2022年高考数学三角函数知识点总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学第四章 -三角函数考试内容：角的概念的推广弧度制任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式 两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切.正弦、余弦的诱导公式正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数 y=Asin x+ 的图像正切函数的图像和性质已 知三角函数值求角正弦定理余弦定理斜三角形解法考试要求：（1）懂得任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算（ 2）把握任意角的正弦、余弦、正切的定义；明白余切、正割、余割的定义；把握同角三角函数的基本 关系式；把握正弦、余弦的诱导公式；明白周期函数与最小正周期的意义（3）把握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；把握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4）能正确运用三角公式,进行简洁三角函数式的化简、求值和恒等式证明（ 5）懂得正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“ 五点法” 画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin x+ 的简图,懂得 A. 、 的物理意义（6）会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx 表示（7）把握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形（8）“ 同角三角函数基本关系式：sin2 +cos2 =1,sin /cos =tan ,tan .cos =1” §04. 三角函数学问要点的终边重合） ：|yk360,kZ1. 与（0° 360°）终边相同的角的集合（角与角321x终边在x 轴上的角的集合：|k180,kZsinxsinx终边在y 轴上的角的集合：|k18090,kZ4cosxcosx终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZcosxsinxcosx1sinx4终边在y=x 轴上的角的集合：|k18045,kZ23SIN COS三角函数值大小关系图名师归纳总结 终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ1、 2、3、 4表示第一、二、三、第 1 页,共 7 页四象限一半所在区域如角与角的终边关于x 轴对称,就角与角的关系：360k如角与角的终边关于y 轴对称,就角与角的关系：360 k180如角与角的终边在一条直线上,就角与角的关系：180k角与角的终边相互垂直,就角与角的关系：360 k902. 角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1° =0.01745 1=57.30 ° =57° 18留意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、弧度与角度互换公式：1rad180° 57.30° =57° 18 1° 1800.01745（rad）3、弧长公式：l|r. 扇形面积公式：s 扇形1lr1 | | 2r2ra的终边原点的）一点P24、三角函数：设是一个任意角,在的终边上任取（异于ytany x；（ x,y ）P 与原点的距离为r ,就siny；cosx；rP（ x,y rcotx；secr；. cscr.oxyTx弦）y5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦,三切四余y +xy-o-+xyxyP-+o-+o +-OMAx余弦、正割正切、余切正弦、余割6、三角函数线16. 几个重要结论:正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 1yx2y|sinx|>|cosx|7. 三角函数的定义域：sinx>cosx|cosx|>|sinx|cosx|>|sinx|OOxcosx>sinx|sinx|>|cosx|3 如 o<x<2 ,就sinx<x<tanx三角函数2sintanc osc otx|xx定义域1,kZf x sinxx |xRf x cosxx |xRR 且xkf x tanxf x cotx2x|R 且xkZ,kx|xxR 且xk1,kZf x secx2f x cscxx|R 且xkZ,k8、同角三角函数的基本关系式：coss i ntancot1cscsin1s ecco s11sin22 cos12 sectan1csc2cot29、诱导公式：把k的三角函数化为的三角函数,概括为：2“ 奇变偶不变,符号看象限”三角函数的公式： （一）基本关系名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 公式组一公式组二公式组三sinx·cscx=1tanx=sinxsin 2x+cos2x=1s i n sin2 kx sinxs i n x s i n xcosxcosx·secx =1x=cos 2 kx cosxc o s xc o s xcosx1+tan2 x =sec 2xtan2 kx tanxt a n x t a n xsinxtanx·cotx=1cot 2 kx cotxc o t x c o t x 1+cot2x=csc 2x公式组四公式组五公式组六sinxsinxs i n x s i n xx s i n xcosxcosxc o s xc o sc o s xc o stanxtanxt a n x t a n xt a n x t a n xcotxcotxc o t x c o t xc o t x c o t x（二）角与角之间的互换公式组一sins i n 2,公式组二2c o s 2112s i n 23. coscoscossin2si nc o scoscoscossinsinc o s 2c o s 2s i n 2sinsincoscossint a n 22t a nsin1cos公式组五12 t a nsinsincoscossins i n 21c o s2tantantan1coscos21tantan2tantantan1costan21tantan1cos1cossin公式组三公式组四1 cos 2sinsincos1 2sinsinsin12tan22cossin1sinsintan2sin1 2cos2coscos1coscos2tan1 2cotcos1tan22sinsin1coscos21tan2sin2cos22cos1 2sinsin2sin2sin2cossin2sin2tan1 2cottan12tan2coscos2cos2cos2tansin1 2cos2coscos2sin22sin2cos 15642cot152sin15cos75642,sin753,tan75tan 15cot7510. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - ysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、0）定义域R R x|xR且xk1,kZx|xR且xk,kZR 第 4 页,共 7 页2值域,11,11R R A,A周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当0 非奇非偶当,0 奇函数22 k,2 k1,；上2k,2kk, k1上为减函2k2A,A 数（kZ）2k函数上 为 增 函为增22 k数（kZ）2k1上 为 增 函2 k,2数；2 k1单调性22 k,上 为 减 函上为增函数；A ,A 数2k232 k（kZ）22k3上 为 减 函2数（kZ）上为减函数（kZ）留意：ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycos 与ycosx的单调性也同样相反.一般地,如yf x 在a,b上递增（减）,就yfx在a,b上递减（增） . ysinx与ycosx的周期是. yysin x或ycos x（0 ）的周期T2. xytan x 2的周期为 2（TT2,如图,翻折无效）. Oysin x的对称轴方程是xk2（kZ）,对称中心（k0,）；ycosx的对称轴方程是xk（kZ）,对称中心（k1,0）；ytanx的对称中心（k,0）. 22ycos2x原点对称ycos2xcos2x当 tan·tan,1k2kZ； tan·tan,1k2 kZ. ycos 与ysinx22 k是同一函数 ,而y x是偶函数,就yxsinxk1cosx . 2函数ytanx在 R 上为增函数 .（ ×） 只能在某个单调区间单调递增. 如在整个定义域,ytanx为增名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数,同样也是错误的 . 定义域关于原点对称是fx具有奇偶性的必要不充分条件f.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点x ,奇函数：fxfx）对称（奇偶都要） ,二是满意奇偶性条件,偶函数：fx奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：ytanx是奇函数,ytanx1是非奇非偶 .（定义域不关于原点3对称）奇函数特有性质：如0x的定义域,就fx肯定有f0 0.（0x的定义域,就无此性质）xysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）；yyx1/2ycosx是周期函数（如图） ；ycosx为周期函数（T）；y= cos|x| 图象ycos x1的周期为（如图）,并非全部周期函数都有最小正周期,例如：y=|cos2x+1/2|图象2yfx5fxk,kR. yacosbsina2b2sincosb有a2b2y. a11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例 五点作图法（正、余弦曲线）,三点二线作图法（正、余切曲线）. ）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin （ x ）的振幅 |A| ,周期T2|,频率f1|,相位x;初相（即当 x0|T2时的相位）（当 A0, 0 时以上公式可去肯定值符号）,0|A|1）到原先|A|1）或缩短（当由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长（当的|A|倍,得到 yAsinx 的图象,叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长（0| | 1）或缩短（ | |1）到原先的 | 1 |倍,得到 ysin x 的图象,叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换用 x 替换 x 由 ysinx 的图象上全部的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位,得到 ysin（x ）的图象,叫做 相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移用 x 替换 x 由 ysinx 的图象上全部的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动 b个单位,得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 （用 y+-b 替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数yAsin（ x）（ A0, 0）（ xR）的图象,要特殊注意：当周期变换和相位变换的先后次序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区分；4、反三角函数：函数 ysinx,x2,2的反函数叫做 反正弦函数 ,记作 yarcsinx,它的定义域是 1,1,值域是2,2函数 ycosx,（x0, ）的反应函数叫做反余弦函数 ,记作 y arccosx,它的定义域是 1,1,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 值域是 0, 函数 ytanx,x2,2的反函数叫做 反正切函数 ,记作 yarctanx,它的定义域是（,）,值域是2,2函数 yctgx,x（ 0, ）的反函数叫做）,值域是（ 0, ）反余切函数 ,记作 yarcctgx,它的定义域是（,II. 竞赛学问要点一、反三角函数 . 1. 反三角函数：反正弦函数 y arcsin x 是奇函数,故 arcsin x arcsin x,x 1,1（肯定要注明定义域,如 x ,没有 x 与 y 一一对应,故 y sin x 无反函数）注：sinarcsin x x,x 1,1,arcsin x , . 2 2反余弦函数 y arccos x 非奇非偶,但有 arccos x arccos x 2 k,x ,1 1 . 注： cosarccos x x,x 1,1,arccos x 0 , . y cos x 是偶函数,y arccos 非奇非偶,而 y sin x 和 y arcsin x 为奇函数 . 反正切函数：y arctan,定义域 , ,值域（,）,y arctan x 是奇函数,2 2arctan x arctan x, x , . 注：tanarctan x x, x , . 反余切函数：y arc cot x,定义域 , ,值域（,）,y arc cot x 是非奇非偶 . 2 2arc cot x arc cot x 2 k, x , . 注： cot arc cot x x, x , . y arcsin x 与 y arcsin 1 x 互为奇函数,y arctan x 同理为奇而 y arccos 与 y arc cot x 非奇非偶但满足 arccos x arccos x 2 k , x 1 1, arc cot x arc cot x 2 k , x 1 1, . 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：名师归纳总结 a 的取值范畴解集ZZsin3a 的取值范畴解集Z,kZsin第 6 页,共 7 页sinxa的解集cosxa的解集a1 a1 a =1 x|x2karcsina,kZa=1 x|x2 karccosa,ka1 x|xk1karcsina,ka 1 x|xkarccosa ,kZarcc o ttanxa的解集：x|xkarctana,kc o t xa的解集：x|xk二、三角恒等式. 3sin4sin3sin2sin2sin组一 coscos2cos4.cos2nsin2n12n1sin4cos33cos2 cos2 coscos3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 组二名师归纳总结 ncos2n2sin2n第 7 页,共 7 页k1cos2kcos2cos4cos8nsinndcosxndsinn1dcos xndcosxkdcosxcosxsindk0dsinxndsinn1 dsinxndnsinxkdsinxsinxsindk0tantantantantantantan1tantantantantantan组三三角函数不等式fxsinx在0,上是减函数sinx x tanx,x 0 ,2x如ABC,就x2y2z22yzcosA2 xzcosB2 xycosC- - - - - - -