2022年隐函数的极值求法 .pdf
第 30卷第 3 期高 师 理 科 学 刊Vol. 30No.32010 年5 月Journal of Science of TeachersCollege and UniversityMay2010文章编号： 1007- 9831（2010） 03- 0017- 03隐 函 数 的 极 值 求 法冯秀红（南京信息工程大学数理学院，江苏南京 210044 ）摘要：高等数学教材中讨论了一元显函数的极值问题，给出了判断函数极值的2 个充分条件基于这 2 个充分条件研究了隐函数的极值由于隐函数很多都不是单值函数，所以它的导数不存在的点也可能是导数等于零的点，因此把隐函数的特殊点分为3 类，然后分别判断它们是否为极值点，这样丰富了函数的极值理论关键词：极值；隐函数；导数中图分类号： O172.1文献标识码： Adoi： 10.3969/j.issn.1007- 9831.2010.03.006在高等数学一元函数极值理论中，讨论的都是一元显函数的极值问题，对于隐函数的极值也有研究，文献 1利用隐函数的对称性及第一、第二充分条件来判断隐函数的极值，文献2只简单地给出了一元隐函数与多元隐函数的极值判断方法，不够系统. 由于很多隐函数不是单值函数，所以很多书中都不涉及此内容，有的教科书会有12 个隐函数的例子却只讨论其部分点3，很多学生迷惑不解，本文主要讨论一元隐函数的极值问题首先给出关于极值理论的2 个定理 .定理 1（极值第一充分条件）4设函数)(xf在0 x 处连续，在0 x 的某邻域),(0 xUo内可导（1）若当),(00 xxUx时，0)( xf，而当),(00+xxUx时，0)( xf，则)(xf在0 x 取极大值；（2）若当),(00 xxUx时，0)( xf，则)(xf在0 x 取极小值；（3）若当),(0 xUxo时，)(xf的符号不变，则)( xf在0 x 处没有极值定理 2（极值第二充分条件）5设函数)(xf在0 x 处具有二阶导数，且.0)(,0)(00=xfxf（1）若0)(0 xf，则)(xf在0 x 取极小值；（2）若0)(0 xf，则)(xf在0 x 取极大值对于显函数)(xfy =的极值求解步骤如下：（1）对函数求导：)( xfy=；（2）求出函数的定义域内2 类特殊的点：导数等于零的点（驻点）以及导数不存在的点；（3）对于（ 2）中求出的点用极值第一或第二充分条件判断是否为函数的极值点，进而求出极值对于隐函数的极值求解，首先考察3 个例子例 1设函数)( xfy =是由方程122=+ yx确定，试求出)(xf的极值解方程两边对x 求导得0=+yyx，化简得.yxy =令0=y，得0=x，代入原方程122=+ yx，得11=y，12=y0=y是 y不存在的点，代入方程收稿日期：基金项目：江苏省高校自然科学基金（K D） ；南京信息工程大学科研基金资助项目（5）作者简介：冯秀红（） ，女，山西运城人，讲师，博士，从事微分几何研究： fx6 632009- 12- 2007J 11012720070121978-E- maileng 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 18高 师 理 科 学 刊第 30卷122=+ yx，得, 11=x12=x对于0=x，利用极值的第二充分条件0,1|0,1=）（y，所以)(xfy =在0=x取得极小值, 1)0(=f也取得极大值1)0(=f对于0=y， 当11=x时，对于11=x的很小的邻域内的x，由方程对应有0y和0y和0=），（y， 所 以)(xf在2=x取 得极 小 值.2)2(=f对于0,423=yx，若0=y是函数的极小 （或极大） 值，则存在，当),42(3oUx时，0y（或0y时函数单调递增（当0y和0=+aaxyyx确定，试求出)(xf的极值解方程0333=+axyyx两边对求导得022=+yaxayyyx，化简得axyxayy =22令0=y，即2xay =，代入方程0333=+axyyx解得ayax31314,2=；0, 022=yx y 不存在的点，即2yax =， 代入方程0333=+axyyx解得ayax33332,4=；0,044=yx对于ayax31314,2=，利用极值的第二充分条件：02|11,y和0（或ay32时函数是单调的（当ay32和ay32的函数的单调性，总之ax334=不是函数的极值点通过例 13，对于隐函数0),(=yxF确定的函数的极值求解步骤归纳如下：（1）利用隐函数求导方法求出),(),(yxgyxfy =（2）求出函数的定义域内特殊的点：导数等于零的点（驻点），即0),(, 0),(=yxgyxf的点；导数不存在的点0),(,0),(=yxgyxf的点；有的隐函数还存在同时既是导数等于零的点又是导数不存在的点（如例 3 中的)0,0(点） ，即0),(, 0),(=yxgyxf的点（3）对于0),(,0),(=yxgyxf的点一般用第二充分条件判断；对于0),(,0),(=yxgyxf的点可用反证法说明或从函数方程来考虑，对于),(,),(=yxyxf的点只能从函数本身来考虑00g名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 第 3 期冯秀红：隐函数的极值求法19参考文献：1 朱明刚浅谈隐函数极值的求法J成都教育学院学报，2001，15（5） ：72-732 陆健隐函数的极值J科技信息：高校理科研究，2008（25） ：2233 王顺凤，夏大峰，朱凤琴，等高等数学M北京：清华大学出版社，2009：143- 1474 同济大学应用数学系高等数学M北京：高等教育出版社，2008：152- 1565 华东师范大学数学系数学分析M北京：高等教育出版社，2001：142- 144Method on extremum of implicitfunctionFENG Xiu- hong（School of Mathematics and Science ， Nanjing Universityof Information Science and Technology ， Nanjing 210044， China ）Abstract：In higher mathematicsboo k， it give two sufficient condition to judge extremeof explicit function. Gave themethodaboutextremum of implicit function basedon above twotheorem，most of implicit function is not monodromefunction，so the point have no derivative maybealso satisfy derivative equal to zero，then special point of implicitfunction bedivided into threeclasses ， wethink aboutthem respectively. Thus enrich the extremum theory.Key words：extremum；implicit function； differential coefficient（上接第 16页）7Yu Yong， Xu Chunxiang An efficient anonymousproxy signatureschemewith provablesecurityJ ComputerStandards&Interfaces ，2009（31） ：348- 353.8 SusiloWProvably securefail- stopsignatureschemesbasedon RSAJInternational Journalof Wireless and Mobile Computer，2005，1（1） ：53- 60.9 Susilo WShort fail- stop signatureschemebased on factorization and discrete logarithm assumptionsJ Theoretical ComputerScience，2009，410（8） ：736- 744.10 章照止现代密码学基础M北京：北京邮电大学出版社，200411 郑卓，陆洪文 . 一种基于双线性对的新型门限盲签名方案J. 计算机工程与应用，2005（34） ：114- 116.12 SusiloW，GysinM，SeberryJ，etalA newandefficient fail- stopsignatureschemeJ TheComputerjournal，2000，43（5） ：430- 437.A new Fail- stop blind signature schemeHE Jin-ni，XIN Xiao- long（ Department of Mathematic ， Northwest University ， Xi an 710127 ， China）Abstract： By usingof the GDH group sfeatureswhich DDHP cansolved in polynomial time， and without anypossiblealgo rithm to solve CDHP， combined with blind signatures and Fail- stop signature scheme ， put forward a newFail- stop blind signature scheme，and analysedthe proposedscheme ssafety andefficiency simply.Key words：Fail- stop； blind signature； GDH group名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -
