2022年高考数学常用公式及结论知识点3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论1.ABAa2,A,BnBABC BC AAC BC ABR . 2. 如Aa 1,a3,a, 就的子集有2 n 个, 真子集有 2 n 1 个, 非空真子集有2 n 2 个. 3. 从集合Aa 1,a2a 3,a n到集合Bb 1,b 2,b 3,b m的映射有n m 个. 4. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假5. 常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词1）个是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个 至多有 n 个至多有 （n小于不小于至少有 （n1）个对全部 x ,存在某 x ,成立不成立p 或 qp 且q对任何 x ,存在某 x ,p 且 qp 或q不成立成立6. 四种命题的相互关系原命题互逆逆命题. 如就如就互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题如非就非互逆如非就非7. 充要条件（1）充分条件：如pq ,就 p 是 q 充分条件 . （2）必要条件：如qp ,就 p 是 q 必要条件 . （3）充要条件：如pq ,且 qp ,就 p 是 q 充要条件 . 注：假如甲是乙的充分条件,就乙是甲的必要条件；反之亦然8. 二次函数的解析式的三种形式：一般式f x ax2bxc a0；顶点式fxaxb24 acb22 a4 a零点式f x a xx 1xx 2a0. 9. 函数的的单调性：名师归纳总结 1 设x 1x 2a ,b,x 1x 2那么fx 1fx 20fx 在a ,b上是增函数；第 1 页,共 26 页x 1x 2f x 1f x 20x 1x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx 20fx在a ,b上是减函数 . x 1x22 设函数yfx在某个区间内可导,假如fx0,就fx为增函数；f x ；,. 假如f x 0,就fx为减函数 . 10. 函数yf x 的图象的对称性: yf x 的图象关于直线xa对称f axf axf2axf x ；yf x 的图象关于直线xa2b对称f ax f bx f a b x yf x 的图象关于点 ,0对称fxf2 axfaxfax0yf x 的图象关于点 , a b 对称fx2 bf2 axfaxfax2 b11. 两个函数的图象的对称性: 函数yf x 与函数yfx 的图象关于直线x0 即 y 轴 对称；函数yf xa 与函数yf ax 的图象关于直线xa 对称；函数yf x 的图象关于直线xa 对称的解析式为yf2ax ；函数yf x 的图象关于点 ,0 1 x 对称的解析式为yxf2ax ；函数的图象关于直线yf x 和函数yfy对称 . 12奇偶函数的图象特点奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来,假如一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数13多项式函数0P x n a xa n1xn1a 的奇偶性b的图象；如将多项式函数P x 是奇函数P x 的偶次项 即奇数项 的系数全为零 . 多项式函数P x 是偶函数P x 的奇次项 即偶数项 的系数全为零 . 14. 如将函数yfx的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数yfxa曲线fx,y的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线fxa,yb0的图象 . 15. 几个常见的函数方程名师归纳总结 1正比例函数f cx,fxyf x f ,f1c . g x g y ,第 2 页,共 26 页2 指数函数f x x a ,f xyf x f y ,f1a0. 3 对数函数f x log ax ,f xyf x f ,f a 1 a0,a1. 4 幂函数f x x ,f xyf x f y ,f'1. 5 余 弦 函 数fxc o s x, 正 弦 函 数g xsi n x,f xy f x f yf01,lim x 0g x 1. x16. 几个函数方程的周期 商定 a>0 （1）fxfxa,就fx的周期 T=a；（2）fxfxa0,或fxaf1fx0,x或f xa 1 0, f x 或1f x f2 fxa,f x 0,1 , 就f x 的周期 T=2a；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3fx1f1a fx0,就fx的周期 T=3a；x名师归纳总结 4fx 1x2fx 1x 1fx2且f a 1 f x 1f x 21,0|x 1x 2| 2 a ,就f x 第 3 页,共 26 页1ffx2的周期 T=4a；5f x f x a f x2 a f x3 f x4 f x f x a f x2 a f x3 a f x4 a , 就fx的周期 T=5a；6fxafx fxa,就fx的周期 T=6a. 17. 分数指数幂：amnam；am1（以上a0,m nN ,且n1）. nnman18. a bNlogaNb；logaMNlogaMlogaN；logaMlogaMlogaN； logambnnlogab. Nm19. 对数的换底公式:logaNlogmN. 对数恒等式 :alog a NN . logma20. 数列 a n的前 n 项和为s na 1a 2a , 就 na ns 1,s nnn12. s n1,21. 等差数列an的通项公式 :ana 1n1d, 或ana mnm ddanam. nm前 n 项和公式 : s nn a 12anna 1n n1dd n 22a 11d n . 2222. 对于等差数列a n,如nmpqm 、n、p、q 为正整数 ,就a namapa q.23. 如数列an是等差数列,S 是其前 n 项和,kN*,那么S ,S2kS k,S 3kS 2k成等差数列 ,其公差Dk2d,如下图所示：S3 ka 1a2a 3akak1a 2ka2k1a3 k. SkS 2kSkS 3 kS 2k24数列a n是等差数列a nknb ；数列a n是等差数列S =An2Bn .25. 设数列an是等差数列,S 奇是奇数项的和,S 偶是偶数项的和,S 是前 n 项的和,就前 n 项的和SnS 奇S 偶；当 n 为偶数时,S 偶S奇nd,其中 d 为公差；2当 n 为奇数时,就S 奇S 偶a中,S 奇n21a中,S 偶n21a中,S 奇n1,S 偶n1S奇SnS偶S奇S偶n（其中a 是等差数列的中间一项）SS奇偶26. 如等差数列an和b n的前2n1项的和分别为S 2n1和T2n1,就anS 2n1. b nT 2n127. 等比数列an的通项公式 :ana 1qn1a 1qn；或anamqnmqnma n.qa m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 前 n 项和公式 :s na 11qn ,q1 , 或s na 1a q q q1. 1q1na q1na q1ama ua v. 28. 对于等比数列a n,如nmuvn、m、u、v 为正整数 ,就an29. 数列an是等比数列,S 是其前 n 项的和,kN*,那么S ,S2kSk,S 3kS 2k成等比数列,其公比为Qqk. 30. 分期付款 按揭贷款 每次仍款xab 1b n元贷款 a 元, n 次仍清 ,每期利率为 b . 1；11b n31. 裂项法：n111n11；2 n11111nn12 n22 n2n1a1ba1bab；nn1.1n11.n.32常见三角不等式（1）如x0,2,就 sinxxtanx . ,. . 2 如x0,2,就 1sinxcosx2. 3 | sinx| cosx| 1. 33. 同角三角函数的基本关系式: sin2cos21,1tan22 sec1cot2csc2； tan=sin； tancot1. n 为偶数cos34. 正弦、余弦的诱导公式：nnsinn 1 sins,n 为偶数；cosn 12cosn1,n 为奇数 1n1,n 为奇数22 12co2sin即: “ 奇变偶不变 , 符号看象限”. 如cos2sin,coscos35. 和角与差角公式名师归纳总结 sinsincoscossin； coscoscossinsin；第 4 页,共 26 页tantantan. 1tantan2 sin；coscos2 cos2 sin. sinsinsin2asinbcos=a2b2 sin2 其中 , 帮助角所在象限由点 , a b 所在的象限决定, tanb .a112sin2（升幂公式） . 36. 二倍角公式：sin22sincos. cos2cos2sin22cos2 cos1cos2,sin21cos2（降幂公式） . 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 37. 万能公式 :sin 212 tan2；cos21tan2；tan 212tan2（正切倍角公式） . tan1tan2tan38. 半角公式 :tan21sin1cos. 为常数, 且 A 0. cossin39. 三函数的周期公式: 函数yAsinx及yAcosx的周期T2 A 、 、k,0kZ. 函数yAtanx的周期 T A 、 、为常数,且A 0. 40.ysinx 的单调递增区间为2k2,2k2kZ, 单调递减区间为2k2,2k3kZ,对称轴为xk2kZ, 对称中心为241.ycosx 的单调递增区间为2 k,2kkZ , 单调递减区间为2 k,2kkZ ,对称轴为xkkZ , 对称中心为k2,0kZ. 0,kZ. 42.ytanx 的单调递增区间为k2,k2kZ,对称中心为k243. 三角函数变换 : 名师归纳总结 相位变换 :ysinx的图象向左0或向右0平移个单位ysinx的图象；第 5 页,共 26 页周期变换 :ysinx的图象横坐标伸长01或缩短1到原先的1倍ysinx的图象；振幅变换 :ysinx的图象纵坐标伸长A1或缩短0A1到原先的A倍yAsinx的图象 . 44. 正弦定理aAbBcC2R（ R 为ABC 的外接圆的半径） ；sinsinsin余弦定理a2b2c22bccosA ；b2c2a22 cacosB ；c2a2b22abcosC . 45. 三角形面积公式：S1ah a1bh b1ch （h a、h b、h c分别表示 a、b、c 边上的高）；222S1absinC1bcsinA1casinB . 22246. 在 ABC中,有ABCCABC2A2B2C22AB ；2absinAsinB（留意是在ABC 中） . 47. 平面上两点间的距离公式:d A Bx2x 12y2y 12,其中 Ax y 1,Bx 2,y 2. 48. 向量的平行与垂直：设 a =x y 1, b=x 2,y 2,且 b0 ,就 a bb = ax y 2x y 10； ab a0 a ·b =0x x 2y y 20. 49. 线段的定比分点公式：设P x 1,y 1,P x 2,y 2,P x y , 是线段PP 的分点 , 1 2是实数,且PPPP,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xx 1x 2OPOP 1OP 2OPtOP 11t OP（其中 2t11） . 1yy 1y 21150. 如 OA xOB yOB ,就 A 、 B 、 C 共线的充要条件是 x y 1 . 51. 三角形的重心坐标公式 : ABC三个顶点的坐标分别为 Ax ,y 、Bx ,y 、Cx ,y , 就其重心的坐标是 G x 1 x 2 x 3 , y 1 y 2 y 3 . 3 3' 'x x h x x h ' '52. 点的平移公式' ' OP OP PP 图形 F 上的任意一点y y k y y kPx ,y 在平移后的图形 F 上的对应点为 ' P x y ' ' ' ,且 PP的坐标为 , ；函数 y f x 按向量 a h , k 平移后的解析式为 y k f x h . 53. “ 按向量平移” 的几个结论（1）点 P x y 按向量 a= , h k 平移后得到点 P x ' h y k . 2 函数 y f x 的图象 C 按向量 a= , 平移后得到图象 C , 就 'C 的函数解析式为 'y f x h k . 3 图象 C 按向量 a= , 'h k 平移后得到图象 C , 如 C 的解析式 y f x , 就 C 的函数解析 '式为 y f x h k . 4 曲 线 C : f x y 0 按 向 量 a= , 平 移 后 得 到 图 象 C , 就 'C 的 方 程 为 'f x h , y k 05 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为 m= , x y . 54. 三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 A B C 所对边长分别为 a b c ,就2 2 2（1） O 为 ABC 的外心 OA OB OC . （2） O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0 . （3） O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA. （4） O 为 ABC 的内心 aOA bOB cOC 0 . （5） O 为 ABC 的 A 的旁心 aOA bOB cOC . 55. 常用不等式：名师归纳总结 1a bRa2b22ababa22b2 当且仅当 ab 时取“=” 号 第 6 页,共 26 页2,a bRa2bababa2b2 当且仅当 ab 时取“=” 号 3 a3b3c33 abcabc3 3 abc 当且仅当abc时取“=” 号 4ababab, 留意等号成立的条件. 5111aba2ba22b2a0,b0. abb2 c2d2acbd2 , , , , a b c dR .（6）柯西不等式：a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 56. 极值定理：已知x,y都是正数,就有1 假如积 xy 是定值 p ,那么当xy时和xy有最小值2p；, 对应2 假如和xy是定值 s,那么当xy时积 xy 有最大值1 s . 457. 解一元二次不等式2 axbxc0 或0: 如a0, 就对于解集不是全集或空集时的解集为“ 大两边,小中间”. 如: 当x 1x2,xx 1xx20x 1xx2；xx 1xx20xx 2或xx 1. 58. 含有肯定值的不等式：当a0时,有xax 2a2axa；xa2 xa2xa 或 xa . 59. 分式不等式：（1）fx0fxgxx0；（2）fx0fxxgxx0；gxgx（3）fx0fxg0（4）fx0fg0. gx0gx0gxgx60. 指数不等式与对数不等式 1 当a1时,af fag x f x g x ；logaf x logag x f x 0. g x 0. 2 当 0a1时,a ag xf x g x ；logaf x logag x f x g x f x 0g x 061. 斜率公式：kf x g x y2y 1,其中P x y 1、P x 2,y 2. x 2x 1直线的方向向量va ,b,就直线的斜率为k =b a a0. 62. 直线方程的五种形式1点斜式：yy 1k xx 1 直线 l 过点P x 1,y 1,且斜率为 k 0 b0. 2 斜截式： ykxb b 为直线 l 在 y 轴上的截距 . 3 两点式：yy 1xx 1P x 1,y 1、P x 2,y 2x 1x ,y 1y . y2y 1x2x 14 截距式：x ay1 其中 a 、 b 分别为直线在x轴、 y 轴上的截距,且ab5 一般式：AxByC0其中 A 、B 不同时为 0.63. 两条直线的平行和垂直名师归纳总结 （1）如l 1:yk xb ,l2:yk xb ,就k k 21. l2A A 2B B 20. 第 7 页,共 26 页1l 2lk 1k2,b 1b 2；l 1l2（2）如l 1:A xB yC 10,l2:A xB yC 20,就l1/l2A 1B2A 2B 10且A 1 C2A 2C 10；l 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 64. 夹角公式：tan|k 2k 1|. 1 l:yk xb ,l2:yk xb ,k k 21 ；1k k 1 留意以下两种特别情形下的夹角: 1l ,1l 或2l 的斜率不存在 .1 .C 异C 异到角公式 : 直线 l 1 到 l2 的角是tank 2k 1 1 l:yk xb ,2:yk xb ,k k21k k 165. 点到直线的距离d|Ax 0By02C|点P x 0,y0,直线 l ：AxByC0. 2 AB66. 两条平行线间的距离：如直线l1:AxByC 10；l2:AxByC20,就d|C2C 1|. A2B267.AxByC0或0 所表示的平面区域设直线l:AxByC0,就AxByC0或0 所表示的平面区域是：如B0,当 B 与 AxByC 同号时,表示直线l 的上方的区域；当B 与 AxBy号时,表示直线l 的下方的区域 .简言之 ,同号在上 ,异号在下 .如B0,当 A 与 AxByC 同号时,表示直线l 的右方的区域；当A 与 AxBy号时,表示直线l 的左方的区域 . 简言之 ,同号在右 ,异号在左 .68.A xB yC 1A xB yC 20或0 所表示的平面区域设曲线C:A xB yC 1A xB yC 20（A A B B 20）,就A xB yC 1A xB yC 20或0 所表示的平面区域是：A xB yC 1A xB yC 20所表示的平面区域上下两部分；A xB yC 1A xB yC 20所表示的平面区域上下两部分. 69. 圆的方程的四种形式（1）圆的标准方程 : x a 2 y b 2r 2. 2 2 2 2（2）圆的一般方程 : x y Dx Ey F 0 D E 4 F 0. x a r cos（3）圆的参数方程 : .y b r sin（4）圆的直径式方程 : x x 1 x x 2 y y 1 y y 2 0 圆的直径的端点是 A x y 1 、B x 2 , y 2 . 70. 圆中有关重要结论 : 1 如 P x , 0 y 是圆 0 x 2y 2r 2上的点 , 就过点 P 0x , 0y 的切线方程为 xx 0 yy 0 r . 22 2 22 如 P x , y 是圆 x a y b r 上的点 , 就过点 P x , 0y 的切线方程为2 x 0 a x a y 0 b y b r . 2 2 23 如 P x , y 是圆 x y r 外一点 , 由 P 0x , 0y 向圆引两条切线 , 切点分别为 A、B 2就直线 AB的方程为 xx 0 yy 0 r . 4 如 P 0x , 0y 是圆 x a 2 y b 2r 2外一点 , 由 P x , y 向圆引两条切线 , 切点分别为 A、B,就直线 AB的方程为 x 0 a x a y 0 b y b r 2. 71. 圆的切线方程名师归纳总结 1 已知圆x22 yy 0DxEyF0第 8 页,共 26 页如已知切点x 0,在圆上,就切线只有一条,其方程是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x xy yD x 0xE y0yFx0. 0yF0表示过两个切点的切2x xy y2D x 0E y当x y 0圆外时 , 22点弦方程过圆外一点的切线方程可设为 y y 0 k x x 0 ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线2 已知圆 x 2 y 2 r 2过圆上的 P x 0 , y 0 点的切线方程为 x x 0 y y 0 r 2; 斜率为 k 的圆的切线方程为 y kx r 1 k 2. 72. 椭圆 x 22 y2 21 a b 0 的参数方程是 x a cos. a b y b sin2 2 2x y a73.1 椭圆 2 2 1 a b 0 的准线方程为 x , 焦半径公式 PF a ex