2022年高考一轮数学复习专题三角函数.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 三角函数考点一 : 角的概念、定义（一） 学问清单 1. 终边相同的角 与（ 0°<360°） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ） : |k360,kZ; 终边在 x 轴上的角的集合:|k180,kZ; 终边在 y 轴上的角的集合：|k18090,kZ; 终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ. 2. 角度与弧度的互换关系：360° =2180° =1° =0.01745 1=57.30 ° =57° 18留意： 正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 3. 弧度制下的公式扇形弧长公式r ,扇形面积公式S1R12 R|,其中为弧所对圆心角的弧22度数；4. 三角函数定义 : 利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数. 在终边上任取一点P x y , （与原点不重合） ,记r|OP|x2y2,就 siny, cosx, tany, cotx；rrxy注: 三角函数值只与角的终边的位置有关,由角的大小唯独确定, ,其规律是“ 奇变三角函数是以角为自变量, 以比值为函数值的函数. Z依据三角函数定义可以推出一些三角公式: 诱导公式 ：即k或k90之间函数值关系k22偶不变,符号看象限”；如 sin270cos同角三角函数关系式：平方关系,倒数关系,商数关系. 重视用定义解题. 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法 . 如单位圆正弦线 :MP;余弦线 :OM;正切线 :AT5. 各象限角的各种三角函数值符号（二）典型例题分析: 一全二正弦 , 三切四余弦例1. 写出与以下各角终边相同的角的集合S,并把 S 中适合不等式 -3600 <720 0的元素 写出来：（1）60° ；6（ 2）-20 ° ；x对称,就（ 3）600°；变式：的终边与的终边关于直线y_ _例2. 三角函数线问题：如80,就 sin,cos,tan的大小关系为 _ _ 变式 1、如为锐角,就,sin,tan的大小关系为 _ _ 变式 2、函数y12cosxlg2sinx3 的定义域是 _ _ 名师归纳总结 例3. 已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为2, 那么这个圆心角所对的弧长为 ）第 2 页,共 23 页A2Bsin 2C2D2sin1sin1变式 1、已知扇形AOB的周长是 6cm,该扇形的中心角是1 弧度,求该扇形的面积；变式 2某扇形的面积为12 cm ,它的周长为4cm,那么该扇形圆心角的度数（- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A2°B2 C 4°D4 变式 3中心角为 60° 的扇形,它的弧长为 2,就它的内切圆半径为（）A2 B3 C 1 D32变式 4一个半径为 R的扇形,它的周长为 4R,就这个扇形所含弓形的面积为（）A1 2 sin 1 cos 1 R 2B1R 2sin 1 cos 12 2C1 R 2DR 2sin 1 cos 1 R 22变式 5已知扇形的半径为 R,所对圆心角为,该扇形的周长为定值 c,就该扇形最大面积为 . 例4. 已知为第三象限角, 就2所在的象限是 象限角；B.其次或第三象限A第一或其次象限C.第一或第三象限 D.其次或第四象限变式 1、如是其次象限角,就2是第 _ _变式 2、如角的终边落在第三或第四象限,就2的终边落在（）A第一或第三象限B其次或第四象限（C第一或第四象限D第三或第四象限例5. 已知角的终边经过P4,3, 求 2sin+cos 的值 . 变式 1、（08 北京模拟）是第四象限角,tan5,就 sin12A1 5B1C5 13D5513变式 2、已知角的终边经过点P5, 12 ,就sincos的值为；变式 3、设是第三、四象限角,sin2m3,就 m 的取值范畴是 _ 4m名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例6. 如是第三象限角, 且 cos2cos2, 就2是 A 第一象限角 B 其次象限角 C 第三象限角 D 第四象限角变式 1、（10 江西）在复平面内,复数 z sin 2 i cos2 对应的点位于（）A第一象限 B其次象限 C第三象限 D第四象限例7. 如 cos 0, 且 sin2 0, 就角 的终边所在象限是（）A第一象限 B 其次象限 C 第三象限 D 第四象限变式 1、（08 北京文理 1）已知 cos tan 0 ,那么角 是（）第一或其次象限角其次或第三象限角）第三或第四象限角第一或第四象限角变式 2（08 全国 1）如 sin0 且 tan0 是,就是（A第一象限角 B 其次象限角 C 第三象限角D 第四象限角（三）实战训练名师归纳总结 1、（ 07 全国 1 文 2）是第四象限角,cos12 13,就 sin（）D. - 3第 4 页,共 23 页A5 13 B-5 C5 12 D-5）13122、（ 07 全国 2 理 1）sin210 ° = （）D.-1A3B.-3C.1 22223、（ 07 全国 2 文 1） cos330（）D3A1 2B1C3 2224、（ 07 湖北文 1） tan690 ° 的值为（）C.3A.-3B.3（333 2,且2,就 tan5、07 浙江文 2 已知cos23 A3 B 3 C 3 D 33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、（ 08 江苏模拟）已知0x2,cosx4,就 tanx = 57、 sin930 的值是（）（A）3（B）3（C）1（ D）12 2 2 28、角 的终边过点 P（ 8m,6cos60° ）且 cos =4-,就 m的值是（）5A.1 B.-1 C.-3 D. 32 2 2 29、已知 sin =1 a,cos =3 a 1,如 是其次象限角,就实数 a=_ _ 1 a 1 a10、已知 f n cos n n N ,求 f 1 f 2 f 2022 的值；512 、 已 知0 ,且s i n, c o s 是 关 于x的 方 程2 5 xxm的 根 , 求 0sin3cos3和tan的值 . 考点二：三角函数公式（一） 学问清单名师归纳总结 1.同角三角函数关系1tansincotcostancot1第 5 页,共 23 页sin2cos22.cossin诱导公式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 口诀为： 奇变偶不变, 符号看象限 ,k2的各角的三角函数值,当 k 为偶数时, 得的同名三角函数值,当k 为奇数时,得的余名三角函数值, “ 符号看象限” 是把任意角当成锐角,看原函数所在的象限,从而定出原函数值的符号 . 如：sin 2costan 2cotcos 2sintan 2cotsin sincoscossinsincoscostantan3.和差倍角公式1° 两角和、差正弦、余弦、正切公式（1）、sinsincoscossin（2）、coscoscossinsin（3）、tantantan1tantan2° 二倍角公式（1）sin22sin2sincos（2）、coscos2-sin2（3）tan22cos2-11-2sin22tan1tan23° 降次公式、升幂公式降次公式：1cos2升幂公式：2sin22（1）、cos2（1）、1 cos22（2）、sin21cos2（2）、1 cos22cos24 帮助角公式（1）、asinxbcosxa2b2sinx其中角所在的象限由a, b 的符号确定,角的值由 tanb a确定 （2）、公式的推导：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5巧变角（1）、2222（2）、 2 ； 2（3）、（4）、26. 三角函数化简的方法：三角函数的化简、运算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构；即第一观看角与角之间的关系, 留意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！其次看函数名称之间的关系,通常“ 切化弦”（二） 典型例题分析；第三观看代数式的结构特点；例1.同角三角函数关系（知一求二）tan；（1）已知sin1,且为其次象限的角,求3（2）、已知sin1,求 tan；3（3）、已知sinmm0,m1,求 tan例2. 诱导公式： tan600 ° 的值是（）A3B33 3变式、 sin600 的值等于（B C 3D13D、2D3）CA 1 23222例3. 已知tan2,就sin2cos（）sin2sinA、2 B、 2 C、0 3例 4. 和差倍角公式求值名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知sin3,且,那么sin2=（）225cosA 、-3 4B、32 +cos2 cosC、3 4·cos2D、3 22sin22·sin-1 cos2 2变式： （1）、化简.（4 种方法）（2）、2sin2cos2=（）1 cos2cos2A、tanB、 tan 2 C、1 D、1 2D3（3）、如 a（ 0,2）,且 sin 2a+cos2a=14,就 tana 的值等于（）A2 2B3 3C2_ 1cos 2为_ （4）、如,3 ,化简11122222（5）、求值 sin50 13 tan10 （6）、已知 tan2 ,求sin2sincos3cos2例4. 帮助角公式名师归纳总结 如方程 sinx3cosxc 有实数解,就 c 的取值范畴是 _. 第 8 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例5. 巧用角的变换求解相关问题（1）、已知tan22,tan41 4,那么 tan4的值是 _ 5（2）、已知 0,且cos21,sin22,求 cos93的值（3）、已知 4,3,0,4, cos 43 ,sin 53 5 ,求 sin 1344的值考点三：三角函数图象与性质（一） 学问清单名师归纳总结 1.各三角函数图象性质关系如下：第 9 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注： 以上性质的懂得记忆关键是能想象或画出函数图象. 2. 函数yAsinx图象的画法：“ 五点法” 设Xx,令 X 0,2, ,3, 2求出相应的x值,运算得出五点的坐标,描点后得出图象；图象变换法：2这是作函数简图常用方法；名师归纳总结 3. 函数yAsinxk 的图象与ysinx 图象间的关系：第 10 页,共 23 页（1）函数ysinx 的图象纵坐标不变,横坐标向左（>0）或向右（<0）平移 |个单位得ysinx的图象；（ 2 ） 函 数ysi nx图 象 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的1, 得 到 函 数ysi nx的图象；（ 3）函数ysinx图象的横坐标不变,纵坐标变为原先的A 倍,得到函数yAsinx的图象；（4）函数yAsinx图象的横坐标不变,纵坐标向上（k0）或向下（k0）,得到yAsinxk 的图象；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要特殊留意,如由ysinx 得到ysinx的图象,就向左或向右平移应平移|个单位；2Asinx的图像和性质以函数ysinx 为基础 , 通过图像变因此：上图中, 函数y换来把握 . 如ysinx图例变化为yA sinxA>0,>0 相应地,的单调增区间2k,22k变为222kx2 k的解集是的增区间. 注: ysinx或ycosx（0 ）的周期T2; ,0；ysinx的对称轴方程是xk2（kZ）,对称中心 kycosx的对称轴方程是xk（kZ）,对称中心k1,0；2ytan x的对称中心（k 2, 0）. （二）典型例题分析例1. 三角函数图像变换ycosx 的图像？将函数y2cos3x1的图像作怎样的变换可以得到函数2变式 1： 将函数ycosx 的图像作怎样的变换可以得到函数y2cos2x4的图像？变式 2： 将函数y2cos1x6的图像作怎样的变换可以得到函数ycosx 的图像？2变式 3：将函数y1 sin2 3x3的图像作怎样的变换可以得到函数ysinx 的图像？x4xR,0的最小正周变式4. 已知函数f x sin名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 期为,为了得到函数g x cosx 的图象,只要将yf x 的图象（）A 向左平移8个单位长度xB 向右平移8个单位长度7C 向左平移4个单位长度D 向右平移4个单位长度例2. 已知函数f x 2sin的图像如下列图,就f12变式 1：已知简谐运动f x 2sinx的图象经过点0 1, ,就该简谐运动y32的最小正周期T 和初相分别为（）T6,T6,63T6,T6,63变式 2： 函数ysin2x在区间,的简图是（）32变式 3： 如图,函数y2cosxxR,2名师归纳总结 的图象与 y 轴交于点 0,3,且在该点处切线的斜率为2 O3x第 12 页,共 23 页求和的值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例3. 三角函数性质求以下函数的最大、最小值以及达到最大 小 值时 x 的值的集合1 y3sin2x4 3； 2 y6sin2.5x222 ,就的最小2变式 1： 已知函数f x 2sinx0在区间3,4上的最小值是值等于（）2（D）3 3（k Z）（A）2（B）33 2变式 2： 函数 y=2 sin x的单调增区间是（C）2 ）A2k 2,2k 2（ kZ）B2k , 2k 2C2k ,2k （kZ）D2k ,2k （kZ）变式 3： 关于 x 的函数 f （ x）=sin （x+）有以下命题：对任意的,f （x）都是非奇非偶函数；不存在,使 f （x）既是奇函数,又是偶函数；存在,使 f （x）是奇函数；对任意的,f （x）都不是偶函数；其中一个假命题的序号是 _. 由于当 =_时,该命题的结论不成立；1变式 4、 函数 f x 2sin x的最小正周期是 . 4名师归纳总结 变式 5、 以下函数中,既是（0,2）上的增函数,又是以 为周期的偶函数是 第 13 页,共 23 页2 A y=lg x B y=|sin x| C y=cosx Dy=2sin2x变式 6、 已知x0,2,求函数ycos 12x5 cos 12x 的值域- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 7、 已知函数f x log sinxcos 2 求它的定义域和值域；求它的单调区间；判定它的奇偶性；判定它的周期性 . 例4. 三角恒等变换1sincos sin2cos2）化简：22cos变式 1： 函数 y1cosx的最大值是（2sinxA.2 1 2B. 22 1 2C.12 2 ,4 2求fD.12 2变式 2： 已知cos22sin2 2,求 cossin的值 x 的最大值和最sin4 4x3 cos2x,x变式 3：已知函数f x 小值名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例5. 关于三角函数综合问题1.设函数f x sinxcosx3cosxcos x xR .的图象,求（1）求f x 的最小正周期；4,3平移后得到函数yg x （ II ）如函数yf x 的图象按b22.yg x 在 0,4上的最大值；sinx20 的最小正周期为；已知函数fx sin2x3sinx名师归纳总结 （1）求的值；在区间0 ,2上的取值范畴；第 15 页,共 23 页（2）求函数fx3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.设函数fx sinxcosx222 cosx 0 的最小正周期为2；3y（1）求的值；yfx的图象向右平移2个单位长度得到的,求（2）如函数yg x 的图象是由gx的单调增区间及对称轴方程；4.已知函数f x cos2x2sin2x,g x 1sin 2x1.24名师归纳总结 函数f x 的图象可由函数g x 的图象经过怎样变化得出？x 的集合；第 16 页,共 23 页（）求函数h x f x g x 的最小值,并求使用h x 取得最小值的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5.已知函数f x sinxsinx2cos2x,xR（其中0 ）,（I）662求函数f x 的值域；y1的两个相邻交点间的距离为,求函数（ II ）（文）如函数yf x 的图象与直线2yf x 的单调增区间0 , |26.已知函数f x sinx,其中（I）如 cos4cos,sin4sin0,求的值；（）在（ I）的条件下,如函数f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3,求函数f x 的解析式；并求最小正实数m ,使得函数f x 的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课后作业1. （全国一 8）为得到函数 y cos 2 x 的图像,只需将函数 y sin 2 x 的图像（）3A向左平移 5个长度单位 B向右平移5 个长度单位12 12C向左平移 5 个长度单位 D向右平移5 个长度单位6 62.（全国二 8）如动直线 x a 与函数 f x sin x 和 g x cos x 的图像分别交于 M,N 两点,就 MN 的最大值为（）A1 B2 C3 D2 4. （四川卷）如 0 2 ,sin 3cos,就 的取值范畴是： A , B , C , 4 D , 33 2 3 3 3 3 25. （天津卷 6）把函数 y sin x （ x R ）的图象上全部点向左平行移动 个单位长度,再3把所得图象上全部点的横坐标缩短到原先的 1 倍（纵坐标不变） ,得到的图象所表示的函数2是名师归纳总结 Aysin2x3, xR Bysinx6, xR12,0中第 18 页,共 23 页2Cysin2x3, xR Dysin2x2, xR36. （天津卷 9）设asin5,bcos2,ctan2,就777 Aabc B acb C bca D bac7.（安徽卷 5）将函数ysin2x3的图象按向量平移后所得的图象关于点心对称,就向量的坐标可能为（）F , 如 F 的一A 12,0B 6,0C 12,0D 6,08. （湖北卷5）将函数y3sinx的图象 F 按向量 3,3平移得到图象条对称轴是直线x4, 就的一个可能取值是A. 5 B. 5 C. 11 D. 1112121212- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9. （湖南卷 6）函数f x sin2x3sinxcosx在区间, 4 2上的最大值是 fA.1 B.123 C. 3D.1+3210. （重庆卷 10 函数 fx =3sinx1x 0x2的值域是2cosx2sinA-2 ,0 2 B-1,0 C-2,0 D-3,0 11. （福建卷 9 函数 f x=cos x x xR 的图象按向量 m,0 平移后,得到函数y=- f x的图象,就m的值可以为A.2B.C. D.212. （浙江卷5）在同一平面直角坐标系中,函数ycosx3x0,的图象和直22线y1的交点个数是2（A） 0 （B） 1 （C）2 （ D）4 13.（海南卷 1）已知函数y=2sin x+ >0 在区间 0 ,2 的图像如下： 那么 =（）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 14. 已 知 函 数f x =Acosx 的 图 象 如 图 所 示 ,22,就f0=（）3A2B 2 3C- 1 2D 1 2315. 已知函数f x sinxcos sinx , xR ,就f x 的最小正周期是16. 设函数f x cosx0,将yf x 的图像向右平移3个单位长度后,所得的图像名师归纳总结 与原图像重合,就的最小值等于（）C 6D 9第 19 页,共 23 页A1 3B 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 17. （上海卷 6）函数 f x 3sin x +sin2+x 的最大值是18.（江苏卷 1）fxcosx6的最小正周期为5,其中0 ,就= 19. （广东卷12 ）已知函数f x sinxcos sinx , xR ,就f x 的最小正周期是f x 在区间 sinx30,f6f3,且20. （辽宁卷16）已知f,6 3有最小值,无最大值,就 _0 ）的最小正周期为21（北京卷 15）（本小题共13 分）已知函数f x sin2x3sinxsinx（2（）求的值；（）求函数f x 在区间0,23上的取值范畴22（四川卷 17）（本小题满分12 分）名师归纳总结 求函数y74sinxcosx4cos2x4cos4x 的最大值与最小值；第 20 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 23（天津卷 17）（本小题满分 12 分）已知函数f x 2co2 sx2s inxcosx1（xR ,0）的最小值正周期是2（）求的值；x的集合（）求函数f x 的最大值,并且求使f x 取得最大值的24（安徽卷 17）已知函数f x cos2x32sinx4sinx4名师归纳总结 （）求函数f x 的最小正周期和图象的对称轴方程第