2022年高考理科全国卷数学2.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2022 年一般高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 4 页, 23 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟；留意事项：1答卷前,考生务必将自己的姓名、 考生号、考场号和座位号填写在答题卡上；用 2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡的相应位置上；2作答挑选题时,选出每道题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其它答案；答案不能答在试卷上；3非挑选题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原先的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液；不按以上要求作答无效；4考生必需保证答题卡的洁净；考试终止后,将试卷和答题卡一并交回；一、挑选题：此题共 12 小题,每道题 5 分,共 60 分；在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的；1.已知集合M3x4x2,Nx x2x60,就 MxN =D. A. x4xB. x4x2C. x22x2x3【答案】 C 【解析】【分析】此题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养实行数轴法, 利用数形结合的思想解题【详解】由题意得,M x 4 x 2 , N x 2 x 3,就M N x 2 x 2应选 C【点睛】不能领悟交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2.设复数 z 满意zi=1,z 在复平面内对应的点为x, y,就A. x+1 2y21B. x2 1y21C. x2y121D. x212 +1【答案】 C 【解析】【分析】此题考点为复数的运算,为基础题目,难度偏易此题可采纳几何法,依据点（x,y）和点0,1之间的距离为 1,可选正确答案 C【详解】z x yi z i x y 1 , z i x 2 y 1 21, 就 x 2 y 1 21应选 C【点睛】 此题考查复数的几何意义和模的运算,渗透了直观想象和数学运算素养实行公式法或几何法,利用方程思想解题3.已知alog 0.2,b20.2,c0.20.3,就A. abcB. acbC. cabD. bca【答案】 B 【解析】【分析】运用中间量 0 比较 a c ,运用中间量 1比较 b c【详 解】a log 0.2 log 1 0, b 2 0.22 01, 0 0.2 0.30.2 01, 就0 c 1, a c b 应选 B【点睛】 此题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养实行中间变量法,利用转化与化归思想解题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（5 1 0.618,称为黄金分割比例 ,闻名的“ 断臂维纳斯” 便是如此此外,最美人体2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1如某人满意上述两个黄金分割2比例,且腿长为 105cm,头顶至脖子下端的长度为 26 cm,就其身高可能是A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm【答案】 B 【解析】【分析】懂得黄金分割比例的含义,应用比例式列方程求解【 详 解 】 设 人 体 脖 子 下 端 至 腿 根 的 长 为 x cm , 肚 脐 至 腿 根 的 长 为 y cm , 就26 26 x 5 1,得 x 42.07 cm y 5.15 cm 又其腿长为 105cm,头顶至脖子下x y 105 2端的长度为 26cm,所以其身高约为 4207+515+105+26=178 22,接近 175cm应选 B【点睛】此题考查类比归纳与合情推理,渗透了规律推理和数学运算素养实行类比法,利用转化思想解题5.函数 fx=sinxx在, 的图像大致为cosxx2A. B. 第 3 页,共 26 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -C. D. 【答案】 D 【解析】【分析】先判定函数的奇偶性,得f x 是奇函数,排除A,再留意到选项的区分,利用特别值得正确答案【详解】由fxsinxx2sinxxf x ,得f x 是奇函数,其图象关cosx x2cosxx2于原点对称又f21241,f 120应选 D222【点睛】此题考查函数的性质与图象,渗透了规律推理、质法或赋值法,利用数形结合思想解题直观想象和数学运算素养实行性6.我国古代典籍周易用“ 卦” 描述万物的变化每一“ 重卦” 由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为阳爻“ ” 和阴爻“ ” ,如图就是一重卦在全部重卦中随机取一重卦,就该重卦恰有 3 个阳爻的概率是A. 5 B. 11 C. 21 D. 1116 32 32 16【答案】 A 【解析】【分析】此题主要考查利用两个计数原理与排列组合运算古典概型问题,渗透了传统文化、 数学运算 第 4 页,共 26 页 - - - - - - - - - 等数学素养, “ 重卦” 中每一爻有两种情形,基本领件运算是住店问题,该重卦恰有3 个阳细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -爻是相同元素的排列问题,利用直接法即可运算【详解】由题知,每一爻有 2 中情形,一重卦的 6 爻有 2情形,其中 6 6 爻中恰有 3 个阳爻3情形有 C ,所以该重卦恰有 33 个阳爻的概率为 C6 6 =5,应选 A2 16【点睛】 对利用排列组合运算古典概型问题,第一要分析元素是否可重复,其次要分析是排列问题仍是组合问题此题是重复元素的排列问题,所以基本领件的运算是“ 住店” 问题,满意条件大事的运算是相同元素的排列问题即为组合问题7.已知非零向量a,b 满意a = 2 b ,且（a b）b,就 a 与 b 的夹角为A. B. C. 2 3D. 5 663【答案】 B 【解析】【分析】此题主要考查利用平面对量数量积数量积运算向量长度、夹角与垂直问题, 渗透了转化与化归、数学运算等数学素养先由 a b b 得出向量 a b 的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可运算出向量夹角【详解】由于abb ,所以abba bb2=0 ,所以a bb ,所以 cos=a b|b2 |1,所以 a 与 b 的夹角为3,应选 B2 |b2 |在利用向量夹角公式ab2【点睛】 对向量夹角的运算,先运算出向量的数量积及各个向量的摸,求出夹角的余弦值,再求出夹角,留意向量夹角范畴为0, 18.如图是求2211的程序框图,图中空白框中应填入 第 5 页,共 26 页 细心整理归纳 精选学习资料 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A. A=21AB. A=21C. A=11D. A=A2A11 2A【答案】 A 【解析】【分析】此题主要考查算法中的程序框图,渗透阅读、 分析与解决问题等素养,仔细分析式子结构特征与程序框图结构,即可找出作出挑选【详解】执行第1 次,A1 , 2k12是,由于第一次应当运算211=21A,kk121=2,循环,执行第 2 次,k22,是,由于其次次应当运算211=21A,kk122=3,循环,执行第3 次,k22,否,输出,故循环体为A1A,应选 A2【点睛】秒杀速解仔细观看运算式子的结构特点,可知循环体为21AA9.记S 为等差数列an的前 n 项和已知S 40,a55,就A. an2n5B. an3n10C. S n2n28nD. 第 6 页,共 26 页 S n1n22 n2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【答案】 A 【解析】【分析】等 差 数 列 通 项 公 式 与 前n 项 和 公 式 本 题 仍 可 用 排 除 , 对B ,a55,S 44 72100,排除 B,对 C,S 40,a 5S 5S 42528 501052排除 C对 D,S 40,a5S 5S 41522 5055,排除 D,应选 A 22【详解】由题知,S 44a 14d430,解得a 123,an2n5,应选 A2a 5a 15dd【点睛】此题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学运算等素养利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,在适当运算即可做了判定10. 已知椭圆 C 的焦点为F 1 1,0 ,F 2 1,0 ,过 F2的直线与 C 交于 A, B 两点 .如AF22F B ,AB BF ,就 C 的方程为C. x2y21D. A. x2y21B. x2y2123243x2y2154【答案】 B 【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图,由已知可设F Bn ,就AF 22 ,BF 1AB3 n , 第 7 页,共 26 页 - - - - - - - - - 由椭圆的定义有2 aBF 1BF 24 ,AF 12 aAF 22 n 在AF F 2和BF F2中,由 余 弦 定 理 得2 4 n442 2 n2 cosAF F 2 1942 n, 又AF F 1,BF F 互 补 ,2 n2n2 cosBF F 12 ncosAF F 1cosBF F 10,两式消去cosAF F 1,cosBF F 1,得3n262 11 n ,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解得n32a4n2 3 ,a3 ,b2a2c2312 ,所求椭圆方程为2x2y21,应选 B9F Bn ,就AF 22 ,BF 1AB3 n ,由椭圆的定义有,32【详解】如图,由已知可设2 aBF 1BF 24 ,AF 12 aAF 22 n 在AF B中 , 由 余 弦 定 理 推 论 得cosF AB4n29n232 n1在AF F2中,由余弦定理得42 n42 n2 2n2n1432 2nn3解得n33 ,b2a2c23 12 ,所求椭圆方程为x2y21,22 a4n2 3 ,a32应选 B【点睛】此题考查椭圆标准方程及其简洁性质,很好的落实了直观想象、规律推理等数学素养考查数形结合思想、 转化与化归的才能,11. 关于函数f x sin |x| sinx 有下述四个结论：fx是偶函数fx在区间（2,）单调递增fx在 , 有 4 个零点 fx的最大值为2其中全部正确结论的编号是A. B. C. D. 【答案】 C 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】【分析】化简函数 f x sin x sin x ,讨论它的性质从而得出正确答案【详解】Q f x sin x sin x sin x sin x f x , f x 为偶函数,故正确当 x 时,f x 2sin x,它在区间 , 单调递减,故错误当 0 x2 2时,f x 2sin x,它 有 两 个 零 点：0；当 x 0 时,f x sin x sin x 2sin x ,它有一个零点：,故 f x 在 , 有 3 个零点：0, 故 错 误 当 x 2 k , 2 k k N 时 ,f x 2sin x ； 当x 2 k , 2 k 2 k N 时 ,f x sin x sin x 0, 又f x 为 偶 函 数 ,f x 的最大值为 2,故正确综上所述, 正确,应选 C【点睛】画出函数 f x sin x sin x 的图象,由图象可得正确,应选 C12. 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上, PA=PB=PC, ABC 是边长为 2 的正三角形, E, F 分别是 PA, PB 的中点, CEF=90° ,就球 O 的体积为A. 8 6B. 4 6C. 2 6D. 6【答案】 D 【解析】【分析】先证得 PB平面 PAC ,再求得PAPBPC. 2,从而得 PABC 为正方体一部分, 第 9 页,共 26 页 进而知正方体的体对角线即为球直径,从而得解细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【详解】 解法一 : QPAPBPC,ABC为边长为 2 的等边三角形,PABC 为正三棱锥,PBAC ,又 E , F 分别为 PA、 AB 中点,IAC4C,EF平面 PAC , PBEF/ /PB ,EFAC ,又 EFCE ,CE平面 PAC ,PABPAPBPC2,PABC 为正方体一部分,2R2226,即R6,V4R36 66,应选 D2338解法二 :设PAPBPC2 x ,E F 分别为PA AB 中点,细心整理归纳 精选学习资料 EF/ /PB ,且EF1 2PBx ,QABC为边长为 2 的等边三角形,QPAPC, 第 10 页,共 26 页 CF3又CEFCE3x2,AE1PAx902AEC 中余弦定理cosEACx2432 x,作 PDAC 于 D ,2 2x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -QD为 AC 中点,cosEACAD1,x243x21,PA2x4x2x2x212x21x2,PAPBPC2,又AB BC AC=2,得到22PA,PB,PC 两两垂直,2R2226,R6,2V4R346 66,应选 D. 338【点睛】此题考查同学空间想象才能,补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理,三棱两两相互垂直关系,快速得到侧棱长,进而补体成正方体解决二、填空题：此题共 4 小题,每道题 5 分,共 20 分；13. 曲线yx3x20xex在点0,0处的切线方程为_【答案】 3y.【解析】【分析】此题依据导数的几何意义,通过求导数, 确定得到切线的斜率,利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：y/32x1 ex3x2x ex3x23x1 ex,二导致计所以,ky/|x03所以,曲线y3x2xex在点0,0处的切线方程为y3 x ,即 3xy0【点睛】 精确求导数是进一步运算的基础,此题易由于导数的运算法就把握不熟,算错误求导要“ 慢” ,运算要准,是解答此类问题的基本要求14. 记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和如a 11,a2a6,就 S5=_34【答案】121 3.【解析】细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【分析】此题依据已知条件,列出关于等比数列公比q 的方程, 应用等比数列的求和公式,运算得到S 题目的难度不大,留意了基础学问、基本运算才能的考查【详解】设等比数列的公比为q ,由已知a 11 , 3a 42a ,所以1q321q5,又q0,33所以q3,所以S 5a 11q 511 3 31211q133【点睛】精确运算,是解答此类问题基本要求此题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式运算,部分考生易显现运算错误精确运算的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -16. 已知双曲线C：x2y21 a0, b0的左、右焦点分别为F1,F2,过 F 1 的直线与 C 的a2b2两条渐近线分别交于A,B 两点如uuur F Auuur ABuuur uuur, 1 F B F B0,就 C的离心率为 _【答案】 2. 【解析】【分析】通过向量关系得到1F AAB 和OAF A ,得到AOBAOF ,结合双曲线的渐近线可得BOF2AOF1,BOF2AOF1BOA0 60 ,从而由btan6003可求a离心率 . 【详解】如图,由uuur F Auuur AB ,得F AAB 又OF1OF2,得 OA是三角形F F B 的中位线,即BF 2/ /OA BF22OA 由uuur uuuur F B F B0,得F BF B OAF A 就OBOF 有AOBAOF ,AOBAOF 1,得又 OA与 OB都是渐近线,得BOF2AOF1,又BOF2BOF2AOF 1BOA0 60 ,又渐近线 OB的斜率为btan6003,所以该双曲a线的离心率为ec1b21322aa【点睛】 此题考查平面对量结合双曲线的渐进线和离心率,学运算素养实行几何法,利用数形结合思想解题渗透了规律推理、 直观想象和数三、解答题：共70 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；第1721 第 13 页,共 26 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -题为必考题,每个试题考生都必需作答；第 作答；（一）必考题：共 60 分；22、23 题为选考题,考生依据要求17. V ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,设sinBsinC2sin2AsinBsinC （1）求 A；（2）如2 ab2 c,求 sinC642. 【答案】（1 ）A3；（ 2）sinC【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b2c2a2bc ,从而可整理出cosA , 第 14 页,共 26 页 - - - - - - - - - 依据A0,可求得结果； （ 2）利用正弦定理可得2 sinAsinB2sinC,利用sinBsinAC 、两角和差正弦公式可得关于sinC 和 cosC 的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 【详解】（1 ）sinBsinC2sin2B2sinBsinCsin2Csin2AsinBsinC即：sin2Bsin2Csin2AsinBsinC由正弦定理可得：2 bc2a2bccosAb2c2a212 bc2QA0,A=3（2 ）Q2ab2c,由正弦定理得：2 sinAsinB2sinC又 sinBsinACsinAcos CcosAsinC ,A3233cos C1sinC2sinC222整理可得： 3sin C63cos C细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Qsin2Ccos2C13sinC623 1 sin2C解得：sinC642或642. 因sinB2sinC2 sinA2sinC60所以sinC6,故sinC64224（2 ）法二：Q2ab2c,由正弦定理得：2 sinAsinB2sinC又 sinBsinACsinAcos CcosAsinC ,A3233cos C1sinC2sinC222整理可得： 3sin C63cos C,即 3sinC3cos C2 3 sinC66sinC622由C0,2,C66,2,所以C64,C463sinCsin46642. 【点睛】此题考查利用正弦定理、余弦定懂得三角形的问题,涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系. 18. 如图, 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形, AA1=4,AB=2, BAD=60° ,E,M,N 分别是 BC,BB1, A1D 的中点细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）证明： MN 平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA 1-N 的正弦值【答案】（1 ）见解析；（2 ）10. 5【解析】【分析】（1 ）利用三角形中位线和 AD BC可证得 ME / / ND ,证得四边形 MNDE 为平行四边形,进而证得 MN / / DE,依据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形 ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系,通过取 AB中点F,可证得DF 平面 AMA ,得到平面AMA 的法向量 DF uuur ；再通过向量法求得平面MAN 的法向量 nr,利用向量夹角公式求得 1两个法向量夹角的余弦值,进而可求得所求二面角的正弦值 . 【详解】（1 ）连接 ME ,B CQ M, E 分别为 BB , BC 中点 ME为 B BC 的中位线ME/ /BC且ME1B C1B C 第 16 页,共 26 页 2又 N 为A D 中点,且AD BCND/ /BC 且ND2ME ND四边形 MNDE 为平行四边形MN/ /DE ,又 MN平面C DE , DE ì 平面C DEMN/ /平面C DE细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2 ）设 ACIBDO,AC1IB D 1O 1由直四棱柱性质可知：OO 1 平面 ABCDQ 四边形 ABCD 为菱形ACBD就以 O 为原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系：就：A3,0,0,M0,1,2,A 13,0, 4,D（0,-1,0 ）N3,1,222取 AB 中点 F ,连接 DF ,就F3 1 ,2 2,0 第 17 页,共 26 页 - - - - - - - - - Q 四边形 ABCD 为菱形且BAD60oBAD为等边三角形DFAB又AA 1平面 ABCD, DF平面 ABCDDFAADF平面ABB A ,即 DF平面AMA 1uuur DF为平面AMA1一个法向量,且uuur DF3 3 ,2 2,0设平面 MAN 的法向量 r uuuur uuuur 3 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5的 r uuuuvn MA 1 3 x yn MN r uuuu