2022年重庆理工大学高数考试试题卷参考试卷 .pdf

- 1 - 重庆理工大学考试试题卷20082009学年第二学期班级学号姓名考试科目高等数学 2（机电）A 卷闭卷共2 页 密 封 线 学生答题不得超过此线一、单项选择题（本大题共10 小题 ，每小题 2 分，共 20 分） 。在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 。1. 微分方程xydyedx的通解是（）A、yxeeC B、yxeeC C、yxeeC D、yxeeC2. 函数2uxy z在点(1,1,2)处沿l（）的方向导数最大A.(2, 4,1)B. (4,2,1)C. (2,4,1)D. ( 2,4,1)3. zxyze，则zzxy（）A. 2 B. 1C. 0 D. 2 4.原点到平面326140 xyz的距离d( )A. 14B. 17C. 7D. 25. 曲线212xyzy在xoz面上的投影曲线为( ) A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 点6. 若级数1nnu收敛(0,1,2,)nun，则级数11nnu（）A、收敛 B、发散 C、收敛且1111nnnnuu D、可能收敛可能发散7. L是抛物线2yx上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则曲线积分Lxdy为（）A、1/2 B、3/2 C、2/3 D、1 8. D为环形域：22222221214,DDxyIxydIxyd，则（）A11/ 2IB21IC12IID. 12II9. 设是平面4xyz被柱面221xy截出的有限部分，则yds（）A、 B、0 C、4 3 D、43310. 设( )f x是周期为2的周期函数，它在,上的表达式为( )f xx，则( )f x展开成傅里叶级数，其系数nb（）A、4n B、2n C、204nnn为偶数为奇数 D、0题号一二三四五总分总分人分数得分评卷人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 2 - 重庆理工大学考试试题卷20082009学年第二学期班级学号姓名考试科目高等数学 2（机电）A 卷闭卷共2 页 密 封 线 学生答题不得超过此线二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。11.函数2xzy当2,1xy时的全微分dz_. 12.极限( ,)(2,0)sin()limx yxyy.13.),(22xyyxfz，则xz_. 14.设2sinzyx，则2zx y_. 15交换积分次序1303( , )ydyf x y dx_ 16. 设345aijk，22bijk，则a与b之间的夹角为_17. (2,3)22 (1,1)xy dxx ydy_. 18.函数1( )4f xx展开成x的幂级数为( )f x_19 幂级数113nnnxn的收敛半径是 _. 20 若过曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210 xyz，则点P的坐标为_三、求解下列各题（本大题共6 小题，每小题8 分，共 48 分） 。得分评卷人21过点(2,1, 1)A作平面2390 xyz的垂线，求该直线的方程及垂足的坐标。. 22. 求函数zyxu22在条件1222zyx下可能的极值点。23计算(24)(536)Lxydxyxdy，其中L为圆周122yx，取逆时针方向。24.求()()(),xy dydzyz dzdxxyz dxdy其中是介于0,1zz之间的圆柱体229xy的整个表面的外侧。. 25. 求22xy dv，其中是由1z和22yxz围成的区域。26. 求微分方程234yyyx的通解。四、应用题（本题6 分）得分评卷人27. 设平面薄片所占的闭区域D由直线2,xyyx和x轴所围成，它的面密度xy，求该薄片的质量。五、证明题 （6 分）28.用级数收敛的必要条件证明：40!limnnn得分评卷人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 3 - 高等数学 2（机电）（A 卷）参考答案与评分标准一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 。A A C D A, B C D B D 二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）11. 44dxdy12. 213. 122xfyf14. 2 cosyx15. 3300( , )xdxf x y dy16. 417. 35218. 10( 44)4nnnxx19. 320. (1,1,2)三、求解下列各题（本大题共6 小题，每小题8 分，共 48 分）21. 解：直线方程为211213xyz（4 分）即参数方程为22113xtytzt代入平面方程得：12t（6 分）故垂足为3 1(3,)2 2（8 分）22.解：拉格朗日函数为22222(1)Lxyzxyz（3 分）122222xyzLxLyLz（5 分）解方程组2221202202201xyzxyz得：13322323xyz（7 分）故可能的极值点是1 2 2(,)3 3 3及122(,)333（8 分）23.解：24,536PxyQyx（2 分）原式DQ=()44DPddxy（8 分）24.解：,Pxy Qyz Rxyz（3 分）原式=()327PQRdvdvxyz（8 分）25.解：原式22112200=dd dzdddz（6 分）415（8 分）26.解：特征方程为：2230rr123,1rr所以230yyy的通解为312xxYC eC e（4 分）设特解为*yaxb（6 分）代入原方程求得：48,39ab故通解为3124839xxyC eC ex（8 分）四、应用题（本题6 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 4 - 27.解：12013yyDMxyddyxydx（6 分）五、证明题（6 分）28、证明：对正项级数14!nnn114!limlim01(1)! 4nnnnnnanan（4 分）所以14!nnn收敛故：40!limnnn（6分）重庆理工大学考试试题卷20102011学年第二学期班级学号姓名考试科目高等数学 机电（ 2）A 卷闭卷共2 页 密 封 线 学生答题不得超过此线注意： 1、本试卷分为试题卷和答题卷两部分；2、请把试题答案写在答题卷上；3、交卷时，把试题卷和答题卷分开交。一、单项选择题（本大题共8 小题 ，每小题 2 分，共 16 分） 。在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。（1）微分方程dyxdxyxy2)(为（） 。A、一阶线性微分方程 B、齐次微分方程 C、可分离变量微分方程 D、二阶线性微分方程（2）曲线04yxz绕z轴旋转所形成的旋转曲面方程是（） 。A、16)(222zyx B、8)(22zyx C、16)(222zyx D、822zyx（3）函数2xyzu在点)1,1, 1(处沿 l（）的方向导数最大。A、)2,1 ,1( B、)2, 1 , 1( C、)2, 1 , 1( D、)2, 1, 1(（4）函数xyZ，则在点（ 2，1）处，当02.0,01. 0yx时，函数的全微分dZ（） 。A、xdyydx B、0.03 C、0.04 D、0.05（5）设D由222ayx所围成，则dxdyyxD)(22（） 。A、dada2002 B、dda2002 C、dda2002 D、adada2002（6）设L是圆域xyxD2:22的正向圆周，则dyyxdxyxL)()(22（） 。A、2 B、 0 C、23 D. 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 5 - （7）若级数1nna收敛，则下列结论不成立的是（） 。A、0limnna B、1nna收敛 C、13nna收敛 D、)(2112nnnaa收敛（8）下列级数中绝对收敛的是（） 。A、11)1(21nnn B、12) 1(221nnnn C、11) 1(1nnn D、)11()1(21nnnn重庆理工大学考试试题卷20102011学年第二学期班级学号姓名考试科目高等数学 机电（ 2）A 卷闭卷共2 页 密 封 线 学生答题不得超过此线二、 填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。（9）微分方程xyy2的通解是y。（10）设)5, 4, 3(, )2, 1 ,2(ba，则ajbPr= 。（11）点)1 ,2,2(到平面0322zyx的距离是。（12）xxyyx)sin(lim)2,0(),(= 。（13） 交换积分次序212),(ydxyxfdy= 。（14）设曲线,:222RyxL则SLdyx)(22。（15）球面14222zyx在点)3,2,1 (处的切平面方程为。（16）设22xz,则xyz。（17）级数1nnu的n项部分和为12322nnnSn，则nnulim。（18）x21的麦克劳林展开式为x21= 。三、求解下列各题（本大题共6 小题，每小题8 分，共 48 分） 。（19） 求微分方程xyxxycos的通解。（20）求微分方程xeyy2的通解。（21）求过点)1,2 ,0(P且与平面0532zyx及032zyx都垂直的平面方程。（22）),ln(2yxyxfz，求yzxz,。（23）求zdxdydz，其中是由22xz1yz和围成的区域。（24）求dxdyzyxdzdyxzdydzyx)()2()35(2，是界于0z和2z之间的圆柱体922yx的整个表面的外侧。（25）判别级数123nnn的收敛性。（26）求幂级数nxnnn1)1(的和函数及收敛域。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 6 - 四、应用题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）（ 27）求点)8 ,2(到抛物线xy42的最短距离。（ 28）设平面薄片所占的闭区域D由直线2yx及两坐标轴围成，它的面密度yx23，求该薄片的质量。五、证明题 （6 分）（29）证明曲线积分dyyxxydxxyyxI)sincos2()sincos2(2)3,2()0,0(2与路径无关，并计算积分值。高等数学下模拟试卷一一、单项选择题（本大题共10 小题 ，每小题 2 分，共 20 分） 。在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 微分方程xydyedx的通解是（）A、yxeeC B、yxeeC C、yxeeC D、yxeeC2. 函数2uxy z在点(1,1,2)处沿l（）的方向导数最大A.(2, 4,1)B. (4, 2,1)C. (2,4,1)D. ( 2,4,1)3. zxyze，则zzxy（）A. 2 B. 1C. 0 D. 2 4.原点到平面326140 xyz的距离d( )A. 14B. 17C. 7D. 25. 曲线212xyzy在xoz面上的投影曲线为( ) A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 点6. 若级数1nnu收敛(0,1,2,)nun，则级数11nnu（）A、收敛 B、发散 C、收敛且1111nnnnuu D、可能收敛可能发散7. L是抛物线2yx上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则曲线积分Lxdy为（）A、1/2 B、 3/2 C、2/3 D、1 8. D为环形域：22222221214,DDxyIxydIxyd，则（）A11/ 2IB21IC12IID. 12II9. 设是平面4xyz被柱面221xy截出的有限部分，则yds（）A、 B、0 C、4 3 D、43310. 设()fx是周期为2的周期函数，它在,上的表达式为( )f xx，则( )f x展开成傅里叶级数，其系数nb（）A、4n B、2n C、204nnn为偶数为奇数 D、0二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 7 - 11.函数2xzy当2,1xy时的全微分dz_. 12.极限( , )(2,0)sin()limx yxyy.13.),(22xyyxfz，则xz_. 14.设2sinzyx，则2zx y_. 15交换积分次序1303( , )ydyf x y dx_ 16. 设345aijk，22bijk，则a与b之间的夹角为_17. (2,3)22 (1,1)xy dxx ydy_. 18.函数1( )4f xx展开成x的幂级数为( )f x_19幂级数113nnnxn的收敛半径是 _. 20若过曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210 xyz，则点P的坐标为_三、求解下列各题（本大题共6 小题，每小题8 分，共 48 分） 。21过点(2,1, 1)A作平面2390 xyz的垂线，求该直线的方程及垂足的坐标。. 22. 求函数zyxu22在条件1222zyx下可能的极值点。23计算(24)(536)Lxydxyxdy，其中L为圆周122yx，取逆时针方向。24.求()()(),xy dydzyz dzdxxyz dxdy其中是介于0,1zz之间的圆柱体229xy的整个表面的外侧。. 25. 求22xy dv，其中是由1z和22yxz围成的区域。26. 求微分方程234yyyx的通解。四、应用题（本题6 分）27. 设平面薄片所占的闭区域D由直线2,xyyx和x轴所围成，它的面密度xy，求该薄片的质量。五、证明题 （6 分）28.用级数收敛的必要条件证明：40!limnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 8 - 参考答案与评分标准一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 。A A C D A, B C D B D 二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）11. 44dxdy12. 213. 122xfyf14. 2 cosyx15. 3300( , )xdxf x y dy16. 417. 35218. 10( 44)4nnnxx19. 320. (1,1,2)三、求解下列各题（本大题共6 小题，每小题8 分，共 48 分）21. 解：直线方程为211213xyz（4 分）即参数方程为22113xtytzt代入平面方程得：12t（6 分）故垂足为3 1(3,)2 2（8 分）22.解：拉格朗日函数为22222(1)Lxyzxyz（3 分）122222xyzLxLyLz（5 分）解方程组2221202202201xyzxyz得：13322323xyz（7 分）故可能的极值点是1 2 2(,)3 3 3及122(,)333（8 分）23.解：24,536PxyQyx（2 分）原式DQ=()44DPddxy（8 分）24.解：,Pxy Qyz Rxyz（3 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 9 - 原式=()327PQRdvdvxyz（8 分）25.解：原式22112200=dd dzdddz（6 分）415（8 分）26.解：特征方程为：2230rr123,1rr所以230yyy的通解为312xxYC eC e（4 分）设特解为*yaxb（6 分）代入原方程求得：48,39ab故通解为3124839xxyC eC ex（8 分）四、应用题（本题6 分）27.解：12013yyDMxyddyxydx（6 分）五、证明题（6 分）28、证明：对正项级数14!nnn114!limlim01(1)! 4nnnnnnanan（4 分）所以14!nnn收敛故：40!limnnn（6分）高等数学下模拟试卷二一、单项选择题（本大题共10 小题 ，每小题 2 分，共 20 分） 。1. 微分方程sincoscos sinxydxxydy的通解是（）A、sinsinyCx B、sincosyCx C、coscosyCx D、cossinyCx2. 函数( , , )sin2zyf x y zxye，d(1,0,0)graf（）A.3(1,0)2B. (1,1,0)C. (1,0,1)D. 3(1,1)23. 函数22( , )2(3 )f x yxyxy的极值为（）A、极大值 B、极小值 C、既有极大值又有极小值 D、无极值4.已知向量a的方向角为,若2, 43，则（）A、3或23 B、3 C、23 D、25. ( , )xfx y，( , )yfx y在00(,)xy处均存在是),(yxf在点00(,)xy可微分的（）条件。A、充分 B、必要 C、充分必要 D、既不充分也不必要名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 10 - 6.如果1nna收敛，且nS为其前n项和，则有（）A、1nnnSa B、lim0nna C、1limnnnnaS D、limnnS7. L是抛物线2xy上从点(1, 1)到点(1,1)的一段弧，则曲线积分2Lx ds为（）A、120 x dxB、120114xdxxC、141y dyD、142114yy dy8. 平面区域D为圆域：222xyR，则22Dxy d（）A、DRdB、200RddC、2200RddD、2200RdR d9. 设是球面2222xyza，则ds（）A、343a B、24 a C、0 D、2a10.已知( )f x是周期为2的周期函数，在,上的表达式为00( )10 xf xx，( )f x的傅里叶级数在x处收敛于（）A、0 B、 C、1 D、12二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）11. 函数xzxyy全微分dz_12. 设是圆柱面222xya介于0,1zz之间的外侧，则22()xydxdy13.2(,)xzfxyy，则xz_. 14. xoz面上的曲线21xz绕oz轴旋转而成的曲面的方程是_15交换积分次序221( ,)ydyf x y dx_ 16. 连接点(2, 1, 1)P、(1,2,3)Q的直线其方程为_ 17. 设32331zx yxyxy，则2zx y_ 18.函数2( )xf xe展开成x的幂级数为( )f x_19幂级数1( 1)nnnxn的收敛半径是 _. 20曲线23,xt ytzt在点P处的切线平行于平面230 xy，则点P的坐标为_三、求解下列各题（本大题共6 小题，每小题8 分，共 48 分） 。21设向量设(2,1,2),(3,4,5)ab，求以,a b为邻边的三角形的面积。. 22. 设方程0zexyz确定z是,x y的函数，求,zzxy。23计算()(32 )Lyx dxxy dy，其中L为圆周22(1)(2)9xy，取逆时针方向。24. 求22xzdydzy dzdxyzdxdy，其中是平面0,0,0,1,1,1xyzxyz所围成的立方体的整个表面的外侧。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 11 - 25. 利用柱面坐标计算zdv，其中为上半球体2221,0 xyzz。26. 求微分方程22xyye的通解。四、应用题（本题6 分）27. 设平面均匀薄片所占的闭区域D由曲线2,1yxy所围成，求该薄片的质心。五、证明题（6 分）28.证明：11( 1)nnn条件收敛。参考答案与评分标准一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 。C A A A, B C D C B D 二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）11. 21()()xydxxdyyy12. 013. 2121fy fy14. 221xyz15. 211( , )xdxf x y dy16. 123134xyz17. 22691x yy18. 0()2!nnnxxn19. 120. ( 1,1, 1)三、求解下列各题（本大题共6 小题，每小题8 分，共 48 分）21. 解：12Sab（3 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 12 - 212(3,4,5)345ijka b（6 分）5 22S（8 分）22.解：( , , )zF x y zexyz,zxyzFyz Fxz Fexy（4 分）yxzzzzFFzyzzxzxFexyyFexy（8 分）23.解：,32Pyx Qxy（2 分）原式DQ=()218DPddxy（8 分）24.解：2,2Pxz QyRyz（3 分）原式1110001=()2PQRdvzdvdxdyzdzxyz（8 分）25.解：原式2211000=4z d d dzddz dz（8分）26.解：特征方程为：220rr120,2rr所以20yy的通解为212xYCC e（4 分）设特解为*2xyaxe（6 分）代入原方程求得：12a故通解为221212xxyCC exe（8 分）四、应用题（本题6 分）27.解：10,DxyydA（2 分）211143xDAddxdy（3 分）211145xDyddxydy（5 分）故：质心为3(0,)5（6 分）五、证明题（6 分）28、证明：正项级数11nn发散（2 分）11(1)nnn为交错级数1nan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 13 - 因为1111nnaann，1limlim0nnnan所以11( 1)nnn收敛（5分）故11( 1)nnn条件收敛。（6 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -