609 3 4 5 6 4 分为 8 8 分为 16 16 分为 32 32 分3.544 090 359 3.564 407 266 3.568 759 420 3.564.656 251 4.668 242 4MM混沌3.569 945 972 MM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 由此表沌是有不是混乱这： “混沌非周期的有序性”，“混沌是确定性的非周期流”。这就是说，混沌并不是简单的有序态，而是一种没有确期性和性的有特别值意的是明混规律的，的。所以有人又样定义混沌是或定周明显对称序态。得注，常数和并不限于这类映射，对不同的非线性系统，例如正弦映射in(1iixx)s=+1ix，指数映射1(expixx-)=+，得到值和值都精确地相同。可见，非线代系统可以很遵循同向混沌。这反映出沿倍周期分岔系列通向混沌的道路中具有的某种普适性。不仅是上述映射较简单的数学模型具有这种普适性，在某些真实的物理实验中也具有这种普适性。年ab为精致，也在其中发出分别按因子性迭的本身结构不相同，但却样的方式走1977利布沙伯（ Libcher）做了一个极的液氦对流实验了倍周期分岔系列，验算了倍周期分岔的实验数据，所得结果和费根鲍姆数比较接近。据单摆实验的倍周期分岔序列算出的结果和费根鲍姆数比较，其差值也在计算误差范围内。费根鲍姆数反映出通向混沌道路中的有序性，它揭示出周期倍增分岔时分岔间距和分岔宽度和衰减的规律，依据费根鲍姆数可以预料参数值为多少时发生2, 4, 8等等的售周期分岔。随着控制参数的增大，当达到时，周期倍增分岔导致“稳定的”2周期解。注意=2，而周期无穷大就等于没有周期，所以系统从此就进入了混沌状态。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -