09-16年上海黄浦区数学一模考点汇编及试卷.docx

2021-2021 年黄浦区数学一模考点汇编&试卷2009 年上海市黄浦区一模数学试卷2010 年上海市黄浦区一模数学试卷选择题题号考察知识点考察知识点1锐角三角函数的定义及应用三角形的重心的概念2单位向量的定义平面向量3求抛物线的顶点坐标和对称轴的方法解直角三角形4根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系5相似三角形的判定方法及各三角形的性质相似图形的定义6直角三角形中锐角三角函数的定义及互余两角三角函数值的关系抛物线的平移、二次函数图象与几何变换填空题7分式的求值比例的性质8向量的模的运算平面向量9相似三角形的性质平行线分线段成比例定理10相似三角形的性质平面向量11黄金分割点的概念相似三角形的性质12二次函数的性质锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理13抛物线解析式的确定同角三角函数的关系14二次函数图象上点的坐标特征二次函数的性质15同角的正切与余切互为倒数二次函数关系式16特殊角三角函数值计算二次函数图象上点的坐标特征17求三角函数值相似三角形的判定与性质18平行线分线段成比例定理以及重心的概念和性质锐角三角函数的定义；线段垂直平分线的性质解答题19梯形的性质根的判别式；根与系数的关系20直角三角形中三角函数的应用待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何 变换21待定系数法求二次函数解直角三角形和勾股定理的应用22三角函数值求解解直角三角形的应用-坡度坡角问题23平行四边形的性质及相似三角形的判定相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；锐角三 角函数的定义24二次函数解析式的确定、抛物线顶点坐标的求法、相似三角形的判定和性质二次函数的综合应用25梯形的性质、相似三角形与全等三角形的判定和性质以及解直角三角形相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形 的判定与性质；直角梯形2011 年上海市黄浦区一模数学试卷2012 年上海市黄浦区一模数学试卷选择题题号考察知识点考察知识点1相似三角形的判定特殊角的三角函数值2锐角三角函数的定义相似三角形的性质3二次函数图象与系数的关系二次函数图象的性质与系数的关系4根与系数的关系二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质5平面向量平面向量6解直角三角形的应用-方向角问题平行线分线段成比例填空题7分式的基本性质平面向量8三角形面积的求法特殊角的三角函数值9平行线分线段成比例二次函数图象与几何变换10相似三角形的判定与性质解直角三角形的应用-仰角俯角问题11相似三角形的判定与性质二次函数的性质12三角函数的应用比例线段13特殊角的三角函数值解直角三角形的应用-坡度坡角问题14解直角三角形的应用-仰角俯角问题锐角三角函数的定义；坐标与图形性质15相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质16二次函数图象与几何变换相似三角形的判定与性质17二次函数图象上点的坐标特征相似三角形的性质；勾股定理18一元一次方程的应用翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和比例的性质解答题19解直角三角形平行线分线段成比例20待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式21平面向量；平行线分线段成比例相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定 义22相似三角形的判定和解直角三角形平行线分线段成比例23锐角三角函数的定义；勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题24二次函数综合题二次函数的综合题25相似三角形的判定与性质；直角梯形相似三角形的判定与性质；矩形的性质2013 年上海市黄浦区一模数学试卷2014 年上海市黄浦区一模数学试卷选择题题号考察知识点考察知识点1相似三角形的性质二次函数的性质、求抛物线的顶对称轴2方向角；线段垂直平分线的性质二次函数的图象：开口方向、对称轴、顶点坐标3二次函数的图象与几何变换相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质4相似三角形的判定；勾股定理解直角三角形的应用-坡度坡角问题5抛物线与坐标轴的交点坐标相似三角形的判定6相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义锐角三角形函数的定义，三角形内角和定理的应 用填空题7分式的求值比例线段8平面向量平面向量9相似三角形的性质平行线分线段成比例10解直角三角形；坐标与图形性质二次函数图象与几何变换11解直角三角形的应用-坡度坡角问题二次函数的性质；二次函数的定义12二次函数的性质二次函数的性质13二次函数图象与系数的关系三角形的重心14根与系数的关系锐角三角函数的定义；勾股定理15二次函数图象上点的坐标特征相似三角形的判定与性质16二次函数图象上点的坐标特征相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次 函数关系式17相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义抛物线与 x 轴的交点18几何变换综合题翻折变换（折叠问题）解答题19特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值20平面向量；平行四边形的性质待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质21待定系数法求二次函数解析式；抛物线与 x轴的交点相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例22相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义解直角三角形的应用-方向角问题23相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角函数的定义平面向量24二次函数的综合应用以及两函数交点坐标求法和相似三角形的判定与性质二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交 点的求法，相似三角形的判定与性质，锐角三角 形函数25相似形综合题：等腰梯形的性质，勾股定理， 相似三角形的判定与性质相似形综合题：相似三角形的判定与性质，勾股 定理，锐角三角函数定义，以及平行线的性质2015 年上海市黄浦区一模数学试卷2016 年上海市黄浦区一模数学试卷选择题题号考察知识点考察知识点1锐角三角函数的定义相似三角形的性质2二次函数图象与系数的关系比例线段3平面向量平面向量4平行线分线段成比例锐角三角函数的定义；坐标与图形性质5二次函数图象上点的坐标特征二次函数的定义6相似三角形的判定与性质相似三角形的判定填空题7比例的性质特殊角的三角函数值8特殊角的三角函数值比例的性质9二次函数图象与几何变换平面向量10二次函数的性质锐角三角函数的定义11平行线分线段成比例平行线分线段成比例12相似三角形的判定与性质平面向量13解直角三角形的应用-坡度坡角问题三角形的重心14锐角三角函数的定义相似三角形的判定与性质15正多边形和圆解直角三角形的应用-坡度坡角问题16直线与圆的位置关系；坐标与图形性质解直角三角形17点与圆的位置关系二次函数图象与几何变换18梯形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定 与性质解答题19平面向量的运算与作法特殊角的三角函数值20待定系数法求函数解析式，以及利用配方法求得顶点坐标平行线分线段成比例21垂径定理；角平分线的性质；勾股定理二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次 函数解析式22解直角三角形的应用-仰角俯角问题相似三角形的判定与性质23相似三角形的判定与性质解直角三角形的应用24二次函数综合题：勾股定理，相似三角形， 三角形面积二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用正切函数值相等的两锐角相等；勾股定理25四边形综合题：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质， 以及全等三角形的判定与性质相似形综合题：等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，相似三角形的判定与性质2009 年上海市黄浦区中考数学一模试卷一、选择题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）1（4 分）已知在ABC 中，C=90°，A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，则 tanA的值是（）A B C D2（4 分）若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是（）A B C D3（4 分）二次函数 y=x22x1 图象的对称轴是直线（）Ax=1 Bx=2 Cx=1Dx=24（4 分）若 x1、x2 是方程 x23x2=0 的两个实数根，则 x1+x2 的值为（）A3B2C3 D25（4 分）下列命题中，真命题的个数是（）（1）等腰三角形都相似；（2）直角三角形都相似；（3）等腰直角三角形都相似A0B1C2D36（4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，3），AO 与 y 轴正半轴所成的夹角为，则 sin的值为（）A3 CD二、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分）7（4 分）若，则= 8（4 分）已知，则= 9（4 分）若两个相似三角形的面积之比为 4：9，则这两个相似三角形的周长之比为 10（4 分）如图，D、E 是ABC 边 AB、AC 上的两点，且 DEBC，AD：DB=1：2，则DE：BC=11（4 分）已知线段 AB 的长为 2，P 是线段 AB 的一个黄金分割点，且 PAPB，则 PA 的长为 12（4 分）若二次函数 y=x23x+k 的图象与 x 轴有公共点，则实数 k 的取值范围是 13（4 分）将二次函数 y=x2+2 的图象沿 y 轴方向向下平移 3 个单位，则所得图象的函数解析式是 14（4 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下，对称轴为直线 x=1，若点 A（1，y1）与B（2，y2）是此抛物线上的两点，则 y1 y215（4 分）已知为锐角，且，则 cot= 16（4 分）计算：cos245°= 17（4 分）如图，在ABC 中，ACB=90°，AC=4，BC=3，O 是边 AB 的中点，则 sinOCB=18（4 分）如图，在ABC 中，BC=6，G 是ABC 的重心，过 G 作边 BC 的平行线交 AC于点 H，则 GH 的长为 三、解答题（共 7 小题，满分 78 分）19（10 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD=3，BC=5，E、F 是两腰上的点，且EFAD，AE：EB=1：2，试求 EF 的长20（10 分）如图，在ABC 中，AD 是边 BC 上的高，已知 求（1）AD 的长；（2）ABC 的面积21（10 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴是直线 x=1，且图象过点 A（3，0）和点 B（2，5），求此函数的解析式22（10 分）在湖心有一座小塔，小明想知道这座塔的高度，于是他在岸边架起了测角仪他测量得数据如下（如图示）：测角仪位置（P）距水平面（l）的距离为 1.5 米（即 OP），测得塔顶 A 的仰角为（其中 tan=），测得塔顶在水中倒影 A（1你根据上述数据求出这座塔的高度（即 AB）即 AB=A1B）的俯角为 30°请23（12 分）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，AC=CD（1）求证：D=ACB；（2）若点 E、F 分别为边 BC、CD 上的两点，且EAF=CAD（如图 2）求证：ADFACE；求证：AE=EF24（12 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（3，0），B（1，0），C（0，3）（1）求此函数的解析式；（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为 y=a（x+m）2+k 的形式，并写出其顶点坐标；（3）在线段 AC 上是否存在点 P（不含 A、C 两点），使ABP 与ABC 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由25（14 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB=2，AD=4，tanC= ，ADC=DAB=90°，P 是腰 BC 上一个动点（不含点 B、C），作 PQAP 交 CD 于点 Q（图 1）（1）求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积；（2）当 PQ=DQ 时，求 BP 的长；（图 2）（3）设 BP=x，CQ=y，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域2009 年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）1（4 分）（2009黄浦区一模）已知在ABC 中，C=90°，A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，则 tanA 的值是（）A B C D【考点】锐角三角函数的定义【分析】根据题意画出图形，再根据 解答即可【解答】解：如图所示：RtABC 中，C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，tanA= 故选 B【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边2（4 分）（2010徐汇区一模）若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是（）A B C D【考点】*平面向量【分析】根据单位向量的定义，因为向 与均为单位向量，可得出 |=1，|=1，即|=|【解答】解：由向量的定义可知：向 与均为单位向量，可得 |=1，|=1， 即 |=|故选 D【点评】此题主要考查了单位向量的定义，以及其性质，此类型题目是本部分基础题目，应 注意正确的掌握其性质3（4 分）（2009黄浦区一模）二次函数 y=x22x1 图象的对称轴是直线（）Ax=1 Bx=2 Cx=1Dx=2【考点】二次函数的性质【分析】利用抛物线顶点坐标公式先求出顶点坐标，然后即可求出关于 x 轴对称的点的坐标【解答】解：抛物线的对称轴是直线 =1 故选 A【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标和对称轴的方法4（4 分）（2009黄浦区一模）若 x1、x2 是方程 x23x2=0 的两个实数根，则 x1+x2 的值为（）A3B2C3 D2【考点】根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系可直接求出 x1+x2 的值【解答】解：根据题意得 =3 故选 A【点评】一元二次方程的两个根 x1、x2 具有这样的关系，x1x2=5（4 分）（2009黄浦区一模）下列命题中，真命题的个数是（）（1）等腰三角形都相似；（2）直角三角形都相似；（3）等腰直角三角形都相似A0B1C2D3【考点】相似三角形的判定；命题与定理【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析，从而得到答案【解答】解：A、没有指明角相等或边对应成比例，所以不能判定其相似，故不正确；B、没有指明角相等或对应边成比例，所以不能判定其相似，故不正确；C、等腰直角三角形有三组角对应相等，故可判定相似，故正确； 所以 B 为真命题，故选 B【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用6（4 分）（2009黄浦区一模）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，3），AO与 y 轴正半轴所成的夹角为，则 sin的值为（）A3 CD【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质【分析】过 A 向 x 轴作垂线，垂足为 B，根据 A 点的坐标及勾股定理可求出 OA 的值，再根据互余两角的三角函数值求出 sin的值即可【解答】解：过 A 向 x 轴作垂线，垂足为 B，因为 A（1，3），即 OB=1，AB=3，所以 OA=，=由锐角三角函数的定义可知，cos1=，因为1+=90°，所以 sin=cos1=故选 C【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知直角三角形中锐角三角函数的定义及互余两 角三角函数值的关系二、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分）7（4 分）（2009黄浦区一模）若，则= 2【考点】比例的性质【分析】 ，则 x=3y，代入所求式子即可求解【解答】解 x=3y=2【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把 x，y 这两个未知数用一个未知数表示出来， 消元是解决本题的基本思想8（4 分）（2009黄浦区一模）已知，则= 6【考点】*平面向量【分析】根据向量的模的运算法则计算即可【解答】解 =|3|=3×2=6 故答案为：6【点评】此题考查了向量的模的运算：向量 a 与实数的乘积记作a，规定a 是一个向量，它的模|a|=|a|，它的方向当0 时与 a 相同，当0 时与 a 相反9（4 分）（2009黄浦区一模）若两个相似三角形的面积之比为 4：9，则这两个相似三角形的周长之比为 2：3【考点】相似三角形的性质【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即 可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解【解答】解：两个相似三角形的面积之比为 4：9，两个相似三角形的相似比为 2：3，这两个相似三角形的周长之比为 2：3【点评】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相 似比的平方10（4 分）（2009黄浦区一模）如图，D、E 是ABC 边 AB、AC 上的两点，且 DEBC，AD：DB=1：2，则 DE：BC= 1：3【考点】相似三角形的判定与性质【分析】根据 AD、BD 的比例关系，可求得 AD、AB 的比例关系式；由于 DEBC，易证得ADEABC，根据相似三角形的对应边成比例即可求得 DE、BC 的比例关系【解答】解：AD：BD=1：2，AD：AB=1：3；DEBC，ADEABC；DE：BC=AD：AB=1：3【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例11（4 分）（2009黄浦区一模）已知线段 AB 的长为 2，P 是线段 AB 的一个黄金分割点，且 PAPB，则 PA 的长为 【考点】黄金分割【分析】根据黄金分割点的定义，知 PA 是较短线段；则 ）即可得出PA 的值【解答】解：由于 P 为线段 AB=2 的黄金分割点， 且 PAPB，则 PA=2（1 故本题答案为：3【点评】理解黄金分割点的概念熟记黄金比的值进行计算12（4 分）（2009黄浦区一模）若二次函数 y=x23x+k 的图象与 x 轴有公共点，则实数 k的取值范围是 【考点】抛物线与 x 轴的交点【分析】根据 b24ac 与零的关系即可判断出二次函数 y=x22x+1 的图象与 x 轴交点的个数【解答】解：根据题意，得=b24ac0，即（3）24×1×k0，解得 k【点评】考查二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的个数的判断13（4 分）（2013闵行区三模）将二次函数 y=x2+2 的图象沿 y 轴方向向下平移 3 个单位，则所得图象的函数解析式是y=x21【考点】二次函数图象与几何变换【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解 析式【解答】解：原抛物线的顶点为（0，2），沿 y 轴方向向下平移 3 个单位，那么新抛物线的顶点为（0，1）；可设新抛物线的解析式为 y=（xh）2+k，代入得：y=x21【点评】抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标14（4 分）（2012中ft区一模）已知抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下，对称轴为直线 x=1，若点 A（1，y1）与 B（2，y2）是此抛物线上的两点，则 y1 y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】抛物线开口向下，且对称轴为 x=1，两点都在抛物线的左半边，x 和 y 的值是递增关系【解答】解：抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下，抛物线的左半边 x 和 y 的值是递增关系抛物线的对称轴为直线 x=1，点 A（1，y1）与 B（2，y2）是此抛物线上的两点，点 A（1，y1）与 B（2，y2）是此抛物线的左半边12，y1y2【点评】主要考查学生掌握二次函数图象上点的坐标特征15（4 分）（2009黄浦区一模）已知为锐角，且，则 cot= 2【考点】同角三角函数的关系【分析】根据同角的正切与余切互为倒数解答【解答】解 ，cot=2【点评】本题主要考查同角的正切与余切互为倒数，需要熟记16（4 分）（2011武汉模拟）计算：cos245°= 【考点】特殊角的三角函数值【分析】运用特殊角三角函数值计算【解答】解：原式=（）2= = 【点评】此题比较简单，只要熟知特殊角度的三角函数值即可17（4 分）（2009黄浦区一模）如图，在ABC 中，ACB=90°，AC=4，BC=3，O 是边AB 的中点，则 sinOCB= 【考点】解直角三角形【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半可知，OCB=B，则求 sinOCB 的值只需求得 sinB 的值即可；在直角三角形 ABC 中根据勾股定理可以求 AB，运用三角函数的定义求 sinB 的值【解答】解：在ABC 中，ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5O 是 AB 的中点，OC=OB，OCB=B，则 sinOCB=sinBsinB=，sinOCB=【点评】本题考查了灵活运用相等关系求三角函数值18（4 分）（2009黄浦区一模）如图，在ABC 中，BC=6，G 是ABC 的重心，过 G 作边 BC 的平行线交 AC 于点 H，则 GH 的长为 2【考点】三角形的重心【分析】连接 AG，并延长 AG 交 BC 于 D；根据重心的性质知：D 是 BC 中点，且 AG：AD=2：3；可根据平行线分线段成比例定理得出的线段比例关系式及 CD 的长求出 GH 的值【解答】解：如图，连接 AG，并延长 AG 交 BC 于 D；G 是ABC 的重心，AG：GD=2：3，且 D 是 BC 的中点；GHBC，=；CD=BC=3，GH=2【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理以及重心的概念和性质：三角形的重心是三角 形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍三、解答题（共 7 小题，满分 78 分）19（10 分）（2009黄浦区一模）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD=3，BC=5，E、F是两腰上的点，且 EFAD，AE：EB=1：2，试求 EF 的长【考点】梯形；平行线分线段成比例【分析】作 AMCD 交 BC、EF 于 M、N 两点，将问题转化到ABM 中，利用平行线分线段成比例定理求 EN，由 EF=EN+NF=EN+AD 进行求解【解答】解：作 AMCD 交 BC、EF 于 M、N 两点，（1 分）又 ADBC，EFAD，四边形 ADCM 与 ADFE 均为平行四边形（2 分）CM=NF=AD=3，（1 分）BM=BCCM=2（1 分）又，（2 分）（2 分）（1 分）【点评】本题考查了将梯形问题转化为三角形的问题的方法，即平移一腰，是常用的作辅助 线的方法之一20（10 分）（2009黄浦区一模）如图，在ABC 中，AD 是边 BC 上的高，已知求（1）AD 的长；（2）ABC 的面积【考点】解直角三角形【分析】（1）在 RtADC 中，sinC=AD：AC=4：5，又 AC=10，根据三角函数的定义即可求出 AD 的长；（2）利用（1）的结论可以求出 CD，然后在 RtABD 中，AD=8，tanB=2，利用三角函数的定义可以求出 BD，也就求出了 BC，再利用三角形的面积公式就可以求出ABC 的面积【解答】解：（1）在 RtADC 中，（1 分）AD=ACsinC=8；（2） ，在 RtABD 中，AD=8，tanB=2，BC=BD+DC=10，【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系21（10 分）（2009黄浦区一模）已知二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴是直线 x=1，且图象过点 A（3，0）和点 B（2，5），求此函数的解析式【考点】待定系数法求二次函数解析式【分析】由于对称轴是直线 x=1，且图象过点 A（3，0）和点 B（2，5），利用顶点公式用待定系数法得到二次函数的解析式【解答】解：由题意得：，（2+2+2=6 分）解得（1+1+1=3 分）此函数解析式为 y=x22x3（1 分）【点评】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法 设出关系式，从而代入数值求解22（10 分）（2009黄浦区一模）在湖心有一座小塔，小明想知道这座塔的高度，于是他在岸边架起了测角仪他测量得数据如下（如图示）：测角仪位置（P）距水平面（l）的距离为 1.5 米（即 OP），测得塔顶 A 的仰角为（其中 tan=），测得塔顶在水中倒影 A1（即AB=A1B）的俯角为 30°请你根据上述数据求出这座塔的高度（即 AB）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】易得 HB=OP，构造仰角和俯角所在的直角三角形，可利用 AH 表示出 PH 长，进而利用 30°的正切值表示出 A1H，利用 AB=A1B 即可求得 AH 长，加上 BH 值即为塔的高度【解答】解：作 PHAB 交 AB 于点 H由题意可知：四边形 OPBH 为矩形，HB=OP=1.5在 RtAPH 中 ， 令 AH=k，PH=3k在 RtA1PH 中，A1PH=30°，A1H=PHtan30°=，又 AB=A1B，得：， 解得：，AB=AH+HB=3+（米）答：这座塔的高度是（）米【点评】两个直角三角形共边，应充分利用这边利用相应的三角函数值求解23（12 分）（2009黄浦区一模）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，AC=CD（1）求证：D=ACB；（2）若点 E、F 分别为边 BC、CD 上的两点，且EAF=CAD（如图 2）求证：ADFACE；求证：AE=EF【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的性质；平行四边形的性质【分析】（1）根据平行四边形的性质可得到BCA=CAB，由等边对等角可得到CAD=D，根据平行四边形的性质利用 SAS 可判定BCADAC，由全等三角形的性质即可得到结论（2）根据两组边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似即可得到结论由ADFACE 可得到对应边成比例，已知EAF=CAD 从而可推出AEFACD，已知 AC=CD，根据对应成比例不难得到结论【解答】证明：（1）AC=CD，D=CAD（1 分）平行四边形 ABCD，ADBCCAD=ACB（1 分）D=ACB（1 分）（2）EAF=CAD，DAF=CAE（2 分）又D=ACB，（1 分）ADFACE（2 分）ADFACE，（1 分）EAF=CAD，AEFACD（1 分）（1 分） 又AC=CD，AE=EF（1 分）【点评】此题主要考查学生对平行四边形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用24（12 分）（2009黄浦区一模）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（3，0），B（1，0），C（0，3）（1）求此函数的解析式；（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为 y=a（x+m）2+k 的形式，并写出其顶点坐标；（3）在线段 AC 上是否存在点 P（不含 A、C 两点），使ABP 与ABC 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）已知了抛物线图象上三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用配方法将抛物线解析式化为顶点式，然后求出其顶点坐标；（3）可分两种情况：ABPABC，此时 AB：AB=AP：AC，P、C 重合，此种情况不合题意；ABPACB，得 AB：AC=AP：AB，由此可求出 AP 的长；易求得直线 AC 的解析式，可根据直线 AC 的解析式设出 P 点的坐标，再由 AP 的长求出 P点的坐标【解答】解：（1）由题意得：，（2 分）解得：；（1 分）此函数解析式为 y=x2+2x+3；（1 分）（2）y=x2+2x+3=（x22x+1）+3+1（2 分）=（x1）2+4；（1 分）顶点为（1，4）；（1 分）（3）假设存在点 P，使ABP 与ABC 相似，则或；当时，AP=AC；（不合题意，舍去）（1 分）当时，；（1 分）由题意易得直线 AC 的解析式为：y=x+3， 设 P（x，x+3），其中 0x3，则，解得：（舍去）；（1 分）（1 分）【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、抛物线顶点坐标的求法、相似三角形的判定和 性质等知识；需注意的是（3）题在不确定相似三角形对应边和对应角的情况下，要分类讨论，以免漏解25（14 分）（2009黄浦区一模）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB=2，AD=4，tanC=，ADC=DAB=90°，P 是腰 BC 上一个动点（不含点 B、C），作 PQAP 交 CD 于点 Q（图 1）（1）求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积；（2）当 PQ=DQ 时，求 BP 的长；（图 2）（3）设 BP=x，CQ=y，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域【考点】梯形；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【分析】（1）过 B 作 BHCD 于 H，在 RtBHC 中，根据 BH（即 AD）的长及C 的正切值，可求得 CH 的长，进而可根据勾股定理求得 BC 的长；得到 CH 的长，由CD=DH+CH=AB+CH 即可得到 CD 的长，根据梯形的面积公式可求出梯形 ABCD 的面积；（2）当 PQ=DQ 时，连接 AQ，易证得ADQAPQ，则 AD=AP=4；过 P 作 PEAB 于E，不难得出C=PBE；可根据PBE 的正切值，用未知数表示出 BE、PE 的长，进而在RtAPE 中，由勾股定理求得未知数的值，进而可在 RtBPE 中求出 BP 的长；（3）过 P 作 PFD 于 F，由于APQ=90°，易证得AEPPFQ，根据得到的比例线段即可用 x 表示出 QF 的长，进而可在 RtPFC 中，根据C 的正切值用 x 表示出 CF 的长； 由 CQ=QF+CF 即可得到 y、x 的函数关系式【解答】解：（1）作 BHCD，垂足为 H，（1 分）则四边形 ABHD 为矩形；BH=DA=4，DH=AB=2；（1 分）在 RtBCH 中，（1 分）；（1 分）又 CD=CH+DH=5，S 梯形 ABCD=；（1+1=2 分）（2）连接 AQ，由 DQ=PQ，可知ADQAPQ，AP=AD=4；（1 分）作 PEAB 交 AB 的延长线于点 E，（1 分）在 RtBPE 中，