2022年高考数学：利用导数研究函数的单调性、极值、最值.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学 习 必 备 欢 迎 下 载利用导数争论函数的单调性、极值、最值一、挑选题名师归纳总结 1. 2022 · 全国卷高考文科·T12如函数f x=x- 1 3sin2x+asinx在- ,+上单调递增,就 a的取值范畴是A. -1 ,1 B.1,13C.1,1 D.1,1333,排除 A,B,D.【解析】选C. 方法一 :用特别值法:取 a=-1 ,f x=x-1 3sin2x-sinx,f' x=1-2 3cos2x-cosx,但 f' 0=1-2-1=-2<0,不具备在- ,+上单调递增33方法二 :f' x=1-2 3cos2x+acosx 0 对 x R 恒成立 ,故 1-22cos2x-1 +acosx 0,3即 acosx-4cos2x+ 5 30 恒成立 ,3令 t=cosx ,所以 -4 3t2+at+ 5 30 对 t -1 ,1 恒成立 ,构造函数f t =- 4 t2+at+ 5 3,3开口向下的二次函数f t 的最小值的可能值为端点值故只需f1111aa0,3f0,f x=lnx,0x1,图象上点P1,P2 处的切3解得 -1 3a1. 32. 2022 · 四川高考理科·T9设直线l 1,l2 分别是函数lnx,x1,线 ,l1 与 l2 垂直相交于点P,且 l1,l 2 分别与 y 轴相交于点A,B,就 PAB的面积的取值范畴是A. 0,1 B.0,2第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C. 0,+ D. 1,+ 学 习 必 备欢 迎 下 载【解题指南】设出两切点的坐标 ,两切线方程 ,从而求出点 P 的坐标 ,表示出三角形的面积 ,进而求出取值范畴 .【解析】选 A. 由题设知 :不妨设 P1,P2点的坐标分别为 :P1x 1,y 1,P2x2,y 2,其中 0<x 1<1<x 2,就由于 l 1,l 2 分别是点 P1,P2 处的切线 ,而1 ,0 x 1,f' x=1 ,x x1, 得 l 1 的斜率 k1 为 -x,l 1 2 的斜率 k2 为 x;又 l 11 与 l 2 垂直 ,且 0<x1<x 2,可x得 :k1·k2=-1·1 =-1 . x1·x 2=1,我们写出 l 1 与 l 2 的方程分别为 :l 1:y=-1x-x 1-lnx 1x 1 x 2 x 11 ,l2:y= x-x 2+lnx 2 ,此时点 A 的坐标为 0,1-lnx 1,点 B的坐标为 0,-1+lnx 2,由此可x 2得 :|AB|=2-lnx 1-lnx 2=2-ln x1·x2=2, ,两式联立可解得交点 P 的横坐标为x= 2x 1 lnx xx 12 2=x 1 2x,PAB的面积为 2 :SPAB=12 |AB| ·|Px|=12× 2×x 1 2x 2 =x 1 211,当且仅当x 1x1= x即 x1=1 时等号成立 1,而 0<x1<1,所以 S PAB<1. 3. 2022 · 四川高考文科·T6已知 a 为函数 f x=x 3-12x 的微小值点 ,就 a= A.-4 B.-2 C.4 D.2【解题指南】求出 f' x,解出方程 f' x=0 的根 ,再依据不等式 f' x>0,f' x<0 的解集得出函数的极值点 .【解析】选D. f' x=3x2-12=3x2x2 ,令 f' x=0,得 x=-2 或 x=2,易知 f x 在2,2 上单调递减 ,在 2, 上单调递增,故 f x的微小值为f2 ,所以 a=2. 二、 解答题名师归纳总结 4. 2022 · 全国卷高考理科·T21已知函数f x=x-2 ex+ax-1 2 有两个零点.第 2 页,共 11 页1求 a 的取值范畴.2设 x1,x2 是 f x的两个零点,证明 :x1+x2<2.【解析】 1f' x=x-1 ex+2ax-1 =x-1 ex+2a .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 a=0,就 f x=x-2 e学 习 必 备欢 迎 下 载x,f x只有一个零点;设 a>0,就当 x - ,1时 ,f' x<0;当 x 1,+ 时,f' x>0,所以 f x在 - ,1内单调递减,在 1,+内单调递增.又 f 1=-e ,f 2=a,取 b 满意 b<0 且 b<lna 2,就 f b>a 2b-2 +ab-1 2=ab23b>0,2故 f x存在两个零点;设 a<0,由 f' x=0 得 x=1 或 x=ln -2a .e如 a-2,就 ln -2a 1,故当 x 1,+时 ,f' x>0,因此 f x在 1,+内单调递增 .又当 x1 时 ,f x<0,所以 f x 不存在两个零点 .如 a<-e 2,就 ln -2a >1,故当 x 1,ln -2a 时,f' x<0;当 x ln -2a ,+时 ,f' x >0.名师归纳总结 因此 f x在 1,ln -2a 内单调递减,在 ln -2a ,+内单调递增,第 3 页,共 11 页又当 x1 时 ,f x<0,所以 f x 不存在两个零点,综上 ,a 的取值范畴为0,+ .2不妨设x1<x2,由 1知 ,x1 - ,1,x21,+,2-x2 - ,1,f x 在 - ,1内单调递减所以 x1+x2<2 等价于f x1 >f 2-x2,即 f 2-x2<0,由于 f 2-x2=-x 22 ex2+ax2-1 2,而 f x2=x2-2 xe +a x2-1 2=0,所以 f 2-x2=-x 22 ex2- x 2-2 x e ,设 gx=-xe2 x - x-2 ex,就 g' x=x-1 e2 x -ex.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以当x>1 时 ,g' x<0,而 g 1=0,学 习 必 备欢 迎 下 载故当 x>1 时 ,gx<0.从而 gx2=f 2-x2<0,故 x1+x2<2. 5. 2022 · 全国卷· 理科·T21本小题满分 12 分 设函数 f x=acos2x+ a-1 cosx+1 ,其中 a>0,记 |f x| 的最大值为 A.1求 f' x.2求 A.3证明 |f'x| 2A.23 ax21,f0,【解析】 1f'x=-2asin2x-a-1 sinx.2当 a1 时 ,fx|acos 2 xa1cosx1|aa1当 0<a<1 时 ,fxacos 2 xa1cosx12 acos2xa1 cos令 cosx=t 1,1 ,就 f x=gt =2at2+ a1 t-1 ,其对称轴为t=14aa,当 t=14aa1,1 时,解得 a<-1舍去 3或 a>1 5,所以当1<a<1 时 ,由于 g1=a,g1=3a-2 ,5就 g- 1-g 1=2-2a>0 ,又g14aag11a17a0,g1 < g 1 =2-3a.8a所以 A=g14aaa26a1.所以此时8a当 0<a1 5时, g1 =a , g 1 =2-3a23a,0a1,5综上可得 :A=a26a1,1a1,8a53a2,a1.3由1得 .名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学 习 必 备欢 迎 下 载12 分 当 0<a1 5时, f'x 1+a2-4a<223a =2A,当1 5<a<1 时 ,A=a26a1a131.8a88a4所以 f'x<2A.当 a1 时, f'x3a-1 6a-4=2 3a-2 =2A.综上所述 : f'x 2A.6. 2022 · 全国卷· 文科·T21本小题满分设函数f x=lnx-x+1.1争论 f x的单调性 .2证明当x 1,+ 时,1<x1<x.-1 ,令 f' x=0,解得 x=1.lnx3设 c>1,证明当x 0,1时 ,1+c-1 x>cx.【解析】 1由题设 ,f x的定义域为0, ,f' x=1 x当 0<x<1 时 ,f' x>0,f x单调递增 ;当 x>1 时 ,f' x<0,f x单调递减 .2由1知 f x在 x=1 处取得最大值 ,最大值为 f 1=0.所以当 x 1时,lnx x 1.故 当x 1, 时,lnx x 1,ln 1 1 1,即x x1 x 1 x.lnx3由题设 c>1 ,设 gx=1+c-1 x-c x,就 g' x=c-1-c xlnc ,令 g' x=0.c 1ln解得 x0= lnc lnc .当 x<x0时 ,g' x>0,gx 单调递增 ;当 x>x0时,g' x<0,gx单调递减 .名师归纳总结 由 2知 1<c lnc1<c,故 0<x0<1. 又 g0=g1=0,故当 0<x<1 时 ,gx>0.第 5 页,共 11 页所以当x 0,1时 ,1+c-1 x>cx.7. 2022 · 浙江高考文科·T20设函数f x=x3+11x,x 0,1 . 证明 :- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1f x 1-x+x2.学 习 必 备欢 迎 下 载23 4 <f x3 2. 2由 0x1 得 x3x,进行放缩,【解题指南】1 利用放缩法,得到1x411x,从而得到结论1x得到 f x3 2,再结合第一问的结论,得到 f x>3 4,从而得到结论.【证明】 1由于 1-x+x2-x3=1x41x4,1x1x由于 0x1,有1x411x,即 1-x+x2-x311x,1x所以 f x1-x+x2.2由 0x1 得 x3x,故f x=x3+11xx+11x=x+11x-3 2+3 2=x12x133,2 x122所以 f x3 2,由 1得 f x1-x+x2=x1233 4,24又由于f1=19 24>3 4,所以 f x>3,24综上 , 3 <f x3 2. 48. 2022 · 山东高考理科·T20已知 f x=axlnx2x21,a R.x1争论 f x的单调性 .2当 a=1 时,证明 f x >f' x+3 2对于任意的x 1,2成立 .,判定 f xmin 与 gxmax的关系 ,进而可给【解题指南】1 求导后 ,对 a 分情形争论.2令 gx=f' x+3 2 =5x22x2,对其求导 ,求其最大值2x3出证明 .名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学 习 必 备欢 迎 下 载223x1.【解析】 1由题意 ,函数 f x的定义域为0, ,f' x=axx a 0 时 ,x 0,1时,f' x>0,函数 f x单调递增 ,在 x 1, 时,f' x<0,函数 f x单调递减 . a>0 时 ,f' x=a x31x2x2,xaa2 , a时 ,当 0<a<2 时 ,2 >1 ,当 x 0,1 或af' x>0,函数 f x单调递增 ,2 当 x1, a时 ,f' x<0,函数 f x单调递减 .2 a=2 时, a =1 ,x 0, 时 ,f' x0,函数 f x在 0,+上单调递增 . a>2 时,0< 2 a<1,当 x0, 2 a或 x 1, 时 ,f' x>0,函数 f x单调递增 ,当 x2,1 时 ,f' x<0,函数 f x单调递减 . a名师归纳总结 综上 :当 a0 时,函数 f x在 0,1内单调递增,在 1, 内函数f x单调递减 .第 7 页,共 11 页当 0<a<2 时 ,函数 f x在 0,1 和2, a内单调递增,在1,2内函数f x单调递减 .a当 a=2 时,函数 f x在 0, 内单调递增,当 a>2 时,函数 f x在0,2和 1, 内单调递增,在2,1 a内函数f x单调递减 .a2方法一 :由 1知函数f x 在1,2 内递减 ,在 2 ,2 内递增 . 故f xmin=f 2 =2 -ln2 +2 2 21,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学 习 必 备欢 迎 下 载21ln2>1 21-ln2 >0,f' x+352 x2x2.22x3如令 gx=5x22x2,就有 g' x=2 x4x6.2x34 x故存在x0 1,2 使得函数gx在 1,x0递减 ,在 x0,2递增 ,就 gxmax=max g 1 ,g2,而 g1 =3 2,g 2=7 4,所以 gxmax=7 4.由于 f xmin-g xmax=2 -ln2 +2 21-7 4=22 -9 4-1 2ln2>2.82-2.25-22所以 ,f x>f' x+3 2对于任意的x 1,2成立 .0.方法二 :由于 lnx x-1 当且仅当x=1 时等号成立,Gx=12x2152 x2x233x2x22 3x2xx2x323 x3 2x又 f x12x21当且仅当x=1 时等号成立,x即可得f x>f' x+3 2.9. 2022 · 山东高考文科·T20设 f x=xlnx-ax2+2a-1 x,a R.1令 gx =f' x,求 gx 的单调区间.2已知 f x在 x=1 处取得极大值,求实数a 的取值范畴.【解题指南】1 通过二次求导,争论 gx的单调性 .12通过端点分析,找到分界点2 ,再分情形争论.【解析】 1gx=f' x=lnx-2ax+2a,所以 g' x=1 -2a=12ax.xx当 a0,x0, 时 ,g' x>0,函数 gx单调递增 .名师归纳总结 当 a>0,x0,1时 ,g' x>0,函数 gx单调递增,第 8 页,共 11 页2ax1 , 2a时 ,g' x<0,函数 gx单调递减 .综上 :当 a0,函数 gx 单调递增区间为0,+.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 a>0,函数 gx单调递增区间为0,1学 习 必 备欢 迎 下 载1 , 2a.,函数 gx 单调递减区间为2a2由1知 f' 1=0.当 a0,f' x单调递增 ,所以 x 0,1 时 ,f' x<0,f x单调递减 ,x 1, 时 ,f' x>0,f x单调递增 ,所以 f x在 x=1 处取得微小值 ,不合题意 .当 0<a< 1 2, 2a 1 >1 时 ,由 1知 f' x在 0, 2a 1 内单调递增 , 所以 x 0,1时 ,f' x<0,f x单调递减 ,x1, 2a时 ,f' x >0,f x单调递增 , 1所以 f x在 x=1 处取得微小值 ,不合题意 .当 a=1 2, 1 2a =1 时 ,f' x在 0,1 内单调递增 ,在 1,+内单调递减 ,所以 x 0, 时 ,f' x0,f x单调递减 ,不合题意 .当 a>1 2,0<1<1 时 ,x1 ,1 2a,f' x>0,f x单调递增 ,符合题意 .2a当 x 1, 时,f' x<0,f x单调递减 ,所以 f x在 x=1 处取得极大值综上可知a>1.210. 2022 · 四川高考理科·T21设函数f x=ax2-a-lnx,其中 aR.1争论 f x的单调性 .2确定 a 的全部可能取值,使得 f x>1e 1x在区间 1,+ 内恒成立e=2.718 为自然对数的x底数 .【解题指南】1 对 f x 求导 ,对 a 进行争论 ,判定函数的单调性. 2利用导数判定函数的单调性,判定最值 ,证明结论 .名师归纳总结 【解析】 1由题意 , f' x=2ax-12 2ax1,x>0.第 9 页,共 11 页xx a 0 时 ,2ax2-1<0 , f' x<0, f x在0,+上单调递减 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a>0 时,f' x=2ax1x学 习 必 备欢 迎 下 载12a2a,x当 x0, 2a时 ,f' x<0;当 x12a 1 , 时,f' x>0.故 f x在 0, 2a上单调递减 1,在2a 1 , 上单调递增 .2原不等式等价于 f x -1 +e 1-x >0 在 x 1,+ 上恒成立 .x一方面 ,令 gx=f x-1 +e 1-x =ax 2-lnx-1 +e 1-x -a ,x x只需 gx在 x 1,+ 上恒大于 0 即可 .又由于 g1=0,故 g' x在 x=1 处必大于等于 0.令 Fx=g' x=2ax-1x +x 12-e 1-x ,g' 10,可得 a12 .另一方面 ,3当 a12时,F' x=2a+ x 12-x 23 +e 1-x 1+x 12-x 23 +e 1-x = xx x3 2+e 1-x ,由于 x 1,+,故 x 3+x-2>0 ,又 e 1-x >0,故 F' x在 a1 2时恒大于 0.所以当 a1 时 ,Fx在 x 1,+上单调递增 . 所以 Fx>F1=2a-1 0,a1 ,故 g x也在 x 1,+2 2上单调递增 . 所以 gx >g1=0,即 gx在 x 1,+上恒大于 0.综上 ,a1 .211. 2022 · 北京高考理科·T18设函数 f x=xe a-x +bx,曲线 y=f x在点 2,f 2处的切线方程为y=e-1 x+4.1求 a,b 的值 .名师归纳总结 2求 f x 的单调区间.2e e2, 1列方程组求解.第 10 页,共 11 页【解题指南】1 利用f2f'22求导数后 ,再构造新的函数,二次求导 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学 习 必 备2欢 迎 下 载222b2e2,解得 a=2,b=e.【解析】 1f' x=ea-x -xea-x +b,由切线方程可得fa 2ef'2a ebe1.2f x=xe2-x +ex ,f' x=1-x e2-x +e.令 gx=1-x e2-x ,就 g' x=-e2-x - 1-x e2-x =e2-x x-2 .令 g' x=0 得 x=2.当 x<2 时,g' x<0,gx单调递减 ;当 x>2 时,g' x>0,gx单调递增 . 所以 x=2 时 ,gx 取得微小值-1 ,也是最小值.所以 f' x=gx+ee-1>0. 所以 f x的增区间为- ,+,无减区间 .名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页