2022年随机过程习题解答第,章借鉴 .pdf

习题 1 1.令 X(t) 为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s) 与 EX(s)X(s+t)都不依赖s. 证明：充分性：若X(t) 为宽平稳的，则由定义知EX(t)=， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与 s 无关必要性：若EX(s) 与 EX(s)X(s+t)都与 s 无关，说明EX(t)= 常数， EX(s)X(s+t)为 t 的函数2.记1U， ，nU为在（ , ）中均匀分布的独立随机变量，对0 t , x 1 定义 I( t , x)=，txtx01并记 X(t)=),(11nkkUtIn，10t，这是1U， ，nU的经验分布函数。试求过程X（t ）的均值和协方差函数。解： EIkUt,= PtUk= t ， D),(kUtI= EIkUt,2),(kUtEI = t2t= t(1 t) jk， cov),(),(jkUsIUtI，=EI(t,kU)I(s,jU) EI(t, kU)EI(s, jU) = stst=0 k = j ， cov),(),(jkUsIUtI，= EI(t,kU)I(s,jU) st = min(t,s)st EX(t)=),(11nkkUtEIn=nktn11= t cov)(),(sXtX=),(),(cov1),(),(cov1212jkjknkkkUsIUtInUsIUtIn =nksttsn12),min(1 =sttsn),min(1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 3.令1Z，2Z为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为2，为实数，定义过程tSinZtCosZtX21.试求tX的均值函数和协方差函数， 它是宽平稳的吗？Solution:221, 0,NZZ. 02221EZEZ. 221ZDZD，0,21ZZCov,0tEX，sSinZsCosZtSinZtCosZEsXtXCov2121,t C o sS i nZZst S i nC o sZZst S i nS i nZt C o sC o sZE1221222102st S i nS i nst C o sC o s=stCos2tX为宽平稳过程 . 4.Poisson过程0,ttX满足（ i）00X；(ii)对st，sXtX服从均值为st的 Poisson分布； （iii）过程是有独立增量的 . 试求其均值函数和协方差函数. 它是宽平稳的吗？Solution tXtXEtEX0，ttXDstsXtEXsXtXCov,tssEXsXsXtXE22tssEXsXD220tsss22tss 1显然tX不是宽平稳的 . 5. tX为第 4 题中的 Poisson过程，记tXtXty1，试求过程ty的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性. Solution 1tEy, tyD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - Cov(y(t),y(s)=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s) =E(x(t+1)-x(t)(x(s+1)-x(s)-2(1) 若 s+1t, 即 st-1 ，则 Cov(y(t),y(s)=0-2=-2(2) 若 tst-1, 则Cov(y(t),y(s)=Ex(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s) -2=E(x(t+1)-x(s+1)(x(s+1)-x(t)+E(x(t+1)-x(s+1)(x(t)-x(s) +E(x(s+1)-x(t)+E(x(s+1)-x(t)(x(t)-x(s)- 2=(s+1-t)= -(t-s)- 2(3) 若 tst+1 Cov(y(t),y(s)=0-2=-2由此知，故方差只与t-s 有关，与t,s 无关故此过程为宽平稳的。6，令 z 1和 z2是独立同分布的随机变量，P(z1=-1)=P(z2=1)=1/2 记 x(t)=z1cost+z2sint, tR,试证： x(t)是宽平稳的，它是严平稳吗？证明： Ez1=0, Ez12=(-1)21/2+121/2=1/2+1/2=1=D(z1) Cov(z1,z2)=0 Ext=0 cov(xt,xs)=E(xt,xs)=E(z12costcoss+z22sintsins+z1z2costsins+z1z2sintcoss)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - coscossinsin00cos()tststs故( )x t为宽平稳的。而显然， x(t) 与 x(t+h)的分布不相等，故不是严平稳的。7、 试证：若01,.ZZ为独立同分布的随机变量，定义01.nnXZZZ, 则nx， n0是独立增量过程。Proof: 1.n mnnn mXXZZ与01,.,nZZZ相互独立，故nmnXX与nX相互独立。8、若12,.XX为独立随机变量，还要添加什么条件才能确保它是严平稳的随机过程？Solution:添加12,.XX，同分布的条件。9. 令 X和 Y是从单位圆内的均匀分布中随机选取一点所得的横坐标和纵坐标，试计算条件概率： P（2234XYXY）Solution: 1( ,)2xyP XYf x y dxdy( )x tcossinttcossinttcossinttcossinttP 14141414()x thcos( ()sin()ththcos( ()sin()ththcos()sin()ththP 141414()x thcos()sin()ththP 14名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - P（2234XYXY）2291435243(,)1 1142()28P XYXYrddrP XY10. 粒子依参数为 的 Poisson 分布进入计数器，两粒子到达的时间间隔T1，T2，是独立的参数为 的指数分布随机变量。记S是 0,1时段中的粒子总数，时间区间I 0,1,其长度记为 |I|.试证明 P （T1I,S=1 ） =P （T1I,T1+T21 ） , 并由此计算P(T1I|S=1)=|I|. Proof 。T1I,S=1 表明在 I 内来到了一个粒子，在0,1-I内再也没有来到粒子，也就是说第二个粒子的到来在0,1之后，即 T1+T21.(T1+T2 为第二个粒子来到的时间) 。从而PT1I,S=1=PT1 I,T1+T21 P（T1I|S=1 ）= P（T1I,S=1 ）/P(S=1) = P(T1I,T1+T21)/P(S=1) SP() =|I|e-|I|*( (1-|I|)0*e- (1-|I|)/ e- =|I| 11.X,Y 为两独立随机变量且分布相同，证明E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z).并试求基于x+y=z 的x 的最佳预报，并求出预报误差 E（x- (x+y) ）2 Proof ：因 x 与 y 独立，且分布相同，则x|x+y=z =d y|x+y=z 故 E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z) 而 E(x+y|x+y=z)=z,故 E（x|x+y=z ） =z/2 用任意的 （z）来对 x 做预报，预报误差为： E（x- （ z） ）2=E(x- E(x|x+y=z)+ E(x|x+y=z) -（ z）)2 =E(x- E(x|x+y=z)2+E(E(x|x+y=z) -（ z）)2+2E(x- E(x|x+y=z) *(E(x|x+y=z) -（z）) = E(x- E(x|x+y=z)2+E(E(x|x+y=z) -（z）)2E(x- E(x|x+y=z)2 取等号，当且仅当（z）= E（ x|x+y=z ）预报误差E（x- （x+y） ）2=E(x-z/2)212、气体分子的速度V有三个垂直分量xV，yV，zV，它们的联合分布密度依名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - Maxwell-Boltzman定律为vvvfvvvzyx321,2321TTvvv2ex p232221, 其中 k 是 Boltzman 常数， T 为绝对温度，给定分子的总动能为e. 试求分子沿x 方向的动量的绝对值的期望值。解：由于xV，yV，ZV的联合密度函数为vvvfvvvzyx321,2321TTvvv2exp2322212321TkTv2exp21.2321T. kTv2exp22.2321TkTv2exp23因此，xV，yV，ZV互相独立，且xV，yV，ZV都服从正态分布N (0 ，T) .故气体分子的总动能为22221zyxVVVmEeTm23由此可得Tm3e2 (1) 而气体沿x 方向的动量的绝对值的期望值为xVmE212Tm1v1212ex pdvTv212Tm1210112112exp2expdvTvvdvTvv2122Tm121012expdvTvv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 212Tm210212expvdTv212Tm由此及（ 1）可得xVmE21232Te13. 若独立同分布，他们服从参数的指数分布，试证：是参数为的分布，其密度函数为：Proof.=记 Y, 则 () 由矩母函数与分布函数相互唯一决定知为 分布。14. 设为相互独立的均值为和的 Poisson 随机变量。试求的分布。并计算给定时的条件分布。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - Solution. ,15. 若1X，2X，独立且有相同的以为参数的指数分布，N服从几何分布，即10,.,2,1n,-1)n(1nNP. 试求随机和NXY1ii的分布。解：,d)!1-n(t)n|y(y01-nnteNYP)y(YP=1n)ny(NYP， =)n()n|y(1nNPNYP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - =,-1d)!1-n(t11ny01-nnnte）（1ny1-n)!1-n(y-1eyf1n1-ny)!1-n(y-1e)0.(yy-1yyeee)( Ey16. 若1X，2X，独立同分布，21)1(iXP,N 与iX，i 1 独立且服从参数为的几何分布，10. 试求随机和NXY1ii的均值，方差和三、四阶矩。解：)(iXE=21121)1(=0，)(2iXE= )(iXD= 121)1(21)1(22)(3iXE= 021)1(21)1(33, )(4iXE= 121)1 (21)1(441EN，）（）（tch212121tt -tt -tieeeeEeXNXXEeENeEEEe)()n|(tgiN1iitttyy）（NE)t)(ch(11n-1)t)(ch(nnt)(ch)-1(11t)(ch0nnEyg名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2,0011sh tgtgch t2331111,01111ch tshtgtgch t注：,2tteesh tchtsh tshtch t，00,01shch17. 随机变量N服从参数为的 poisson 分布，给定 N=n,随机变量M服从以 n 和 p 为参数的二项分布，试求M的无条件概率分布。解：依题意，|1,0.1.2.n mmmnP Mm NnC Ppmn,0,1,.!nP Nnenn0,nn mP MmP Mm NnP Mm Nn|nmP Mm NnP Nn1!nn mmmnn mC PPen1!n mmnmn mpnpemnmn011!mlllnmppeml1,0,1,2.!mmppppeeemmm习题 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 1、N(t) 为 Poisson 过程，对s0 试计算 : EN(t)N(s) Solution: EN(t)N(t+s)= EN(t)N(t+s)- N(t) +N(t) = EN(t)N(t+s)- N(t)+ E N2 (t) (独立增量 ) = EN(t)EN(t+s)- N(t)+ t+( t)2 =t （s）+t+( t)2 =t+2t (t+s) 注：EN(t)= t DN(t)= t EN2(t)= t+( t)2 3、电报依平均速度为每小时3 个的 Poisson 过程到达电报局，试问：（）从早上八点到中午没收到电报的概率？（）下午第一份电报到达时间的分布是什么？注：以八点为初始时刻Solution:用 N(t) 表示在时间t 内到达的电报数，则N(t)P （t ）（） P(N(2)-N(8)=0)=( 4)0/0!) e-4=e-12（）设T为下午第一份电报到达时间，则：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - P（12Tt ）=P(N(t)-N(12)=1)=3(t-12)e-3(t-12),t 12 4.12P N为2的 possion过程，试求（1）12P N (2) 11,23P NN (3) 12 |11P NNSolution：(1) 01222222221250!1!2!P Neeee (2)11,23P NN11,212P NNN11212P NP NN22242242!eee (3)12|1112,11 /11P NNP NNP N12 /11P NP N22222122111eeeee 5. 证明概率mPtP N tm在命题 2.1 的假定（1）（4）下满足微分方程1,1,2,*mmmPtPtPtm并证明在初始条件下，0 =0mP，1,2,m的解为!m mttem。证明： （* ）的导出已在命题2.1 中给出，0tPte考虑齐次方程：( )tmmmPtP tPtce名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 采用变易系数法，tmPtc t e代入（ * ）有1tttmc t ec t ec t ePt10ttmc te Pt dt从而10ttttmmPtcee Pt dt e而000.(1,2,.),0tmPcemc从而10tttmmPte Pt dt e10tttttP teedt et e220,.2!ttttttP tet edt ee6. 一部 600 页的著作， 总共有 240 个印刷错误， 试利用 Poisson 过程近似求出连续3 页无错误的概率。 Solution：首先求出强度=240600=0.4 P(N(+3)-N()=0)=0.4 3e=1.2e(1.1) 7.N(t)是强度为的 Poisson 过程，给定N(t)=n ，试求第 r 个事件 (rn) 发生的时刻rW的条件概率密度/( )(| )rWN trfWn。Solution：(| )rf WnrW=PN(rW)=r-1,N(rW+rW)-N(rW)=1,N(t)-N(rW+rW)=n-r|N(t)=n 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - =112()()()( ()(1)!1!()!()!rrrrrnWWt WWrrrrntWWtWWeeern rten+o(rW) =1!()()(1)!()!rnrrrrrWWtWWnrnrttt+ o(rW) 从而(| )rf Wn=111()(1)rrnrrrnWWnCttt8. 令 ( )iN t，t0 ，i=1 ，2， n 为 n 个相互独立的有相同参数的 Poisson 过程，记 T 为全部 n 个过程中至少发生了一件事的时刻，试求T 的颁布。Solution: 由题意知， T=ft|1( )1niiN t P(Tx)=P(1( )0niiNx)=n xe( 利用了独立性 ) (说明在时刻经 x 前, 没有一个事件发生 ) ( )Tfx=,00,n xn exelse9考察参数为 的 Poisson 过程)(tN，若每一事件独立地以概率p 被观察到，并将观察到的过程记为)(1tN，试问：)(1tN是什么过程？)(1tNtN呢？)(1tN与)(1tNtN是否独立？011)(,)()(nntNktNPktNPknntNPntNktNP)()()(1tnknkknknentppC!)()1(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - tkknknknkettpknkp)()()1()!(1!0!)1(!)(knlltkltpekpttptkeekpt)1(!)(.3,2, 1 ,0,!)(kekpttk)(1tN为强度参数为pt的 Poisson 过程。易知)()(1tNtN为强度参数为tp)1(的 Poisson 过程。记)()()(12tNtNtN，则tpmemtpmtNP)1(2!)1()(tkmekmtkmtNPmtNktNP)!()()()(,)(21)()(21mtNPktNP故)(1tN与)(2tN不相互独立。10到达某加油站的公路上的卡车数服从强度参数为1的 Poisson 过程)(1tN，而到达的小汽车数服从参数为2的 Poisson 过程)(2tN， 且)(1tN与)(2tN独立，试问：)(1tN+)(2tN是什么过程？并计算在总车流数)(tN中卡车首先到达的概率。Solution. ntNP021,kkntNktNPkntNPktNPk201 (独立性 ) tkntkkekntekt21!201名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - tnntenttten2121!12121n=0, 1, 2, . tN为参数21的 Poisson 过程取0, 1|tinf21tNtNTntNPnNtNNNNNNPnf1,0, 1,0|2211te2121e! 1e! 01-021oententtnn2121!/!121121ottnnnn 1211!1!otttnn111211nf|tttnn0,11121111. 冲击模型（ shock model）: 记 N(t) 为某系统到某时刻t 受到的冲击次数，它是参数为的 Poisson 过程，设第k 次冲击对系统的损害大小服从参数为 的指数分布，k=1,2 ，独立同分布。记X(t) 为系统所受到的总损害，当损害超过一定的极限时，系统不能运行，寿命终止，记T 为系统寿命，试求系统的平均寿命ET，并对所得结果作出直观解释。Solution: 而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 越大，寿命越长，强度越大，受到的冲击越多，寿命越小。12令N t是强度函数为t的非齐次Poisson 过程，12,XX为事件间的时间间隔，（）iX是否独立；（）iX是否同分布；（）试求1X及2X的分布。Solution： （）根据非齐次Poisson 过程的定义，其条件（1）在不相交的区间中事件发生的数目相互独立，这说明事件间的时间间隔是相互独立的。（）因为在不同时刻，事件的来到数的分布不同，故iX的分布不相同。（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 110211221000000exp,=,=0expexpexpexpexpts tstsXsss tssP XtP N tu duP XtXsPs stXsPs stP N tsN su duP XtP XtXs ps dsu dusu dudsu dusu duds中事件不发生中事件不发生独立增量性13. 考虑对所有t, 强度函数（t ）均大于0 的非齐次Poisson 过程，0),(ttN令)( l0)(tduutm,tm的反函数为tl, 记为tNtN1, 试证tN1是通常的poisson 过程，试求tN1. 证明：ttlmtml( )0( )( ( )l tu dum l tt)(exp!)(0)()( l01tduuktlduuktlNpktNpk易知：=114. 设 N(t) 为更新过程，试判断下述命题的真伪：（1）N(t)t （2）N(t) kWkt （3）N(t)kWktSohction根据更新过程定义：:maxtWntNn，0,01WXiWnin. （2） （3）为真命题， （1）为假命题 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -