2022年高中数学必修常考题型：不等关系与不等式.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 不等关系与不等式【学问梳理】1不等式的概念 我们用数学符号“ ” 、“ ” 、“ ” 、“ ” 、“ ” 连接两个数或代数式,以表示 它们之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式2比较两个实数 a、b 大小的依据 文字语言 符号表示假如 ab,那么 ab 是正数；假如 ab,那么 ab 是负数；假如 ab,那么 ab 等于 0,反之亦然3不等式的性质 1对称性： a>b. b<a；2传递性： a>b,b>c. a>c；3可加性： a>b. ac>bc. a>b. ab>0 a<b. ab<0 ab. ab0 a>b推论 同向可加性 ：. ac>bd；c>da>b a>b4可乘性：. ac>bc；. ac<bc；c>0 c<0a>b>0推论 同向同正可乘性 ：. ac>bd；c>d>05正数乘方性： a>b>0. a n>b nnN *,n 1；6正数开方性： a>b>0. n a>n bnN *,n2【常考题型】题型一、用不等式组表示不等关系【例 1】某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车, 有 9 名驾驶员 此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂 已知甲型卡车每辆每天可来回 6 次,乙型卡车每辆每天可来回 8 次,写出满意上述全部不等关系的不等式名师归纳总结 第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x y9,10× 6x6× 8y360,解设每天派出甲型卡车x 辆,乙型卡车y 辆由题意得0 x4,0 y7,xN,yN,xy9,即5x4y30,0 x4,0y7,xN,yN.【类题通法】用不等式表示不等关系的方法1仔细审题,设出所求量,并确认所求量满意的不等关系2找出表达不等关系的关键词：“ 至少 ” “至多 ” “不少于 ” “不多于 ” “超过 ” “不超过” 等用代数式表示相应各量,并用关键词连接 特殊需要考虑的是“ ” “ ”中的 “ ”能否取到【对点训练】1用不等式 组表示以下问题中的不等关系：1限速 80 km/h 的路标；2桥头上限重10 吨的标志；f 应不多于2.5%,蛋白质的含量p 不少于3某酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量2.3%. 解： 1设汽车行驶的速度为 v km/h ,就 v80. 2设汽车的重量为 吨,就 10. 3f2.5%,p2.3%.题型二、比较两数式的大小名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】比较以下各组中两个代数式的大小：1x 23 与 2x；2已知 a,b 为正数,且a b,比较 a3b3与 a2bab2 的大小解1 x232xx2 2x3 x1 2220,x232x. 2 a3b3a2bab2a3b3a2bab2 a2a bb 2ababa 2b2 ab2ab,a0,b0,且 a b,ab2 0,ab0. a3 b3a2bab20,即 a3b3a2bab2. 【类题通法】比较两个代数式大小的步骤1作差：对要比较大小的两个数 或式子 作差；2变形：对差进行变形；3判定差的符号：结合变形的结果及题设条件判定差的符号；4作出结论这种比较大小的方法通常称为作差比较法其思维过程：作差 其中变形是判定符号的前提【对点训练】2比较 x36x 与 x2 6 的大小解： x36xx26 x3 x2 6x6 变形 判定符号 结论,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - x2x1 6x1 x 1x26 x260. 当x1 时, x1x260,即 x36xx26. 当 x1 时, x1x260,即 x36xx26. 当 x1 时, x1x260,即 x36xx26. 题型三、不等式的性质【例 3】已知 ab0,cd0,e0,求证：ee bd. ac证明 cd 0,c d0,又ab 0,acb d0,即 acbd0,011,bdac又e0,eace. bd【类题通法】利用不等式的性质证明不等式留意事项 1 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题肯定要在懂得的基础上,记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷精确地加以应用名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2应用不等式的性质进行推导时,应留意紧扣不等式的性质成立的条件,且不行省略条件或跳步推导,更不能随便构造性质与法就 . 【对点训练】3已知 ab,mn,p 0,求证： napmbp. 证明： ab,又 p0,apbp. ap bp,又 mn,即 nm. napmbp. 【练习反馈】1完成一项装修工程,请木工共需付工资每人 500 无,请瓦工共需付工资每人 400 元,现有工人工资预算 20 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,就工人满意的关系式是 A5x 4y200 B5x4y200 C5x 4y200 D5x4y200 解析： 选 D 据题意知, 500x400y20 000,即 5x4y200,应选 D. 2假设 x 2 且 y 1,就 Mx2y24x2y 的值与 5 的大小关系是 AM 5 BM 5 CM 5 DM 5 解析： 选 A M5x2y24x2y 5 x 22y12,x 2, y 1,x22 0,y120,因此 x22y120. 故 M 5. 3假如 ab,那么 c2a 与 c2b 中较大的是 _解析： c 2ac2b2b2a2ba0. 答案： c 2b4假设 10a b8,就 |a|b 的取值范畴是 _解析： 10a 8,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0|a|10,又 10b8,10|a|b18. 答案： 10,18 51已知 x1,比较 3x3 与 3x2x1 的大小；2假设 1a b0,试比较 a,1 b,a2,b2的大小解： 13x33x2 x13x33x2x1 3x2x1x1x13x21x1,x10. 又 3x210,x13x210,3x33x2x1. 21ab0,a b0,a2b20. ab0,名师归纳总结 a·1 abb· 1 ab 0,第 6 页,共 6 页即 01 a1 b,a2b21 a1 b. - - - - - - -