2022年高等数学知识点归纳2.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第一讲 : 极限与连续一. 数列函数 : 1. 类型 : 1数列 : *a nf n ; *a n1f a n2初等函数 : 3分段函数 : *F x f x ,xx 0; n*F x f x ,xx 0;* f2 xx 0axx 04复合 含 f 函数 : yf u ,u 5隐式 方程 : F x y , 06参式 数一 ,二: xx t yy t ,x7变限积分函数 : F x xf x t dta8级数和函数 数一 ,三: S x a xn02. 特点 几何 : 1单调性与有界性判别 ; f x 单调fx 0, xx 0f x f x 0定号 2奇偶性与周期性应用 . f x x1 yf1 : y3. 反函数与直接函数二. 极限性质 : 1. 类型 : *lim na ; *lim xf x 含 x; *x lim xf x 含 0xx 0 2. 无穷小与无穷大注: 无穷量 : 03. 未定型 : 0 , 0, 1 , 00 , 0 ,4. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性三. 常用结论 : 名师归纳总结 11, a101, x anxbncn1nmax , , a b c , lnnana, 00第 1 页,共 22 页nnnann.1 xx0 , l i m xx 0, 1x limx0, x limx0exxl i m xx 0n l n x, 0x e0,x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当u x 0时, 1cos 1u2 x ; t an u xu x; s i n u xu x; 2u x e1u x ; ln1u x u x ; 1u x 1u x ; a r c si n u xu x; arctan u x 2. 泰勒公式 : 1x e1x1x2o x2; 0 , 0 ,0; 2变量代换 如:1 xt 2.2ln1x x1x2o x2; 23sinxx1x3o x4; 3.4cosx11x21x45 o x; 2.4.51x 1x2.1x2o x2. 五. 常规方法 : 前提 : 1 精确判定0, 0,1 ,M 其它如 :, 01. 抓大弃小 , 2. 无穷小与有界量乘积M 注:sin11,xx3. 1处理 其它如 :0 0 ,0 3分段函数 : x , x , maxf x 4. 左右极限 包括 x: 11 xx0; 2x ex; 1x0; e x5. 无穷小等价替换因式中的无穷小注 : 非零因子 6. 洛必达法就1先” 处理 ” ,后法就 0 0最终方法 ; 留意对比 : lim x 1x 1lnx与lim x 0xlnx x1x2幂指型处理 : u x v x v x lneu x 如: e111 e111 x1exe xx1x3含变限积分 ; 4不能用与不便用名师归纳总结 7. 泰勒公式 皮亚诺余项 : 处理和式中的无穷小第 2 页,共 22 页8. 极限函数 : f x lim nF x n 分段函数 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 六. 特别手段 1. 收敛准就 : 1a nf n x limf x a nM., *f' 0.2双边夹 : *b na nc n., *b c na.3单边挤 : a n1f a n*a 2a 1.*2. 导数定义 洛必达 .: lim x0ff'x01 0f x dxx3. 积分和 : lim n1f1 nf2fn nnn4. 中值定理 : x lim fxaf x ax limf' 5. 级数和 数一三 : 1a收敛anlim nan0, 如lim n2nn. 2lim na 1a2ann1a , n nn13a n与a n1同敛散n1七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 等价 ,阶: *f x n kx,x0.af x axnxnaxn1f0f'0fn100,f 0n.n.2xf t dtxn kt dt002. 渐近线 含斜 : 1alim xf x ,blim xf x ax f axbf' x 连续性 x2f x axb,1 x0 3. 连续性 : 1间断点判别 个数 ; 2分段函数连续性附:极限函数 , 八. , a b 上连续函数性质f b f x 01. 连通性 : f , m M注:01, “ 平均 ”值 :f a 12. 介值定理 : 附: 达布定理 名师归纳总结 1零点存在定理 : xf a f b 0. f x 00根的个数 ; 第 3 页,共 22 页2f x 0f x dx '0a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次讲 :导数及应用 一元 含中值定理 一. 基本概念 : 1. 差商与导数 : f' lim x0fxxf x ; f'x 0x lim x 0f x f x 0A xxx01f'0lim x 0f x xf0注:lim x 0f x A f连续 f00,f'0x2左右导 : f'x 0,f'x 0; 3可导与连续 ; 在x0处, x 连续不行导 ; x x 可导 2. 微分与导数 : ff xxf x f' xox dff' x dx1可微可导 ; 2比较f,df 与 "0" 的大小比较 图示 ; 二. 求导预备 : 1. 基本初等函数求导公式; 注: f x ' dx1'2. 法就 : 1四就运算 ; 2 复合法就 ; 3反函数dyy三. 各类求导 方法步骤 : 1. 定义导 : 1f' a 与f' x a; 2分段函数左右导; 3lim h 0f xhhf xh注: f x F x ,xx 0x 0, 求:f' x 0,f' x 及f' x 的连续性 xa2. 初等导 公式加法就 : 1uf g x , 求:u x 0图形题 ; f x t dt', bf x t dt', bf t dt' 2F x xf t dt , 求:F' 注: xaaaa3yf 1 ,xx 0,求f'x 0,f'x 0及f'x 0待定系数 f2 xx 03. 隐式 f x y , 0导 : dy,2 d ydxdx21存在定理 ; 2微分法 一阶微分的形式不变性 . 3对数求导法 . 名师归纳总结 4. 参式导 数一 ,二: xx t , 求:dy,2 d y第 4 页,共 22 页yy t dx2dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 高阶导fn x 公式 : ax e n axa e;a1 bx an b n.n1; cosax ancos axn2fnbx sinax ansinax2n ; uv nun vC u1nv1 ' C u2 nv"2 a x 2n a xa 0f 0与泰勒展式 : f x a 0a x注: n.四. 各类应用 : 1. 斜率与切线 法线 ; 2. 物理 : 相对 变化率3. 曲率 数一二 : 4. 边际与弹性 数三 : 区分 : yf x 上点M0和过点M0的切线 速度 ; 1f" 3曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 f2 ' 附: 需求 , 收益 , 成本 , 利润 五. 单调性与极值 必求导 1. 判别 驻点f'x 00: ; f' 0f x ; 1 f' 0f x 2分段函数的单调性3f' 0零点唯独 ; f" 0驻点唯独 必为极值 ,最值 . 2. 极值点 : 名师归纳总结 1表格 f' x 变号 ; 由lim x x 0f' 0, lim x x 0f' 0, lim x x 0f'' 0x,0的特点 第 5 页,共 22 页xxx22二阶导 f'x 00 x. 注1 f 与f',f"的匹配 f'图形中包含的信息; 2实例 : 由f' x f x g x 确定点 “xx ” 的特点 . 3闭域上最值 应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 3. 不等式证明 f x 0 1区分 : * 单变量与双变量. *x , a b 与x ,2类型 : *f'0,f a 0; *f'0,f b 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - *f"0,f a ,f b 0; *f" 0,f'x 00,f x 003留意 : 单调性端点值极值凹凸性 . 如: f x Mfmax M 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点 必求导 .: 1. y " 表格 ; f " x 0 0 2. 应用 : 1泰勒估量 ; 2 f ' 单调 ; 3凹凸 . 七. 罗尔定理与帮助函数 : 注 : 最值点必为驻点 1. 结论 : F b F a F ' f 02. 帮助函数构造实例 : x1 f F x a f t dt2 f ' f g ' 0 F x f x g x 3 f ' f g ' 0 F x f g x x dx4 f ' f 0 F x e f x ; 3. f 0 f x 有 n 1 个零点 f n 1 x 有 2 个零点4. 特例 : 证明 f a 的常规方法 :令 F x f x P x 有 n 1 个零点 P x 待定 5. 注: 含 1 , 2 时,分家 .柯西定理 6. 附达布定理 : f x 在 , a b 可导 , c f ' , f ' , , a b ,使: f ' c八. 拉格朗日中值定理1. 结论 : f b f a f' ba ; "x x0,' 0 x 03; 2. 估量 : ff' xf"之间的桥梁 0x21f"' x九. 泰勒公式 连接f,f',f'x 0xx01f1. 结论 : f x f x02.3.2. 应用 : 在已知f a 或f b 值时进行积分估量十. 积分中值定理 附:广义 : 注:有定积分 不含变限 条件时使用 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三讲 : 一元积分学一. 基本概念 : 1. 原函数F x : 3f x dxF x c1F' f x ; 2f x dxdF x ; 注1F x xf t dt 连续不肯定可导; a2xxt f t dtxf t dtf x f x 连续 aa2. 不定积分性质 : 1 ff x dx'f x ; df x dxf x dx2' x dxf x c ; df x f x c二. 不定积分常规方法1. 熟识基本积分公式2. 基本方法 : 拆线性性 k fxk g x d x1k f x d xkg x d x2dx3. 凑微法 基础 : 要求巧 ,简,活 1sin2xcos2x dx如: dx1d axb ,xdx1dx2,dxdlnx ,a2xx1xx2dxd1x2,1lnx dxd xlnx4. 变量代换 : 1常用 三角代换 ,根式代换 ,倒代换 : xsin ,axbt,1t,ex1tx2作用与引伸 化简 : x21xt5. 分部积分 巧用 : 名师归纳总结 1含需求导的被积函数如 ln ,arctan ,xf t dt ; 第 7 页,共 22 页a2“ 反对幂三指 ”: n axx e dx,xnlnxdx ,3特殊 : xf x dx*已知f x 的原函数为F x ; *已知f' F x 6. 特例 : 1a 1sinxb 1 cos xdxb cos x; 2kx p x e dx,p x sinaxdx 快速法 ; 3v x dx u asinx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三. 定积分 : 1. 概念性质 : 1积分和式 可积的必要条件 :有界 , 充分条件 :连续 2几何意义 面积 ,对称性 ,周期性 ,积分中值 *aax2 x dx a082 a ; *bxa2bdx0xa f x 0a3附: b af x dxM ba , bf x g x dxMbg x dx aa4定积分与变限积分, 反常积分的区分联系与侧重2: 变限积分 xf t dt的处理 重点 a1 f 可积连续 , f 连续可导2 x af t dt'f x ; xxt f t dt'xf t dt ; x af x dtaa3由函数F x xf t dt参加的求导 , 极限 , 极值 , 积分 方程 问题a3. NL 公式 : b af x dxF b F a F x 在 , a b 上必需连续 . 注: 1 分段积分 , 对称性 奇偶 , 周期性 2有理式 , 三角式 , 根式3含b af t dt 的方程 . f x fx dx 如:41xdx 4. 变量代换 : b af x dxf u t u t dt1af x dxaf ax dx xat , 002af x dxafx dx xtaaa041 sin3In2sinnxdxnn1In2, fsinx dx22fsinx dx , 042fsinx dx2fcos x dx ; 000050xfsinx dx20fsinx dx , 5. 分部积分 1预备时 “凑常数 ”名师归纳总结 2已知f' x 或f x x时, 求b af x dx第 8 页,共 22 页a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 附: 三角函数系的正交性 : 2s i n n x d x2 0c o s n x d x2s i nn xc o s mx d x0002sinnxsinmxdx2cosnxcosmxdx nm 0002sin2nxdx2cos 2nxdx00四. 反常积分 : 1. 类型 : 1af x dx ,af x dx ,a,f x dx f x 连续 2b af x dx : f x 在xxb ,xc acb 处为无穷间断 2. 敛散 ; 3. 运算 : 积分法N; L 公式1极限 可换元与分部 4. 特例 : 111 pdx x21 pdx x0五. 应用 : 柱体侧面积除外 1. 面积 , 1Sbf x g x dx ;S2Sdf1 y dy ; ac3S1r2 d;4侧面积 :b2f x 1f2 ' x dx2a2. 体积 : 1V xbf2 g2 x dx; 2V ydf1 2dy2bxf x dxaca3V x x 0与Vy y 0b1f2 ' x d x3. 弧长 : dsdx 2dy 21yf x ,x , sa2xx t ,y t t , t t 12st2x2 ' y2 ' t dtyt 13rr ,: sr2 r2 ' d4. 物理 数一 ,二功,引力 ,水压力 ,质心 , 5. 平均值 中值定理 : 名师归纳总结 1f a b , b1bf x dx; fTf t dt 第 9 页,共 22 页aa2f0lim xx 0f t dt, f 以 T 为周期 :0xT- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第四讲 : 微分方程一. 基本概念1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解注: 应用题中的隐含条件 2. 变换方程 : 1令xx t y'y"Dy"如欧拉方程 2令uu x yy x u , y 如伯努利方程3. 建立方程 应用题 的才能二. 一阶方程 : 名师归纳总结 1. 形式 : 1y'f x y ; 2M , x y dxN x y dy0; 3y a b第 10 页,共 22 页2. 变量分别型 : y'f x g y C1解法 : dyf x dxG y F x g y 2“ 偏”微分方程 : zf x y , ; 1xM x q x dxy 0x3. 一阶线性 重点 : y'p x yq x 1解法 积分因子法 : M x exp x dxyx0M x x 02变化 : x'p y xq y ; dx3推广 : 伯努利 数一 y'p x yq x y4. 齐次方程 : y'yx1解法 : uyuxu' ,dux ux2特例 : dya x 1b y 1c 1dxa xb yc20且NM5. 全微分方程 数一 : M , x y dxN x y dyxyd UM d xN d yUy xcax6. 一阶差分方程 数三 : yx1ay x0x b p x * y xn x Q x bx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三. 二阶降阶方程1. y"f x : yF x c x 1c 2y"dpf x p2. y"f x y': 令y'p x dx3. y"f y y': 令y'p y 'y"pdpf , y pdy四. 高阶线性方程 : a x y "b x yc x yf x 1. 通解结构 : 1齐次解 : y 0 c y x 1 1 c y 2 2 y*x ax ke的算子法 1 , y xy'Dy2非齐次特解 : y x c y x c y 22. 常系数方程 : ay"by'cyf x 01特点方程与特点根: a2bc2非齐次特解形式确定: 待定系数 ; 附: f x 3由已知解反求方程. x y 2 "D Df x , 令xt e3. 欧拉方程 数一 : 2 ax y"bxy'cy五. 应用 留意初始条件: 1. 几何应用 斜率 , 弧长 , 曲率 , 面积 , 体积 ; 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程 含变限积分 ; x可设 af x dx F x F a 03. 导数定义立方程 : 含双变量条件 f x y 的方程4. 变化率 速度 5. Fmadv2 d xQPdtdt26. 路径无关得方程数一 : xy7. 级数与方程 : 1幂级数求和 ; 2方程的幂级数解法:ya 0a x 12 a x 2,a 0y0,a 1y'08. 弹性问题 数三 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第五讲 : 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 , 全微分 , 偏导连续 必要条件与充分条件, y 1ff x 0x y 0y ,xff x 0x y 0,yff x 0,y 02 limf,fxlimxf,fylimyfxy3fxxfyydf, limf2dfy 2判别可微性 x 注: 0,0 点处的偏导数与全微分的极限定义: fx0,0lim x 0f ,0xf0,0,fy0,0lim y 0f0,yyf0,02. 特例 : 1f x y , x2xy20,0: 0,0 点处可导不连续; 0要求 : 二阶导 y0,0,02f x y , xxyy20,0: 0,0 点处连续可导不行微; 20,0,0二. 偏导数与全微分的运算: 1. 显函数一 ,二阶偏导 : zf x y , 注: 1y x 型; 2zxx 0,y 0; 3 含变限积分2. 复合函数的一 ,二阶偏导 重点 : zf u x y , ,v x y娴熟把握记号f 1',f',f" 11 ," f 12,f"的精确使用2223. 隐函数 由方程或方程组确定: 1形式 : *F x y z0; *F x y z , , 0存在定理 G x y z , , 02微分法 娴熟把握一阶微分的形式不变性: F dxF dyF dz3注: x 0,y 0与0z 的准时代入4会变换方程 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三. 二元极值 定义 .; 1. 二元极值 显式或隐式 : 1必要条件 驻点 ; 2充分条件 判别 2. 条件极值 拉格朗日乘数法 注: 应用 1目标函数与约束条件 : z f x y , x y 0 , 或: 多条件 2求解步骤 : L x y , , f x y , , x y , 求驻点即可 . 3. 有界闭域上最值 重点 . 1 z f x y , M D ,