2022年高三理科压轴题训练 .pdf

压轴题冲刺训练1.已知函数2( )(0)1xef xaxax，（1）试讨论函数( )f x的单调区间；（2）若不等式( )f xx对于任意的0,1xa恒成立，求a的取值范围。2.己知函数1( )(1)ln(1)f xxx(1) 求函数( )fx的定义域；(2) 求函数( )f x的增区间；(3) 是否存在实数m，使不等式112(1)mxx在10 x时恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由3. 已知函数1( )ln1xf xx（）求函数的定义域，并证明1( )ln1xf xx在定义域上是奇函数；（）若2,6x1( )lnln1(1)(7)xmf xxxx恒成立，求实数m的取值范围；（）当*nN时，试比较(2)(4)(6).(2 )ffffn与222nn的大小关系11121( )ln(1)1(3 )2,44ln(),ln.nnnnnnf xxaxmxaaapanNapaa、( 本小题 13分）已知函数的图象在 x=1处的切线与直线x+2y-1=0 平行。（1）求实数 a的值；（2）若方程 f(x)=在上有两个不相等的实数根，求实数m 的值范围；（3）设常数 p1, 数列满足）（求证：5. 已知函数f (x)=1lnxxax。（1）若函数f (x)在1 ，+）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）当a=1 时，求 f (x)在12，2 上的最大值和最小值。（3）求证：对于大于1 的正整数 n，1ln1nnn。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6.已知在数列na中，221,tata，其中0t，tx是函数)2( 1)1(3)(131nxaatxaxfnnn的一个极值点 .(1) 求数列na的通项公式；(2) 若221t，)(12*2Nnaabnnn，求证：21211122nnnbbb. 7.已知函数( )ln,.f xaxx aR（I）当 a=-1 时，求 f（x）的最大值；（ II ） 对( )f x图 象 上 的 任 意 不 同 两 点1122212(,),(,)(0)P x xP xyxx， 证 明( )f x图 象 上 存 在 点000102(,),P xyxxx满足，且( )f x图象上以 P0为切点的切线与直线P1P2平行；（III ）当32a时，设正项数列na满足：*1()(),nnafanN若数列2na是递减数列，求1a的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 答案：1.已知函数2( )(0)1xef xaxax，（1）试讨论函数( )f x的单调区间；（2）若不等式( )f xx对于任意的0,1xa恒成立，求a的取值范围。解: （1）22/222222(12)(2)1)(1)(1)( )(1)(1)(1)xxxexaxxaexaxaexxafxxaxxaxxax当0a时，函数定义域为R，2/22(1)( )0,( )(1)xexfxf xx在R上单调递增当(0,2)a时，2240,10axax恒成立，函数定义域为R，又11,( )af x在(,1)单调递增，(1,1)a单调递减，(1,)a单调递增当2a时，函数定义域为(,1)(1,)，/(3)( ),( )(1)xe xfxf xx在(,1)单调递增，(1,3)单调递减，(3,)单调递增当(2,)a时，240,a设210 xax的两个根为12,x x且12xx，由韦达定理易知两根均为正根 ， 且1201xx， 所 以 函 数 的 定 义 域 为12(,)(,)xx， 又 对 称 轴12axa， 且22(1 )(1 )1201aa aaxa，( )f x在11(,),(,1)xx单调递增，22(1,),(,1)xx a单调递减，(1,)a单调递增（2）由（ 1）可知当2a时，12,0,1xx xa时，有( )0f x即( )f xx不成立，当0a时，(0)1,(1)1,( )2efffx单调递增，所以( )f xx在0,1xa上成立当(0,2)a时，1(0)1,(1)1,(1)22aeefffaaa，下面证明：1(1)12aefaaa即证(1)0(1(1,3)xexxxa令/( )(1) ,( )21,( )2xxxg xexx gxexgxe/(1,3),( )0,( )xgxgx单调递增，/0(1)0,(3)0,ggx使得0/00()210 xgxex( )g x在0(1 ,)x上单调递减，在0(,3)x上单调递减，此时名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 022200000000( )()211xg xg xexxxxxxx1515/2200151515()2 ()1(25)0,()0222geexg x所以不等式(1)0(1(1 ,3)xexxxa所以1(1)12aefaaa由 （1）知( )f x在(0,1)单调递增，(1,1)a单调递减， 所以不等式( )fxx对于任意的0,1xa恒成立当2a时，由函数定义域可知10,3，显然不符合题意综上所述，当0, 2)a时，不等式( )f xx对于任意的0,1xa恒成立2.己知函数1( )(1)ln(1)f xxx(1) 求函数( )f x的定义域；(2) 求函数( )fx的增区间；(3) 是否存在实数m，使不等式112(1)mxx在10 x时恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由解 :（1）函数( )f x的定义域是,1.x xR x且x03 分（2）22ln(1)1( )(1) ln (1)xfxxx函数( )f x的增区间为1( 1,1)e8分（3）110,ex111.ex1ln(1)0.xln(1)10 x110ex时,22ln(1)1( )0.(1) ln (1)xfxxx在区间1,0上, 当11xe时, ( )f x取得最大值1( )(1)f xf ee最大112(1)mxx在10 x时恒成立1ln 2ln(1)1mxx在10 x时恒成立ln 2(1)ln(1)mxx在10 x时恒成立ln 2(1)ln(1)xx在10 x时的最大值等于ln 2eln 2.me当ln 2me时，不等式112(1)mxx在10 x时恒成立 14分3. 已知函数1( )ln1xf xx（）求函数的定义域，并证明1( )ln1xf xx在定义域上是奇函数；（）若2,6x1( )lnln1(1)(7)xmf xxxx恒成立，求实数m的取值范围；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - （）当*nN时，试比较(2)(4)(6).(2 )ffffn与222nn的大小关系解： （）函数的定义域为(, 1)(1,)证明奇函数略（）由2,6x时，1( )lnln1(1)(7)xmf xxxx恒成立，10,2,61(1)(7)xmxxxx0(1)(7)mxx在2,6x成立令2( )(1)(7)(3)16g xxxx，2,6x，由二次函数的性质可知2,3x时函数单调递增，3,6x时函数单调递减，2,6x时，min( )(6)7g xg07m（）(2)(4)(6)(2 )ffffn=35721lnln(21)13521nnn证法一： 设( )ln(1)(1)h xxxx,1,)x则(1,)x时，1( )0 xh xx，即( )h x在(1,)上递减，所以( )(1)0h xh，故ln1xxln1xx在1,)x成立，则当21()xnnN时,2ln(21)222nnnn成立 14 分证法二：构造函数2( )ln(1)()(0)2xh xxxx，212( )111xxh xxxx当0 x时，( )0h x，2( )ln(1)()2xh xxx在(0,)单调递减，( )(0)0h xh 12 分当2xn（nN）时，2ln(12 )(22)0nnn2ln(12 )22nnn11121( )ln(1)1(3 )2,44ln(),ln.nnnnnnf xxaxmxaaapanNapaa、( 本小题 13分）已知函数的图象在 x=1处的切线与直线x+2y-1=0 平行。（1）求实数 a的值；（2）若方程 f(x)=在上有两个不相等的实数根，求实数m 的值范围；（3）设常数 p1, 数列满足）（求证：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - max11111( ),(1)112224(2)1( )113,34,( )0,3( )0,(3)0, ( )2 3134lxaaxxxxxxxxg xx21、（） ff-a 由题意知-a由（） f （x)=ln(1+x)-x,原方程为 4ln(1+x)-x=m,设g(x)=4ln(1+x)-x,得g当时 g当2时，gg在， 上是增函数，在，4 上是减函数。g(x)n 43,(2)4ln 32,(4)4ln 549(2)(4)2ln0(2)(4).254ln 54 4ln 4313( )1(0)0011( )0,10( )0,( )0,( )10ggeggggaxxxxxxxxf xf x又。由的取值范围是，。（ ）证明：由 f （x)=ln(1+x)-x(x-1)有f，f，当时,f当-时， f在上是增函数，在， 上是减函数 .fmax1111121210,1,11,ln)ln),1,2ln)ln(101ln(ln),lnln(11)1nnnnnnnnnnnnnnnpaaaaapnaappaanaapppppaa(x)在上f(x)0ln(1+x)x。又 paa由（p-a（1+p-1-ap-1-a即当时，（p-a），即。当时，由（11ln(1),nnppanNaa（结论成立。对5. 已知函数f (x)=1lnxxax。（1）若函数f (x)在1 ，+）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）当a=1 时，求 f (x)在12，2 上的最大值和最小值。（3）求证：对于大于1 的正整数 n，1ln1nnn。解：（1）a1 （2）易证 x=1 是 f (x在 12，2 上唯一的极小值点， f (x)min=f (1)=0 又 f (12)-f (2)=32-2ln2=34lnln 22e0，f (12)f (2)，f (x)max=f (12)=1-ln2 （3）由（ 1）知 f (x)=1lnxxx在1 ，+）上为增函数，当n1 时，令 x=1nn，则 x1，故 f (x)f (1)=0，即 f (1nn)=111nnnn+ln1nn=-1n+ln1nn0， ln1nn1n6.已知在数列na中，221,tata，其中0t，tx是函数)2( 1)1(3)(131nxaatxaxfnnn的一个极值点 .(1) 求数列na的通项公式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - (2) 若221t，)(12*2Nnaabnnn，求证：21211122nnnbbb. 解： (1) 由题意得：0)(tf，即1133(1)0nnnattaa故)2)(11naataannnn，则当1t时，数列nnaa1是以tt2为首项，t为公比的等比数列，所以121)(nnntttaa由nnnnnnttttttttttttaaaaaaaa11)(1)()()()(12222123121此式对1t也成立，所以)(*Nntann（2）)(21)1(211nnnnnttaab，因为221t，所以nnntt2, 1)2(，则0 1)2)(2()2(1)()22()nnnnnnnnttttt，有)22(211nnnb故)212()212()212(211112221nnnbbb)211(212211)211 (212121(221111)21nnnnnbbb22122212212111nnnnnbbb7.已知函数( )ln,.f xaxx aR（I）当 a=-1 时，求 f（x）的最大值；（ II ） 对( )f x图 象 上 的 任 意 不 同 两 点1122212(,),(,)(0)P x xP xyxx， 证 明( )f x图 象 上 存 在 点000102(,),P xyxxx满足，且( )f x图象上以 P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III ）当32a时，设正项数列na满足：*1()(),nnafanN若数列2na是递减数列，求1a的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 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