2022年门头沟中考数学模拟试卷一道几何压轴题的多种解法.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载16：如图,在 ACB和 AED中, AC=BC,AE=DE,ACD=AED=90° ,点 E 在 AB 上, F是线段 BD的中点,连结 CE、FE；（1） 请你探究 CE和 FE之间的数量关系；（2） 将图 1 中的 AED绕点 A 顺时针旋转,使得 AED的一边 AE恰好与 ACB的一边 AC在同一条战线上,连结 的数量关系；BD,取 BD的中点 F,求 CE和 FE之间（3） 将图 1 中的 AED绕点 A 顺时针旋转任意角度,使得 E 在 ACB,求 CE 和 FE之间的数量关系；解（ 1）：分析：要探究CE和 EF的数量关系,我们不妨连结CF,通过观看,很容 EF=CF,在想法证易猜想到 CEF是等腰直角三角形；于是,我们就想方设法证明明ECF=45° ,于是就有了 解法 1；另外,我们也可以想方设法证明 EF=CF,再证 明EFC=90° ,于是,就有了 解法 2. 解法 1：如图,连结 CF,AED=ACB=90°B、C、D、E 四点共圆 且 BD是该圆的直径,点 F 是 BD的中点,点 F 是圆心,EF=CF=FD=FB, FCB=FBC,ECF=CEF, 由圆周角定理得： DCE=DBE, FCB+DCE=FBC+DBE=45°ECF=45° =CEF, CEF是等腰直角三角形,CE= EF. 解法 2：易证 BED=ACB=90° ,点 F是 BD的中点,CF=EF=FB=FD, DFE=ABD+BEF,ABD=BEF, DFE=2ABD, 同理 CFD=2CBD, DFE+CFD=2ABD+CBD=90° ,名师归纳总结 即CFE=90° , CE=EF. 第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解（2）：分析：观看图形,很简单猜想到 CE=EF,所以,就想法求出 ECF=45° ,EFC=90° ,于是,就有明白法 1；当然,也可以延长 EF交 BC于点 G,先证明CEG为等腰直角三角形, 再证明 CFEG,从而得出 CE= EF.于是就有明白法 2. 解法 1：连结 CF、AF,BAD=BAC+DAE=45° +45° =90° ,又点 F 是 BD的中点,FA=FB=FD,而 AC=BC,CF=CF, ACFBCF, ACF=BCF=ACB=45° ,FA=FB,CA=CB, CF所在的直线垂直平分线段 AB,同理, EF所在的直线垂直平分线段 AD, 又 DABA, EFCF, CEF为等腰直角三角形,CE= EF. 解法 2：延长 EF交 BC于点 G,AED=ACB=90° ,DE BC, EDF=GBF,DEF=BGF, 又 DF=BF, DEFBGF, EF=GF,DE=BG, 又 DE=AE,AC=BC, AC-AE=BC-BG, 即 CE=CG, CFEG,ECF=ACB =45° ,CE EF. 解3 ：分析：要求 CE和 FE之间的数量关系系；观看图形,我们不难猜想,CE= EF.所以,仍需想法证明CEF为等腰直角三角形,于是,就连接 CF；考虑到点 F为 BD 的中点,我们不妨延长 EF到点 G,使 FG=EF,连接 BG、 CG,易证 DEFBGF,从而得出 BG=DE=AE,而要证 CEF 为等腰直角三角形,只需证明ECG为等腰直角三角形即可, 所以必需想方设法证明 证明 BCGACE,于是,就有明白法 1. CE=CG,ECG=90° ,因而,须再解法 1：连接 CF, 延长 EF到点 G,使 FG=EF,连接 BG、CG. 易证 DEF BGF,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载BG=DE,FBG=FDE, DE BG, ADE是等腰直角三角形, AE=DE, BG= AE, 延长 AE分别交 BC于点 P、交 BG延长 线于点 H,BHA=AED=90° =ACB,CAP+APC=CBH+BPH=90° ,APC=BPH, CAP=CBH, 在 ACE与 BCG中,AE=BG, CAP=CBH, AC=BC, ACE BCG, CE=CG,ACE=BCG,BCG+BCE=ACE+BCE=90° ,即ECG=90° , CEG为等腰直角三角形,而 EF=FG, ECF=45° , CFEG, 即 CEF为等腰直角三角形,CE EF. 又分析：要证 CE= EF,需证 CEF为等腰直角三角形,为此,需证 EF=CF,因点 F 是 BD的中点,所以,我们不妨延长 BE 到点 G,使 EG=DE,延长 BC到 H,使 CH =BC,这样, EF、CF分别成了 DBG和DBH的中位线,我们只需证明 BG=DH, 便可得出 EF=CF了,明显,这是可以的；下面 下面,我们再想法证明 ECF=45° ,问 题就得以解决了；所以,就有明白法 2. 解法 2：连接 CF,延长 DE到点 G,使 EG= DE,连接 BG,延长 BC到点 H,使 CH=BC ,连接 DH,连接 AG,AH, AEDE,EG=DE,ACBC,CH=BC,AD=AG,AH=AB, DAH+DAB=BAH=90° ,BAG+DAB=DAG=90°DAH=BAG, DAH GAB, DH=BG, 点 F 是 BD 的中点,且 CH=BC,EG=DG, 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载CF DH,CF= DH,EF BG,EF=BG, CF=EF, CAE+DAC=DAE=45° , DAH+DAC=CAH=45° ,CAE=DAH, 又 AH:AC=AD:AE=, ACE AHD, ACE=AHD, 而BCF=BHD, ACE+BCF=AHD+BHD=AHB=45 ° ,ECF=45° , CEF为等腰直角三角形,CE EF. 再分析：要证 CE= EF,需证 EF=CF,CFE=90° ,考虑到点 F 是 BD 的中点,且ABC和ADE均为等腰直角三角形,为了充分利用其特别性质,我们不妨分别取 其斜边 AB和 AD的中点 G、H,再连接 CG、EH、FG、FH,这样,就显现了 CFG和FEH,而且可以证明这两个三角形全等,从而得出 到目的了；于是就有明白法 3.CF=E,再证明 CFE=90° 就达解法 3：连接 CF,分别取 AB、AD的中点 G、H,连接 CG、EH、FG、FH,又点 F 是 BD的中点,FG= AD, AE=DE,AED=90° ,EH= AD, FG=EH, 同理 CG=FH, FG AD,FH AB, 四边形 AHFG是平行四边形,AGF=AHF,易证 AGC=AHE=90 ° ,AGF-AGC=AHF-AHE, 即CGF=EHF, CFGFEH,GCF=HFE, 设 FH 与 CG交于点 M, 就CMF=CGH=90° ,GCF+ CFH=90° ,HFE + CFH=90°名师归纳总结 即CFE=90° , 故 CEEF. 第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 5 页,共 5 页- - - - - - -
