2022年高二数学等比数列知识点总结与经典习题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料等比数列一学问点梳理：1、等比数列的概念、有关公式和性质: ）,就ak n成等比数列；（ 1）定义：a n为等比数列ann1q常数）a2通项公式 : a na 1qn1akqnkna1q13求和公式 : sna11qna1anqq1 1q1q4中项公式 : G2ab推广：a n2anmanm5性质：a、如 m+n=p+q 就amanapa q; b、如kn成等差数列（其中knNc、s n,s 2ns n,s 3 ns 2n成等比数列；nd、qn1an,qnma nma 1a m2. 判定和证明数列是等比数列常有三种方法：1定义法 :对于 n2 的任意自然数 ,验证an1为同一常数；a n2通项公式法；3中项公式法 :验证2 a n1a a n2,nN 都成立；4 如an 为等差数列,就 aan 为等比数列（ a>0且 a 1）；如an 为正数等比数列,就 log二. 典型例题：aan 为等差数列（ a>0 且 a 1）；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料 【例 1】如数列an中,a 1,3且an1an2（n 是正整数）,就数列的通项an练习 :1.如干个能唯独确定一个数列的量称为该数列的“ 基本量 ” .设a n是公比为q 的无穷等比数列, 以下a n的四组量中 ,肯定能成为该数列“基本量 ”的是第组.写出全部符合要求的组号S1与 S2; a2与 S3; a1与 an; q 与 an. 其中 n 为大于 1 的整数 , Sn为an的前 n 项和 . 2如等比数列的首项为9 8,末项为 1 3,公比为 2 3,就这个数列的项数为 A3B4C5D6 3已知等比数列 an 满意 a1a23,a2a36,就 a7 A64 B81 C128 D243 4等比数列 an 中,如 a11,a48,就 a5 A16 B16 或16 C32 D32 或 32 5已知 an 是公比为 qq 1的等比数列, an>0,ma5a6,ka4a7,就 m 与 k 的大小关系是 第 2 页,共 12 页Am>k BmkCm<k Dm 与 k 的大小随 q 的值而变化6已知等比数列 an 的公比为正数,且a3·a92a 2 5,a21,就 a1A.1 2B. 2 2C. 2 D2 7假如 1,a,b,c,9 成等比数列,那么 Ab3,ac9 Bb3,ac9 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Cb3,ac9 ,1就2 a 1a2名师精编优秀资料Db±3,ac98. 数列an的前 n 项和S nn 2a2_2n9. 已知 a + b + c , b + c a , c + a b , a + b c 成等比数列 , 公比为 q , 求证：1 q 3 + q2 + q = 1 ; 2 q = a c. 1a n1 n2, 写出数列 a n的通项公式【例 2】 已知数列a n,a 11,a nn 3练习： 1、各项都是正数的等比数列 an 的公比 q 1,且 a2,1 2a3,a1成等差数列, 就a3a4 a4a5的值为 A.15B.51n 项和s 与 2 的等比中项,22C. 51 2D.51 2 或5122、如 a,b,c 成等比数列,就关于x 的方程 ax 2bxc0 A必有两个不等实根B必有两个相等实根C必无实根D以上三种情形均有可能3. 设数列 a n的各项为正数,如对任意的正整数n a 与 2 的等差中项等于其前求 a n的通项公式 . 【例 3】错位相减 求和： 1S n13 x5 x27x32 n1 xn1名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习： 1. 在等比数列 b n名师精编优秀资料中, S4=4,S8=20,那么 S12= 2在等比数列 an中,a1a21,a3a49,那么 a4a5 A27B27 或27 a1·a2·a3· ·a30 230,那么C81 D81 或 81 3设 an 是由正数组成的等比数列,公比q 2,且a3·a6·a9· ·a30 等于 10 A2B220C2 16D2 154假如数列 an 是等比数列,那么 A数列 a 2 n 是等比数列C数列 lg an是等比数列B数列 2 an 是等比数列 D数列 nan 是等比数列5在等比数列 an中,a5a76,a2a105.就a18 a10等于 A2 3或3 B.2 3C.3 2 D.2 3或36如互不相等的实数 a、b、c 成等差数列, c、a、b 成等比数列,且 a3bc10,就 a A4 B2C2 D4 7一个等比数列前三项的积为 2,最终三项的积为 4,且全部项的积为 64,就该数列名师归纳总结 第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料有 A13 项 B12 项C11 项 D10 项8等比数列 an 中, a1<0, an 是递增数列,就满意条件的公比 q 的取值范畴是_9已知等差数列 an 的公差d 0,且 a1,a3,a9 成等比数列,就a1a3a9 a2a4a10的值为_10在 3 和一个未知数间填上一个数, 使三数成等差数列, 如中间项减去 6 就成等比数列,就此未知数是 _11有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是列,它们的积为 80,求出这四个数才能拓展提升一、挑选题12已知 2a3,2b6,2c12,就 a,b,c A成等差数列不成等比数列 B成等比数列不成等差数列 C成等差数列又成等比数列 D既不成等差数列又不成等比数列8,后三个数依次成等差数13在数列 an 中,a12,当 n 为奇数时, an 1an2；当 n 为偶数时, an 12an1,就 a12 等于 B34 第 5 页,共 12 页A32 C66 D64 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料14已知公差不为零的等差数列的第 数列的公比为 k、n、p 项构成等比数列的连续三项,就等比A.np knnkC. npB.pn pkD.kp np15如方程 x 25xm0 与 x210xn0 的四个根适当排列后,恰好组成一个 首项为 1 的等比数列,就m n的值是 A4 B2 C.1 2 D.1 4 二、填空题16a、b、c 成等比数列,公比 q3,又 a,b8,c 成等差数列,就三数为 _17现有 10 个数,它们能构成一个以1 为首项, 3 为公比的等比数列,如从这10 个数中随机抽取一个数,就它小于 8 的概率是 _三、解答题 18某工厂三年的生产方案中, 从其次年起每一年比上一年增长的产值都相同,三 年的总产值为 300 万元假如第一年、其次年、第三年分别比原方案产值多 10 万元、10 万元、 11 万元,那么每一年比上一年的产值的增长率都相同,求原方案中每年的产 值19.20222022·山东临清试验高中高二期中已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,点n,Sn在函数 fx2 x1 的图象上,数列 bn满意 bnlog2an12nN*1求数列 an 的通项公式；2设数列 bn 的前 n 项和为 Tn,当 Tn 最小时,求 n 的值；3求不等式 Tn<bn 的解集名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料参考答案例题 1、9 n-1 练习 1、1、4 名师归纳总结 2、B 解析8·2 3 n11 3,2 3n 18 272 3 3n4. 3、A 解析 an 是等比数列, a1a23,a2a36,设等比数列的公比第 7 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料为 q,就 a2a3a1a2q3q6,q2. a7a1q 62 664. a1a2a1a1q3a13,a11,4、A 解析a4a1q 3q 38,q2,a5a4q16. 5、C 解析 mka5a6a4a7a5a4a7a6 a4q1a6q1q1a4a6 q1 ·a4·1q 2 a41q1q2<0an>0,q 16、B 解析 设公比为 q,由已知得 a1q 2·a1q 82a1q 4 2,即 q 22,a2 1 2由于等比数列 an的公比为正数,所以 q2,故 a1q22,应选 B. a 2ba 20,7、B 解析 由条件知 b 2ac9,a 2>0,b<0,b3a 0,c 29b8、a n=S n-S n-1=2 n -1-2 n-1 -1=2 n-2 n-1=2 n-1,a n 2 是以 a1 2=1 为首项, 4 为公比的等比数列；S=4 n-1/3 9、（1）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 组成公比为 q 的等比数列, 所以 q 3=a+b-c/a+b+c ,q 2=c+a-b/a+b+c q=b+c-a/a+b+c,q 3+q 2+q=a+b-c/a+b+c+c+a-b/a+b+c+b+c-a/a+b+c=a+b+c/a+b+c=1 （2）由于 a+b+c ,b+c-a ,c+a-b ,a+b-c 成等比数列, 公比为 q 所以 c+a-b/b+c-a=q, a+b-c/c+a-b=q q=c+a-b+ a+b-c/b+c-a +c+a-b=2a/2c=a/c. 例题 2、解 an-a n-1=3n-1将 n=2,3,4,5 代入得： a. -a. =3 1a. -a. =3 2a. -a. =3 3 . 名师归纳总结 将上面的式子相加得：an-a n-1=3n-1 第 8 页,共 12 页an-a 1 = 3 1+32+33+.+3n-1a n = 1 +31+32+3 3+.+3n-1=1/23 .-1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料练习 1、C 解析a2,1 2a3,a1 成等差数列,a3a2a1,an 是公比为 q 的等比数列, a1q 2a1qa1,q 2q10,q>0,q512 . a3a4a4a5a3a4 q a3a41 q512 . 2、C 解析a,b,c 成等比数列,b 2ac>0. 又b 24ac 3ac<0,方程无实数根3、（a n+2 ）/2= 2Sn S n=（an+2）2/8 S n+1=（a n+1+2）2/8 a n+1=S n+1-S n=a n+1 2/8+a n+1 /2-a n 2/8-a n/2 a n+1 2/8-a n+1/2-a n 2/8-a n/2=0 an+1 2-4a n+1 -a n 2-4a n=0 a n+1 =a n+4 a n=-2+4n例题3、 xS n=x+3x 2+5x 3+7x 4+.+2n-3x n-1+2n-1x n 由于 Sn=1+3x+5x 2+7x 3+9x 4+.+2n-1x n-1 -得 ,1-xS n=1+2x+x 2+x 3+x 4+.+x n-1-2n-1x n 1-xS n=1+2x-x n/1-x-2n-1x n1-xS n=1+2x-2x n/1-x-2nx n+x n 1-xS n=1+2x/1-x-2x n/1-x-2nx n+x n1-xS n=1+2x/1-x+1-2n-2/1-xx nSn=1+2x/1-x+1-2n-2/1-xx n/1-x 练习1、在等比数列中,依次每 k 项之和仍成等比数列；S 12-S 8/S 8-S 4=S 8-S 4/S 4 S 12-S 8=S 8-S 4 2/S 4=20-4 2/4=64 S 12=64+20=84 a3a42 、B 解析 q 29,q±3,因此 a4a5a3a4q27 或 27 a2a13、B 解析 设 Aa1a4a7 a28,Ba2a5a8 a29,Ca3a6a9 a30,就 A、B、C 成等比数列,公比为 q 102 10,由条件得 A·B·C2 30,B2 10,CB·2 102 20. 名师归纳总结 4、A 解析2 设 bna n,就bn1 bn2 a n1 an1a n an 2q 2, bn 成等比数列；第 9 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2an1名师精编优秀资料cn1 cnn1 an1n1 q n2an1an 常数；当 an<0 时 lgan无意义；设 cnnan,就2annan常数5、D 解析 a2a10a5a76. 由a2a106,得a22或a23. a2a105a103a102a18 a10a10 a23 2或2 3.应选 D. 6、D 解析 2bac消去 a 得： 4b 25bcc 20,a 2bcb c,c4b,a2b,代入 a3bc10 中得 b2,a4. 7、 B解析 设前三项分别为 a1,a1q,a1q 2,后三项分别为 a1q n3,a1q n2,a1q n1. 所以前三项之积 a 31q 32,后三项之积 a 31q 3n64.两式相乘得, a 61q 3n18,即 a 21q n12. 又 a1·a1q·a1q 2· ·a1q n1a 1q n n n1264,即 a 21q n1 n64 2,即 2 n64 2.所以 n12. a2>a1 a1q>a18、0<q<1解析 a3>a2a1qa1q 20q1. 9、13 16 解析 a1,a3,a9 成等比 a23a1a9,即 a12d 2a1a18d,da1,ana1n1dnd,a2a4a10 a1a3a913 d 16 d13 16. 2a 3b a3 a1510、3 或 27 解析 设此三数为 3、a、b,就,解得 或,a 6 23b b3 b27这个未知数为 3 或 27. 名师归纳总结 b 3 8,解得a10,或a 8,11、由题意设此四个数为b q, b,bq,a,就有2bqab,b 2,b 2,q 2q5 2.ab2q 80,所以这四个数为1, 2,4,10 或4 5, 2, 5, 8. 第 10 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12、A 解析 名师精编优秀资料a11解法 1：alog23,blog 26log 2 31,c log2 12log 2 32.bacb. 13、C 解析 依题意, a1,a3, a5,a7,a9,a11 构成以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,故a1× 2 564,a12a11266.应选 C. 14、A 解析 设等差数列首项为 a1,公差为 d,就 qan akap anapananaka1 p1 da1 n1 da1 n1 da1 k1 dpn n p.应选 A. nk kn15、D 解析 由题意可知 1 是方程之一根,如 1 是方程 x 25xm0 的根就 m 4,另一根为 4,设 x3,x4 是方程 x 210xn0 的根,就 x3x410,这四个数的排列次序只能为 1、x3、4、x4,公比为 2、x32、x48、n16、m n 1 4；如 1 是方程 x 210xn0 的根,另一根为 9,就 n9,设 x 25xm0 之两根为 x1、x2 就 x1x25,无论什么次序均不合题意16、4,12,36 解析 a、b、c 成等比数列,公比 q3,b3a,c9a,又 a,b8,c 成等差数列,2b 16ac,即 6a16a9a,a4,三数为 4,12,36. 17、35 解析 此题考查等比数列及古典概型的学问等比数列的通项公式为 an3 n 1.所以此数列中偶数项都为负值,奇数项全为正值如 an8,就 n 为奇数且 3 n 13 n18,就 n12,n3,n3,5,7,9 共四项满意要求 p14 103 5. 18、原方案三年产值成等差数列,设为 ad,a,ad,d>0,由三年总产值为 300 万元,得 a100 万元,又 a10d,a10, a11 d 成等比数列,得 a102a 10da11d,110d111d110 2. d 2d 110 0. d10,或 d 11舍原方案三年的产值依次为 90 万元, 100 万元, 110 万元19、1依题意： Sn2 n1n N *,当 n 2 时, anSnSn12 n2 n12 n 1. 当 n 1, S1 a11,an2 n1nN *2由于 bnlog 2an12n13,所以数列 bn 是等差数列 Tnn 225n21 2n25 2 2625 8 . 故当 n12 或 13 时,数列 bn 的前 n 项和最小名师归纳总结 3Tnbnn 225nn13n227n26 2n 1 n26<0,第 11 页,共 12 页22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 1<n<26,且 n N名师精编优秀资料* 第 12 页,共 12 页*,所以不等式的解集为 n|1<n<26,nN- - - - - - -