2022年高等数学公式大全及常见函数图像.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高等数学公式导数公式：tgx 2 secxxarcsinx1121x2ctgx csc 21sec x sec xtgxarccosx 1xcscx cscxctgxarctgx1axaxlnax2logax x1aarcctgx1ln1x2基本积分表：tgxdxlncosxCnxdxdxx2 secxdxtgxCCCcos2ctgxdxlnsinxCctgxdxx2 cscxdxsec xdxlnsec xtgxCsin2cscxdxlncscxctgxCsecxtgx dxsecxCdx1arctgxCcscxctgxdxcscxCaxdxaxCa22 xaaadx1lnxaClnx22 a2 axax2a2shxdxchxCdx1lnaxCchxdxshxCa22 x2 aaxxdxa2lnxdxarcsinxCa22 xa2In2sinnxdx2cosnn1In2C00x2a2dxxx2a2a2lnxx2a222a2a2lnxx2a2Cx2a2dxxx222a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a三角函数的有理式积分：名师归纳总结 sinx12u2,cosx1u2,utgx,dx2du第 1 页,共 17 页u1u221u2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一些初等函数：学习必备欢迎下载两个重要极限：双曲正弦:shxx eexexlim x 0sinxx1e2 . 7182818284 59045 .2x双曲余弦:chxx eexlim x112x双曲正切:thxshxx echxe xexarshxlnxx21）archxlnxx21 arthx1ln1x21x三角函数公式：· 诱导公式：名师归纳总结 · 和差角公式：sin函数sin cos tg ctg 2cos2第 2 页,共 17 页角 A -sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270°-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg · 和差化积公式：sincoscossinsinsin2sincoscoscossinsinsinsin2cos2sin2tgtgtg1tgtgcoscos2coscos22ctgctgctg1ctgctgcoscos2sinsin22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载· 倍角公式：sin22sincos12 sin2cos 2sin2sin33 sin43 sincos22cos 21ctg2ctg21cos 343 cos33cos2 ctgtg33 tgtgtg22 tg13 tg21tg2· 半角公式：sin21cossincos21coscossin22tg21cos1cosctg21cos11cossin1cos1cossin1cos· 正弦定理：aAbBcC2R· 余弦定理：c2a2b22 abcos Csinsinsin· 反三角函数性质：arcsinx2arccosxarctgx2arcctgxuvn高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：1 nkuv nnCkunkvk1 unkvkn2vnnnk0unvnun1 vn n1 u2 .k .中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：fbfafba柯西中值定理：fbfafFbFaF当F xx时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；曲率：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 弧微分公式：ds1y2dx ,学习必备欢迎下载其中ytg平均曲率：Ks.:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长；M点的曲率：Klim s 0sd1yy23.ds直线：K;01 a.半径为a的圆：K定积分的近似运算：bxxbnay 0y 1y ny n1yyn1yn24 y 1y 3yn1矩形法：fbabxna1y0y 1梯形法：f2abfbay0y n2 y 24抛物线法：3 na定积分应用相关公式：功：WFsk 为引力系数水压力：FpA引力：Fkm 1m 2,r2函数的平均值：yb1abfxdx均方根：b1abf2aa tdt空间解析几何和向量代数：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 空间2 点的距离：dM1 M2学习必备2欢迎下载y12z2z 12x 2x 1y 2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB 与u 轴的夹角；为锐角时,Prjua 1a2Prja 1Prja2ababcosa xb xaybyaz bz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosax2axb xaay byb xazb zy2bz2ay222bzijkcabaxayaz,cabsin. 例：线速度：vwr.bxbybzaxayaz向量的混合积：abcabcbxbybzabccos,cxcycz代表平行六面体的体积；平面的方程：1、点法式：A xx0Byy0Cz0z00,其中nA ,B,C,M0x 0,y0,z0mt2、一般方程：AxByCzD0Ax0By0Cz0D参数方程：xx 03、截距世方程：xyz c1ab平面外任意一点到该平面的距离：dA2B2C2空间直线的方程：xx 0yy0zzt,n ,p ;其中sm ,yy0ntmnpzz 0pt二次曲面：1、椭球面：x2y2z21q 同号）a2b2c22、抛物面：x22 py2z（,p,2 q3、双曲面：单叶双曲面：x2y2z21222abc双叶双曲面：x2y2z2（马鞍面）1a2b2c2多元函数微分法及应用名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 全微分：dzzdxzdy学习必备u欢迎下载dyudzdudxu yxyxz全微分的近似运算：zdzfxx ,yxfyx ,yy多元复合函数的求导法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfu x ,y,v x ,y zzuzxuxvx当uu x ,y ,vv x ,y 时,v xdxv ydyduudxudydvxy隐函数的求导公式：隐函数Fx ,y 0,dydxvF x2,d 2 ydxxF xyF xdy dxF vFyFyF y隐函数Fx ,y ,z 0,zxFx,zyFyGFFF uF zF z隐函数方程组：Fx ,y ,u ,0 0JF,u Gv GGx ,y,u ,vG uG vu ,vuvu1F, Gv1F,GxJx ,v xJ u,x u1F, Gv1F,GyJy ,v yJ u,y 微分法在几何上的应用：空间曲线xt在点Mx0,y 0,z0 处的切线方程：xx0yy0zz 0y,y0,z 0zz 00ytt0t0t0zt在点M处的法平面方程：t0xx0t0yy0t0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y,z 0,就切向量TFyFz,FzFx,F xFGyGzGzGxG xGyGx ,y,z 0Fzx0曲面Fx,y ,z 0上一点Mx0,y0,z 0,就：1、过此点的法向量：nFxx0,y 0,z0,Fyx0,y0,z 0,F zx0,y0,z 02、过此点的切平面方程：Fxx0,y0,z 0xx 0Fyx0,y0,z 0yy 03、过此点的法线方程：Fxx,x0z 0Fyy,y 0z0Fzz,z 0,z0x0y0,x 0y0,x0y0方向导数与梯度：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数zfx,y在一点px ,y学习必备l欢迎下载ffcosfsin沿任一方向的方向导数为：lxy其中为x 轴到方向l的转角；grad fx ,y ficosfjsinj,为l方向上的函数zfx,y在一点px ,y 的梯度：xy它与方向导数的关系是：fgradfx ,ye,其中eil单位向量；f是gradfx,y在l上的投影；l多元函数的极值及其求法：设fxx0,y0fyx 0,y00,令：fxxx0,y0A,fxyx0,y0B ,fyyx0,y 0C0 时,A0 ,x0,y0为极大值ACB2就：A0 ,x0,y0为微小值ACB20 时,无极值ACB20 时,不确定重积分及其应用：fx,ydxdyfrcos,rsinrdrdz2dxdyMyDyx,y dx2Fx,ydDD曲面zfx,y 的面积AD1z2xy平面薄片的重心：xMxDxx,y d,yMx,ydMx,ydDx,y dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2,对于y轴IyD0,0 ,a,a0 的引力：FD,y,Fz ,其中：平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点MFxF xfDx2x,yxd23,FyfDx2x,yydx,yxd23,Fzfay2a23y2a2y2a2Dx22柱面坐标和球面坐标：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - xrcos学习必备欢迎下载柱面坐标：yrsin,fx,y ,z dxdydzzdFr,zrdrddz ,sindr2dvdvzzddrr2sindrdd其中：Fr,zfrcos,rsin,zxrsincos球面坐标：yrsinsin,dvrdrsinzrcos2r,fx ,y ,zdxdydzFr,r2sindrdddFr,r2重心：x1xdv,y1ydv,0100Mxzdv,其中MMM转动惯量：Ixy2z2dv,Iyx2z2dv,Izx2y曲线积分：名师归纳总结 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：dtt,t,就：yxtt第 8 页,共 17 页设fx,y在L上连续,L的参数方程为：xytfx ,ydsft,t2t2t特别情形：L- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次类曲线积分（对坐学习必备欢迎下载标的曲线积分）：设L 的参数方程为x t t,就： t tQ t, t tdtyP x ,y dxQ x ,y dyP t,L两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos ds,其中 和 分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L D x y L当 P y , Q x,即：Q P 2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1 xdy ydxx y D 2 L·平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、G 是一个单连通区域；2、P x , y ,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数,且 QP；留意奇点,如 ,0 0 ,应x y减去对此奇点的积分,留意方向相反！·二元函数的全微分求积：在 QP 时,Pdx Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中：x y x , y u x , y P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 曲面积分：对面积的曲面积分：fx,y ,z dsfx ,y ,z x ,y12 z xx ,y z2x ,ydxdydsy对坐标的曲面积分：PDxyx ,y ,z dydzQx ,y ,z dzdxR x ,y ,z dxdy,其中：R x,y ,z dxdyR x ,y ,z x ,ydxdy,取曲面的上侧时取正号；Dxyx y ,z ,y ,z dydz,取曲面的前侧时取正号；P x,y ,z dydzP Dyzx ,y z ,x,z dzdx,取曲面的右侧时取正号；Qx ,y,z dzdxQ Dzx系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcos两类曲面积分之间的关高斯公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - PQRdv学习必备欢迎下载PcosQcosRcosdsPdydzQdzdxRdxdyxyz高斯公式的物理意义通量与散度：的流体质量,如div0,就为消逝.散度：divPQR, 即：单位体积内所产生xyz通量：AndsA ndsPcosQcosRcosds,因此,高斯公式又可写成：divA dvA nds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：RQ dydzPRdzdxQ xPdxdyPdxQdyPRdzyzzxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：x Py Qz Rx Py Qz R空间曲线积分与路径无关的条件：RQ z,PzR x,QxyyijkPdxQdyRdzAtds旋度：rotAx Py Qz R向量场A 沿有向闭曲线的环流量：常数项级数：等比数列：1q2 qqn11qn1q等差数列：123nn1n2调和级数：1111 n是发散的23级数审敛法：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、正项级数的审敛法学习必备欢迎下载别法）：根植审敛法（柯西判1 时,级数收敛设：lim n n u n,就 1 时,级数发散1 时,不确定2、比值审敛法：1 时,级数收敛设：lim n UU nn 1,就 1 时,级数发散1 时,不确定3、定义法：s n u 1 u 2 u n ; lim n s n 存在,就收敛；否就发 散；交叉级数 u 1 u 2 u 3 u 4 或 u 1 u 2 u 3 , u n 0 的审敛法莱布尼兹定理：u n u n 1假如交叉级数满意lim n u n 0,那么级数收敛且其和 s u 1 , 其余项 r n 的确定值 r n u n 1；确定收敛与条件收敛： 1 u 1 u 2 u n,其中 u n 为任意实数； 2 u 1 u 2 u 3 u n假如 2 收敛,就 1 确定收敛,且称为确定 收敛级数；假如 2 发散,而 1 收敛,就称 1 为条件收敛级数；n调和级数：1 发散,而 1 收敛；n n级数：12 收敛；np 级数：n 1p p 时发散1 时收敛幂级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1xx2x3xnx学习必备欢迎下载1x1 时,收敛于1对于级数 3 a 0a 1xa2x1 时,发散10x2anxn,假如它不是仅在原点收敛,也不是在全数轴上都收敛,就必存在R,使xR 时收敛xR 时发散,其中R 称为收敛半径；求收敛半径的方法：设xR 时不定lim na n10 时,R,其中an,an1 是 3 的系数,就0 时,Ra n时,R函数绽开成幂级数：函数绽开成泰勒级数：fx n1fx0xx0fx0xx02fnx 0xx0n.2n .余项：R nfn1xx0,fx可以绽开成泰勒级数的2充要条件是：lim nR n0n1 .f0 f0 xf0xfn0xnx 00 时即为麦克劳林公式：fx.2n .一些函数绽开成幂级数： 1x m1mxm m1x21x2nm m1 mn1xn1x1.2n .sinxxx35 x1n1x.3.52 n1 .欧拉公式：ix ecosxisinx或cosxix eeix2sinxix eeix2三角级数：ftA 0A nsinntna0ancosnxb nsinnx在,2n1n1其中,a0aA 0,anA nsinn,bnA ncosn,tx；正交性：,1sinx,cosx,sin2x ,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积上的积分0；傅立叶级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxa0n1ancosnxb nsin学习必备欢迎下载nx ,周期22an1nfxcosnxdxn0,1,2n2xb nsinnx 是奇函数其中b n1fx sinnxdxn,1,23111211181（相加）6325222324211121112241（相减）12224262223242正弦级数：a0,bn2fxsinnxdx,123,f0名师归纳总结 余弦级数：b n0,an2fxcosnxdxn0,1,2fxa0ancosnx 是偶函数20第 13 页,共 17 页周期为l2 的周期函数的傅立叶级数：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxa0n1ancosnlxbnsin学习必备欢迎下载nlx,周期2 l2其中a n1lfxcosnlxdxn0,1,2llb n1lfxsinnlxdxn,123,ll微分方程的相关概念：一阶微分方程：yfx ,y或P x,y dxQ x,y dy0u,可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gy dyfx dx 的形式,解法：gy dyfx dx得：G y Fx C 称为隐式通解；齐次方程：一阶微分方程可以写成dyfx ,y x ,y ,即写成y的函数,解法：dxx设uy,就d