2022年高考数学课件+训练：专题跟踪检测“导数与函数的零点问题”考法面面观理.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 我告知皇上要雨露均沾专题跟踪检测五“ 导数与函数的零点问题” 考法面面观12022· 全国卷 已知函数 f x 1 3x3a x 2 x1 1 假设 a 3,求 f x 的单调区间；2 证明： f x只有一个零点32解： 1 当 a3 时, f x1 3x33x 2 3x3,3 23,f x x26x3. 令 f x 0,解得 x323或 x 323. 当 x , 323 3 23, 时, f x>0 ；当 x3 23,323 时, f x<0. 故 f x 的单调递增区间为 ,323 ,3 23, ,单调递减区间为3 2 证明：由于x2x1>0,所以 f x 0 等价于x3 x 2x13a0. 设 g x x3 x 2 x13a,2 就 g x xx 2 2x32 0,x2x1仅当 x0 时, g x 0,所以 g x 在 , 上单调递增故 g x 至多有一个零点,从而f x 至多有一个零点1 3>0,又 f 3 a1 6a2 2a1 3 6 a121 6<0,f 3 a1 6故 f x 有一个零点综上, f x 只有一个零点22022· 郑州第一次质量猜测 已知函数 f x ln x1 ax1 a,aR且 a 0.1 争论函数 f x 的单调性；2 当 x1 e,e 时,试判定函数g x ln x 1exxm的零点个数解： 1 f xax 1 ax 2 x>0 ,当 a<0 时, f x>0 恒成立,函数 f x 在0 , 上单调递增；我告知皇上要雨露均沾名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我告知皇上要雨露均沾当 a>0 时,由 f x ax 1 ax 2 >0,得 x>1 a；由 f x ax1 ax 2 <0,得 0<x< 1a,1 1函数 f x 在 a,上单调递增,在 0,a上单调递减综上所述,当 a<0 时,函数 f x 在0 , 上单调递增；1 1 当 a>0 时,函数 f x 在 a,上单调递增,在 0,a上单调递减1 1 2 当 xe,e 时,判定函数 g x ln x 1e xxm的零点,即求当 xe,e 时,方程 ln x 1e xxm的根令 h x ln x1e xx,1 就 h x xln x1 e x1. 1 1 由1 知当 a1 时, f xln xx 1 在 e,1 上单调递减,在 1 ,e 上单调递增,1当 xe,e 时, f x f 1 0. 1 1xln x10 在 xe,e 上恒成立1h x x ln x1 e x10 1>0,1h x ln x1e xx 在 e, e 上单调递增1h x minh 1 e 2e e 1 e, h x maxe. 1 1 1当 m<2e e e或 m>e 时,函数 g x 在 e,e 上没有零点；当 2e 1e 1 e me 时,函数 g x 在 1 e,e 上有一个零点32022· 贵阳模拟 已知函数 f x kxln x 1 k>0 1 假设函数 f x 有且只有一个零点,求实数 k 的值；2 证明：当 nN *时, 11 2 1 3 1 n>ln n1 解： 1 法一： f x kxln x1,f x kxkx1 x>0,k>0 ,我告知皇上要雨露均沾名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我告知皇上要雨露均沾当 0<x<1 k时, f x<0 ；当 x>1 k时, f x>0. 1 1f x 在 0,k上单调递减,在 k,上单调递增1f x minf kln k,f x 有且只有一个零点,ln k0, k1. 法二：由题意知方程 kxln x1 0 仅有一个实根,ln x1由 kxln x10,得 kx x>0 ,ln x1ln x令 g x x x>0 ,g x x 2,当 0<x<1 时, g x>0 ；当 x>1 时, g x<0. g x 在0,1 上单调递增,在 1 , 上单调递减,g xmaxg1 1,当 x时, g x 0,要使 f x 仅有一个零点,就 k1. 法三：函数 f x 有且只有一个零点,即直线 ykx 与曲线 yln x1 相切,设切点为 x0,y0 ,由 yln x1,得 y 1 x,k1 x0,y0kx0,y0ln x01,kx0y0 1,实数 k 的值为 1. 2 证明：由 1 知 xln x10,即 x1ln x,当且仅当x 1 时取等号,nN *,令 xn1 n,得n>ln n1,11 21 3 1 n>ln2 1ln2 ln n1ln n1 ,故 11 21 3 1 n>ln n1 f x ax3 bx2 c 3a2b xd 的图象如下图1 求 c,d 的值；2 假设函数f x 在 x2 处的切线方程为3xy110,求函数f x我告知皇上要雨露均沾名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我告知皇上要雨露均沾的解析式；3 在2 的条件下,函数yf x 与 y1 3f x 5xm的图象有三个不同的交点,求m的取值范畴解：函数 f x 的导函数为 f x3ax 2 2bxc3a2b.1 由图可知函数 f x 的图象过点 0,3 ,且 f 1 0,d3,d3,得 解得3a2bc3a2b0,c0.2 由1 得, f x ax 3bx 23 a2b x3,所以 f x 3ax 22bx3 a2b 由函数 f x 在 x2 处的切线方程为 3xy110,f 25,得f 2 3,8a4b6a4b35,a1,所以 解得12a4b 3a2b 3,b 6,所以 f x x 36x 29x 3. 3 由2 知 f x x 36x 29x3,所以 f x 3x 212x9. 函数 yf x 与 y1 3f x 5xm的图象有三个不同的交点,等价于 x 36x 29x3 x 2 4x3 5xm有三个不等实根,等价于 g x x 37x28xm的图象与 x 轴有三个不同的交点由于 g x 3x 214x83 x2 x4 ,2令 g x 0,得 x3或 x4. 当 x 变化时, g x ,gx 的变化情形如表所示：x ,222 3,444 ,33g x00g x极大值微小值68 27m,g4 16m,g2 3我告知皇上要雨露均沾名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我告知皇上要雨露均沾当且仅当g2 368 27m>0,时, g x 图象与 x 轴有三个交点,g4 16m<068 解得 16<m< 27. 所以 m的取值范畴为 16,68 27 . 520 18· 南宁二中、柳州高中二联 1 争论 f x 的单调性； 已知函数 f x ln xax 22 a x. 2 设 f x 的两个零点是x1,x2,求证： f x1x2<0. 2解： 1 函数 f x ln xax22 a x 的定义域为 0 , ,f x 1 x2ax2 aax1x2x1,当 a0 时, f x>0 ,就 f x在 0 , 上单调递增；当 a>0 时,假设 x 0,1 a,就 f x>0 ,假设 x1 a,就 f x<0 ,就 f x在 0,1 a上单调递增,在1 a,上单调递减2 法一：构造差函数法由1 易知 a>0,且 f x 在 0,1 a上单调递增,在1 a,上单调递减,不妨设1 0<x1< a<x2,2f x1x2<0.x1 x2 2 > 1a. x1x2> 2a,故要证 f x1x22 <0,只需证 x1x2> a即可22构造函数 F x f x f2 ax ,x 0,1 a,2 ax2axax 22F x f x f2 ax f x f x2axax1 2ax2,xx 0,1 a, F x 2ax12>0,x2axF x 在 0,1 a上单调递增,F x< F1 af 1 af 2 a1 a0,我告知皇上要雨露均沾名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我告知皇上要雨露均沾即 f x< fax ,x 0,1 a,1 0<x1< a<x2,又 x1,x2 是函数 f x的两个零点且f x1 f x2< f2 ax1 ,而 x2,2 ax1 均大于1 a, x2>2 ax1,2x1x2> a,得证法二：对数平均不等式法易知 a>0,且 f x 在 0,1 a上单调递增,x1x2 12 > a,在1 a,上单调递减,不妨设 0<x1<1 a<x2,f x1x2<0.x1 x2 2 > 1a. 2由于 f x 的两个零点是x1, x2,所以 ln x1ax2 1 2 a x1ln x2ax2 22 a x2,2 2所以 ln x1ln x22 x1x2 a x 1 x 2 x1 x2,所以 aln x1ln x22 x1x22 2x 1x 2x1x2,以下用分析法证明,要证即证x1x2 22 2x 1x 2 x1 x2> ln x1ln x22 x1 x2,即证x1x2 2x1x21 > ln x1ln x2,2x1x2即证ln x1ln x2 2 x1x22 x1x2< x1x21,只需证2 x1x2<ln x1ln x2 x1x2,即证x1x2 2x1x2 > ln x1ln x2,依据对数平均不等式,该式子成立,所以 f x1x2<0. 2我告知皇上要雨露均沾名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我告知皇上要雨露均沾法三：比值 差值 代换法由于 f x 的两个零点是 x1, x2,不妨设 0<x1<x2,所以 ln x1ax2 1 2 a x1ln x2ax2 22 a x2,1 x2x1所以 a x2 2x1 a2 x2x1 ln x2ln x1,所以ln x2 ln x1 x2 x1a x2 x1 a2,f x 1 x2ax2 a,f x1x22 x1x2a x1 x2 a2 2 x1x2ln x2 ln x1x2 x122x2 x11lnx2 x1,1x2 x1令 t x2 x1 t >1 ,g t 2t 1ln t ,就当 t >1 时,1tg t t 122 <0,tt 1所以 g t 在 1 , 上单调递减,所以当t >1 时,g t < g1 0,所以 f x1x2<0. 262022 届高三· 湘东五校联考已知函数 f x ln xk1 x k R1 当 x>1 时,求 f x 的单调区间和极值；2 假设对任意xe ,e2 ,都有 f x<4ln x 成立,求 k 的取值范畴；3 假设 x1 x2,且 f x1 f x2 ,证明 x1x2<e 2k. 解： 1 f x1 x·xln xk1 ln xk. 当 k0 时,由于 x>1,所以 f x ln xk>0,所以函数 f x 的单调递增区间是1 , ,无单调递减区间,无极值当 k>0 时,令 ln xk0,解得 xek,ek, ,在 1 , 上当 1<x<e k时, f x<0 ；当 x>ek时, f x>0. 所以函数 f x 的单调递减区间是1 ,ek ,单调递增区间是的微小值为f ek kk1ek ek,无极大值2 由题意, f x 4ln x<0,即问题转化为 x4ln 我告知皇上要雨露均沾x k1 x<0 对任意 xe ,e 2 恒成立,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我告知皇上要雨露均沾即 k1> x4x ln x对任意 xe , e 2 恒成立,x4 ln x令 g x x,xe ,e 2 ,4ln x x4就 g x x 2 . 4令 t x 4ln xx4,x e ,e 2 ,就 t x x1>0,所以 t x 在区间 e ,e 2 上单调递增,故 t xmint e 4e4e>0,故 g x>0 ,8所以 g x 在区间 e ,e 2 上单调递增,函数 g xmaxge 2 2e 2. x4 ln x 8要使 k1> x 对任意 xe ,e 2 恒成立,只要 k1>g x max,所以 k1>2e 2,解得 k>18 e 2,8所以实数 k 的取值范畴为 1e 2,. 3 证明：法一：由于 f x1 f x2 ,由 1 知,当 k>0 时,函数 f x 在区间 0 ,e k 上单调递减,在区间 e, 上单调递增,且 f e k1 0. k不妨设 x1<x2,当 x0 时, f x 0,当 x时, f x ,就 0<x1<e k<x2<e k 1,2k 2 ke e要证 x1x2<e 2k,只需证 x2< x1,即证 e k<x2< x1. 由于 f x 在区间 e k, 上单调递增,2ke所以只需证 f x2<f x1,2ke又 f x1 f x2 ,即证 f x1<f x1,2k 2k 2ke e e构造函数 h x f x f xln xk 1 x ln xk1 x,即 h x xln x k1 x e 2k ln x xk1,h x ln x1 k1 e 2k 1 ln xx 2k1 xx 2e 2kln xk x 2,当 x0 ,e k 时, ln xk<0,x 2<e 2k,即 h x>0 ,所以函数 h x 在区间 0 ,e k 上单调递增, h x< he k ,2ke而 he k f e k f e k 0,故 h x<0 ,我告知皇上要雨露均沾名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我告知皇上要雨露均沾所以 f x1< f 2k e x1,即 f x2 f x1< f 2k e x1,所以 x1x2<e 2k 成立法二：要证x1x2<e2k成立,只要证ln x1ln x2<2k. 由于 x1 x2,且 f x1f x2 ,所以 ln x1k1 x1ln x2k1 x2,即 x1ln x1 x2ln x2 k 1 x1x2 ,x1ln x1x2ln x1x2ln x1x2ln x2 k1 x1x2 ,即 x1x2ln x1 x2lnx1 x2 k1 x1x2 ,x1x2<e 2k. k1ln x1x2lnx1 x2x1x2,同理 k1ln x2x1ln x1 x2x1x2,从而 2kln x1ln x2x1 x2ln x2x1x2x1 x1ln x2x1x22,要证 ln x1ln x2<2k,只要证x2lnx1 x2x1x2x1lnx1 x2x1x22>0,不妨设 0<x1<x2,就 0<x1 x2 t <1,即证ln t t 1ln t 11t2>0,即证t 1ln t>2,t 1即证 ln t <2·t 1 t 1对 t 0,1恒成立,设 h t ln t 2·t 1 t 1,当 0<t <1 时,h t 1 t42tt 122>0,t 1t 1所以 h t 在 t 0,1上单调递增, h t < h1 0,得证,所以我告知皇上要雨露均沾名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页