2022年高等数学竞赛试题及.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 兰州理工高校 20XX 年高等数学竞赛试题（洪小波供应）及解答一、填空题 每道题 2 分,共 12 分1、函数f x ln1x,如x0在点x0处可导,就,；x e21 sin 2 ,如x02、设fxlnx2x2efx dx,就f x ；1x3、11x2dx2；arctan 4、设二元函数u x y 满意ux22y,u x x21,就u x y , y5、由xyzx2y2z22所确定的zz x y 在点 1,0, 1 处的全微分为6、过L 1:x11y02z3且平行于L2:x22y11z的平面方程为；11二、挑选题 每道题 2 分,共 12 分x 2 x 2 x 31、把 x 0 时的无穷小量0 cos t dt,0tan t dt,0 sin t dt 排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,就正确的排列次序是 A , ,；B , ,；C , ,；D , ,；x 2, 如 为有理数2、设 f x ,就 f x 可导点的个数为 0, 如 为无理数A 0 ；B 1 ；C 2；D 无穷；3、设 f x 是 , 上可导的、周期为 6 的函数,且满意 lim x 0 f x f x 1,就曲线y f 在 7 , f 7 处的切线斜率为 A 、2 ；B、 0 ；C、1 ；D、1；a4、设 a 0, 是正值连续函数,就曲线 y f x a x t t dt A 在 a ,0 上是凹的,在 0,a 上是凸的；B 在 a ,0 上是凸的,在 0,a 上是凹的；C 在 a a 上是凹的；D 在 a a 上是凸的；名师归纳总结 第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、设a0,而2 L xy2ax ,就Lx22 y ds n与u2D 22 a ；A 1 22 a ；B 2 a ；C42 a ；6、设u nn 1lnn,就级数 B、u都发散；nA 、u与 n2 u都收敛；nnn1n1n1nn1n2 u收敛；C、u收敛而2 u发散；D、u发散而n1n1n11三、运算题 每道题 6 分,共 60 分nn .n；R ,使lim x 0ax1xxt23 tdt2；1、求lim n2、确定常数a bsin0b3、设zxf y x 2yx y ,其中f u , u 都是二阶可导的函数,求z,2z；xx y4、运算dx1；x名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、求2 2min|x|,2 xdx；和B 0,1,1的直线段AB 绕 z 轴旋转所得曲面与二平面z0,z1所围6、试求连接空间两点A 1,0,0立体的体积；7、运算积分I1dx1e dy；y 20x8、运算曲线积分ILydxx1 dy,其中 L 为椭圆x292 y41的正向；x2 1y29、求级数n0n 1 n2n1的和；n 210、设P x y 为连接两点A 0,1与B1,0的一条凸弧上的任一点,且凸弧与弦AP 之间的面积为3 x ,求此凸弧的方程；四、证明题 第 1、2 小题各 5 分,第 3 小题 6 分,共 16 分名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、设f x ,g x 为,a b 上单调递增的连续函数,f就 bfa bf x g x dxfbf x dxbg x dx；aaa2、设fx在区间2 ,4上具有连续的导数,且240,就max 2 x 4x4 2fxdx；3、设a n0,A nn1a满意 lim nA n, lim nanA n0,就级数n1a xn的收敛半径为1；k名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 兰州理工高校 20XX 年高等数学竞赛参考答案一、填空题1、1 2, 1；x y 22 x ；42、ln x2 x e2；3、 2；z20；5、3y4、1y2dx2dy；6、x二、挑选题1、 B ；2、 B ； 3、 C ；4、 C ；5、 D； 6、 C ；三、运算题1、求lim nnn .；nn.1；b1；n解: limln nnn.lim n1ln . ln lim n1n1ln kn1 ln 0xdx1,故lim nnnnkne2、确定常数a bR ,使lim x 0ax1xxt23 tdt2；sin0ba1, 故a解：由题意知t23 t在t0的某邻域内有定义,所以b0,由罗必塔法就得blim x 0xt2dtlim x 0abx2lim x 0ax2b3x0,b,如0b3 t3xaxsinxcosxcos 2如a1z,2z；3、设zxf y x 2yx y ,其中f u , u 都是二阶可导的函数,求xx y解：zfy xy x fy x 2x y,2zx2yfy x2 xy2x y；xx y4、运算dx1；x解：令x12 t ,就x t22 1 ,dx4 t t21 dt ,故dx14 t21 dt4t34 tC4x x1C；x33第 5 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、求2 2min|x|,2 xdx；z0,z1所围解: 2min|x|,x2dx22min|x|,x2dx212 x dx22xdx2311；2001336、试求连接空间两点A 1,0,0和B 0,1,1的直线段AB 绕 z 轴旋转所得曲面与二平面立体的体积；解 ： 线 段 AB 的 方 程 为 x 1 z y z 0 z 1, 在 AB 上 任 一 点 到 z 轴 的 距 离 的 平 方 为d 2 z 2 1 z 2,故所求立体的体积为 V 0 1z 21 z 2dz 23；1 1 y 27、运算积分 I 0 dx x e dy；解：ID e dxdy y 20 1dy 0 ye dx y 20 1ye dy y 212 e 1；8、运算曲线积分 I L ydx x 1 x2 1y dy2,其中 L 为椭圆 x 29 y 24 1 的正向；解: 令 L 1: x 1 2y 21 逆时针方向 ,就由格林公式得ydx x 1 dy ydx x 1 dyI 2 2 2 2L x 1 y L L 1 L 1 x 1 yD x x 11 2 xy 2 x x 1 y2y 2 d0 2 sincos sin2sin cos cos2 d20 d d 2；0Dn 29、求级数 1 nn n 1 的和；n 0 2n 2 1 n n 1 n n n 2解: n n n 1 1 2 1 2 x 2 x 1n 0 2 n 2 n 0 n 0 343 x 1 2 4 2 2 2； 2 x 3 2 7 3 2 710、设 P x y 为连接两点 A 0,1 与 B 1,0 的一条凸弧上的任一点,且凸弧与弦 AP 之间的面积为名师归纳总结 第 6 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3x ,求此凸弧的方程；解: 设凸弧的方程为2yf x ,就x3xf t dtx1f x ,两边对 x 求导得10得c5,02xyy6x1,即yx1y6xx1,解之得ycx6 x21,由y故所求曲线为y15 x6x ；2四、证明题1、设f x g x为,a b 上单调递增的连续函数,就 ba bf x g x dxbf x dxbg x dx；aaa证明 : 设F x xa xf t g t dtxf t dtxg t dt,就F x 在,a b 上可导,且xa b ,aaa有x x xF x a f t g t dt x a f x g x g x a f t dt f x a g t dtx xa f x g x f t g t dt a f t g x f x g t dtxa f x f t g x g t dt 0,b b b故 F x 在 a b 上单增,从而 F b F a ,即 b a f x g x dx f x dx g x dx；a a a42、设 f x 在区间 2 , 4 上连续可导,且 f 2 f 4 0,就 max 2 x 4 f x 2 f x dx；证明：x 2, 4,存在 1 2, 及 2 ,4,使 f x f 1 x 2 f 2 x 4,令M max 2 x 4 f x ,就 f x M max x 2,4 x ,故4 4 3 4 M 2 3 2 42 f x dx 2 f x dx 2 M x 2 dx 3 M 4 x dx2 x 2 2 4 x 3 M；n3、设 a n 0, A n a满意 lim n A n , lim n a n A n 0,就级数 a x n的收敛半径为 1；k 1 n 1证明：设 r, R 分别为级数 a n x n, A n x n的收敛半径,就由于n lim A n,故级数 a nx n在n 1 n 1 n 1x 1 处发散, 故 r 1；又 lim n aA nn 0,故 n 充分大时,aA nn 1,从而 a n x n aA nn A x nA x n,即 R r 1,名师归纳总结 第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而Rlim nA n1lim nA n1lim na nlim nA n1anlim nA n1,故r1；第 8 页,共 8 页A nA nA nA nA n名师归纳总结 - - - - - - -