2022年高考数学一轮复习导学案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学案 20 函数 yAsin x的图象及三角函数模型的简洁应用导学目标：1.明白函数 yAsin x的物理意义； 能画出 yAsin x的图象, 了解参数 A, 对函数图象变化的影响.2.明白三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简洁实际问题自主梳理1用五点法画 yAsin x一个周期内的简图用五点法画 yAsin x一个周期内的简图时,要找五个特点点如下表所示X x2.图象变换：函数y0A 0A 0 Asin xyAsin x A>0,>0的图象可由函数ysin x 的图象作如下变换得到：（1）相位变换： ysin xysinx ,把 ysin x 图象上全部的点向_>0或向_<0平行移动 _个单位（2）周期变换： ysin x ysin x,把ysinx图象上各点的横坐标_0<<1或_>1到原先的 _倍纵坐标不变 （3）振幅变换： ysin x yAsin x,把 ysin x图象上各点的纵坐标_A>1或_0< A<1到原先的 _倍横坐标不变 3当函数 yAsin x A>0,>0,x , 表示一个振动量时,就 _ 叫做振幅, T _叫做周期, f_叫做频率, _叫做相位, _叫做初相函数 yAcos x的最小正周期为 _自我检测_ yAtan x的最小正周期为名师归纳总结 12022 ·池州月考 要得到函数ysin 2x 4的图象,可以把函数ysin 2x 的图象 第 1 页,共 11 页A向左平移 8个单位B向右平移 8个单位C向左平移 4个单位D向右平移 4个单位2已知函数 fxsin xxR,>0的最小正周期为 .将 yfx的图象向左平移4|个单位长度, 所得图象关于y 轴对称,就 的一个值是 A.B.3 C. 4D.2883已知函数fx sin x 4xR,>0的最小正周期为,为了得到函数gx cos x的图象,只要将yfx的图象 A向左平移 8个单位长度- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B向右平移 个单位长度8学习必备欢迎下载C向左平移 4个单位长度ND向右平移 4个单位长度4 2022 · 太 原 高 三 调 研 函 数y sin2x的 一 条 对 称 轴 方 程 是3 Ax 6Bx 3CxDx5121252022 ·六安月考 如动直线xa 与函数 fxsin x 和 gxcos x 的图象分别交于M、两点,就|MN|的最大值为 A1 B.2 C. 3 D2 探究点一三角函数的图象及变换例 1已知函数 y2sin 2x 3 . 3说明y1求它的振幅、周期、初相；2用“ 五点法” 作出它在一个周期内的图象；2sin 2x 3的图象可由ysin x 的图象经过怎样的变换而得到变式迁移 1设 fx1 2cos 2x3sin xcos x3 2sin 2x xR1画出 fx在 2, 2上的图象；2求函数的单调增减区间；3如何由 ysin x 的图象变换得到 fx的图象？探究点二 求 yAsin x的解析式例 2已知函数fxAsin x A>0,>0,|< 2,xR的图象的一部分如下列图求函数 fx的解析式名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载变式迁移 2 2022·宁波模拟 已知函数 fxAsin x A>0,>0, |< 2的图象与 y轴的交点为 0,1,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 x0,2和x02, 21求 fx的解析式及 x0的值；2如锐角 满意 cos 1 3,求 f4的值探究点三 三角函数模型的简洁应用例 3已知海湾内海浪的高度y米是时间 t0t24,单位：小时 的函数,记作yft下表是某日各时刻记录的浪高数据：t 03691215182124 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5经长期观测, yft的曲线可近似地看成是函数1.0 0.5 0.99 1.5 yAcos tb.1依据以上数据,求函数 yAcos tb 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式；2依据规定,当海浪高度高于 1米时才对冲浪爱好者开放,请依据 1的结论, 判定一天内的上午 800 至晚上 2000 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3沟通电的电压E单位：伏 与时间t单位：秒 的关系可用E2203sin 100t 6表示,求：3电压的最大值和第一次1开头时的电压；2最大电压值重复显现一次的时间间隔；取得最大值时的时间数形结合思想的应用例12 分设关于 的方程3cos sin a0 在区间 0,2 内有相异的两个实根、. 1求实数 a 的取值范畴；2求 的值【答题模板】名师归纳总结 解1原方程可化为sin 3 a 2,第 3 页,共 11 页作出函数 ysinx 3x0,2 的图象- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3 分 1<a 2<1由图知,方程在 0,2 内有相异实根 , 的充要条件是 . a 22 3即 2<a<3或3<a<2.6 分 2由图知：当3<a<2,即a21,2 时,直线 3ya2与三角函数 ysinx 3的图象交于 C、D 两点,它们中点的横坐标为 76,27 6,73 .8 分 当 2<a<3,即a 2 2,1时,直线 3 ya 2与三角函数 ysinx 3的图象有两交点 A、 B,由对称性知,2 6, 3.11 分 量与 这综上所述, 3或 7 3 . 12 分 【突破思维障碍】在解决三角函数的有关问题时,如把三角函数的性质融于函数的图象之中,将数图形结合起来进行分析、讨论, 可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来,是解决三角函数问题的一种有效的解题策略图象的应用主要有以下几个方面：比较大小；求单调区间；解不等式；确定方程根的个数如判定方程 sin xx 的实根个数；对称问题等【易错点剖析】此题如不用数形结合法,用三角函数有界性求 a 的范畴, 不仅过程繁琐, 而且很简洁漏掉 a 3的限制,而从图象中可以清晰地看出当 a3时,方程只有一解1从“ 整体换元 ” 的思想熟悉、 懂得、运用 “ 五点法作图 ” ,特别在求 yAsin x 的单调区间、解析式等相关问题中要充分懂得基本函数 ysin x 的作用2三角函数自身综合问题：要以课本为主,充分把握公式之间的内在联系,从函数名称、角度、式子结构等方面观看,查找联系,结合单位圆或函数图象等分析解决问题3三角函数模型应用的解题步骤：1依据图象建立解析式或依据解析式作出图象2将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函数模型3利用收集到的数据作出散点图,并依据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型一、挑选题 每道题 5 分,共 25 分 满分： 75 分 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 1将函数 ysin x3的图象上全部点的横坐标伸长到原先的 2 倍纵坐标不变 ,再将所 得 的 图 象 向 左 平 移 3个 单 位 , 得 到 的 图 象 对 应 的 解 析 式 是 1 2xBysin1 2xAysin 2Cysin1 2xDysin 2x662 2022 ·银 川 调 研 如 图 所 示 的 是 某 函 数 图 象 的 一 部 分 , 就 此 函 数 是 Aysin x 6Bysin 2x 6f0Cycos 4x 3f 2 Dycos 2x 63为得到函数y cos 2x 3的图象,只需将函数ysin 2x 的图象A向左平移5 12个单位长度2 3,就B向右平移5 12个单位长度C向左平移5 6 个单位长度D向右平移5 6个单位长度42022 ·辽宁 已知函数fxAcos xA>0,>0的图象如下列图,等于 A2 3B1 22 C. 3D.12名师归纳总结 52022 ·烟台月考 如函数 yAsin xmA>0,>0的最大值为4,最小值为0,第 5 页,共 11 页最小正周期为 2,直线 x 3是其图象的一条对称轴,就它的解析式是 Ay4sin 4xBy2sin 2x 32 6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Cy2sin 4x 32 学习必备欢迎下载 62 5 Dy2sin 4x题号1234答案二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 6已知函数 ysin x >0, < 的图象如下列图,就 _. 72022 ·潍坊五校联考 函数 fxcos 2x 的图象向左平移 4个单位长度后得到 gx的图象,就 gx_. 82022 ·福建 已知函数 fx3sin x6 >0和 gx2cos2x1 的图象的对称轴完全相同如 x 0,2,就 fx的取值范畴是 _三、解答题 共 38 分 912 分已知函数fxAsin xA>0,>0,|< 2,xR的图象的一部分如下图所示1求函数 fx的解析式；yfxfx2的最大值与最小值及相应的x 的值2当 x 6,2 3时,求函数1012 分已知函数 fxAsin x A>0,0<2 且 0 是 R 上的偶函数,其图象过点 M0,2又 fx的图象关于点 N 3 4,0 对称且在区间 0, 上是减函数,求 fx的解析式,1114 分2022 ·山东 已知函数 fx sin x ·cos xcos 2 x >0的最小正周期为名师归纳总结 1求 的值；1 2,纵坐标不变, 得到函数 ygx第 6 页,共 11 页2将函数 yfx的图象上各点的横坐标缩短到原先的的图象,求函数ygx在区间0, 16上的最小值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 缩短答案自主梳理3 2学习必备欢迎下载222.1左右|2伸长0 1. 22032213伸长缩短A3.A21 xT|自我检测1B2.D3.A4.D5.B 课堂活动区1 作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法留意在作出一个周例 1解题导引期上的简图后,应向两边舒展一下,以示整个定义域上的图象；2变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩仍是先伸缩后平移,对于后者可利 用 x x 来确定平移单位解 1y2sin 2x3的振幅 A2,周期 T2 2 ,初相 3. 2令 X2x3,就 y2sin 2x32sin X. 列表：X 675123126X 03222ysin X 01010 y2sin 2x02020 3描点连线,得图象如下列图：3将 ysin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原先的1 2倍纵坐标不变 ,得到 ysin 2x名师归纳总结 的图象；再将ysin 2x 的图象向左平移 6个单位,得到y sin 2 x 6sin 2x 3的图象；第 7 页,共 11 页再将 ysin 2x 3的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原先的2 倍,得到y2sin 2x 3的图象变式迁移 1解y1 2·1cos 2x23 2 sin 2x3 2·1cos 2x213 2 sin 2x1 2cos 2x1sin 2x 6 . 1五点法 设 X2x 6,就 x1 2X12,令 X0, 2,3 2,2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是五点分别为 12,1 ,学习必备欢迎下载13 12,1 ,描点连线即可得图象, 3,2 ,7 12, 1 ,5 6,0 ,如下图2由22k2x 6 22k,kZ,得单调增区间为 6k,k 3,kZ . 由 22k2x63 2 2k,kZ,得单调减区间为 3k,k5 6,kZ. 13把 ysin x 的图象向右平移 6个单位；再把横坐标缩短到原先的 2倍纵坐标不变 ；最后把所得图象向上平移 1 个单位即得 y sin 2x 61 的图象例 2 解题导引 确定 yAsin xb 的解析式的步骤：Mm Mm1求 A,b.确定函数的最大值 M 和最小值 m,就 A2,b2 .2 求 .确定函数的周期 T,就 2 T .3求参数 是此题的关键,由特别点求 时,肯定要分清特别点是“ 五点法 ” 的第几个点名师归纳总结 解由图象可知A2,T8. 第 8 页,共 11 页2 T2 8 4. 方法一由图象过点 1,2,得 2sin 4× 1 2,sin4 1.|< 2, 4,fx2sin 4x 4 . 方法二点1,2对应 “五点 ” 中的其次个点 4× 1 2, 4,fx2sin 4x 4 . 变式迁移 2解1 由题意可得：A2,22,即 2 4, 1 2,fx2sin1 2x ,f02sin 1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由|< 2, 6.fx2sin1 2x学习必备欢迎下载 6fx02sin2x0 62,所以1 2x0 62k 2,x04k 2 kZ,又x0 是最小的正数, x02 3 . 2f42sin 263sin 2cos 2,0,2,cos 1 3,sin 2 2 3,cos 22cos 2 179,4 2sin 2 2sin cos 9,f43×4 97 94 679 . 例 3 解题导引 1 三角函数模型在实际中的应用表达在两个方面,一是已知函数模型,如本例, 关键是精确懂得自变量的意义及自变量与函数之间的对应法就,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关学问解决问题,其关键是建模 2如何从表格中得到A、 、 b 的值是解题的关键也是易错点,同时其次问中解三角不等式也是易错点3对于三角函数模型 yAsin xk A>0,>0中参数的确定有如下结论： Ay maxymin2； kymaxymin2； 2 T； 由特别点确定解 1由表中数据,知周期 T12,2 T2 12 6,由 t0,y1.5,得 Ab1.5；由 t3,y1.0,得 b 1.0,A0.5,b1,y1 2cos 6t1. 2由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放,1 2cos 6t1>1,cos 6t>0, 2k2< 6t<2k2,kZ,即 12k3<t<12k3, kZ.0t24,故可令中的 k 分别为 0,1,2,得 0t<3,或 9<t<15,或 21<t24. 在规定时间上午 800 至晚上 2000 之间,有 6 个小时的时间可供冲浪者运动,即上午900 至下午 300. 名师归纳总结 变式迁移 3解1 t0 时, E220 3sin 61103伏第 9 页,共 11 页2T2 1000.02秒- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3当 100t学习必备欢迎下载220 3伏6 2, t 1 300秒时,第一次取得最大值,电压的最大值为课后练习区1C2.D3.A4.C5.D 2 分 5 分 9 6. 107 sin 2x8.3 2,39解1由图象知 A2,T2 8, 4. 又图象经过点 1,0,2sin 40. |< 2, 4. fx2sin 4x 4 2y fxfx2 2sin 4x 42sin 4x 2 4 822sin 4x 222cos 4x. 分 x6,2 3,3 2 4x 6. 2. 12当 4x6,即 x 2 3时, yfxfx2取得最大值6；当 4x ,即x 4 时, y fxfx 2取得最小值 2分 10解依据 fx是 R 上的偶函数,图象过点M0,2,可得 fxfx且 A2,就有 2sin x2sin x,即 sin xcos 0,cos 0,即 k 2 kZ而 0 , 2. 4 分 3 3 3再由 fx2sin x22cos x的图象关于点 N 4,0 对称, f 4 2cos 4 0 cos 3 40, 8 分 即3 4k 2 kZ,43 k12 kZ又 0<2,2 3或 2. 10 分 最终依据 fx在区间 0, 上是减函数,名师归纳总结 可知只有 2 3满意条件12第 10 页,共 11 页所以 fx 2cos 2 3x. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分 11解1fxsin xcos x cos 2 x6 分 8 分 sin xcos x1cos 2 x 21 2sin 2x1 2cos 2x122 sin 2x 41 2. 由于 >0,依题意得2 2,所以 1. 2由1知 fx2 2 sin 2x41 2,所以 gxf2x 名师归纳总结 2 2 sin 4x41 2. 10 分 第 11 页,共 11 页当 0x 16时, 4 4x 4 2. 13 分 所以2 2sin 4x 41. 因此 1gx12, 214 分 所以 gx 在此区间内的最小值为1. - - - - - - -