2022年高三数学《一题多解一题多变》试题及详解答案..docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高三一题多解一题多变题目一题多解 一题多变（一）原题：f x = mx 2+ 8 x + 4 的定义域为 R,求 m 的取值范畴解：由题意 mx 2+ 8 x + 40 在 R 上恒成立m 0 且 0,得 m 4变 1：f x = log 3 mx 2 + 8 x + 4 的定义域为 R,求 m 的取值范畴解：由题意 mx 2+ 8 x + 4 > 0 在 R 上恒成立m 0 且 < 0,得 m > 4变 2：f x = log 3 mx 2+ 8 x + 4 的值域为 R,求 m 的取值范畴解：令 t = mx 2+ 8 x + 4,就要求 t 能取到全部大于 0 的实数,当 m 0 时,t 能取到全部大于 0 的实数当 m 0 时,m > 0 且0 . 0 m40 m 42变 3：f x = log 3 mx +2 8 x + n的定义域为 R,值域为 0, 2 ,求 m,n 的值x + 12解：由题意,令 y = mx +2 8 x + n 1 , 9 ,得（y-m）x 2-8 x y-n 0x + 1y m 时,0 y 2- m n y mn-16 0- 1 和 9 时 y 2- m + n y + mn-16 = 0 的两个根m = n = 5n-m当 y = m 时,x = = 0 x R,也符合题意8m = n = 5一 题 多 解- 解不等式3<2x-3<5解法一：依据肯定值的定义,进行分类争论求解名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）当2x-30优秀学习资料欢迎下载2x-3<5.3< x<4时,不等式可化为3<（2）当2x-3<0时,不等式可化为3<-2x+3<5.-1<x<0 x3<x<4 或-1<x<0综上：解集为解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于2x-3>3 且2 x-3<5.3<x<4 或1<x<0综上：解集为 x3<x<4 或-1 <x<0解法三：利用等价命题法原不等式等价于3<2x-3<5 或-5<2x-3<-3,即3<x<4或-1<x<0解集为 x3<x<4 或-1 <x<0解法四：利用肯定值的集合意义原不等式可化为3<x-3<5,不等式的几何意义时数轴上的点-x 到3的距离大于22221<x<03 ,且小于 2 5 ,由图得,解集为 x3<x<4 或一题多解一题多变（二）名师归纳总结 a2,已知s 是等比数列的前n 想项和,s3,s 6,s 9成等差数列,求证：第 2 页,共 36 页a5,a8成等差数列n,法一：用公式s n=a 1 1 一q1 一q- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于s3,s 6,s 9优秀学习资料s 3+欢迎下载且q1就成等差数列,所以s6=2s 9a 1 1 一q3+a 1 1 一q6=2 a 1 1 一9 q.q3+q6=2 q9q1 .1 +q3=26 q1 一q1 一q1 一q所以a2+a 5=a 1q+a 1q4=a1 q2 q6=2a 1q7=2a8+a 1一a6q=2a 1一a9q所以a2,a5,a8成等差数列a 1一a3q法二用公式s n=a 1一anq,s 3+s 6=2s 9,1 一q1 一q1 一q1 一q就a3+a6=2 a9.a2q+a5q=2a 8q.a2+a5=2a8,所以a2,a 5,a8成等差数列s 9=证法三：（用公式s2n=sn1 +qn,s3n=sn 1+qn+q2n）6q3s 3s6=s 3+a4+a5+a6=s3+a1+a2+a3q3= 1+s31 +q3+q6s 3+s 6=2s9.s 3+s 31 +q3=2s 3 1+q3+q名师归纳总结 解得q3=一1（下略）第 3 页,共 36 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载变题：sin已知sin=4且 是其次象限角,求tan2角,5解：是第二象限=4.cos =一1 一sin2=一3,tan=一4553=4 5,求tan变 1：sin解：sin=4 > 50,所以 是第一或其次象限角如是第一象限角,就cos =3,tan=453如是其次象限角,就cos =一4,tan=一453变 2：已知sin=mm>0 求tan解：由条件0< m1,所以当0< m<1时, 是第一或其次象限角如是第一象限角时cos=1 一m2,tan=m21 一m如是其次象限角cos=一1 一m2,tan=一m1 一m当m=1时tan 不存在变 3：已知sin=mm1 ,求tan 名师归纳总结 解：当m=1 一1时,tan 不存在tan=m2第 4 页,共 36 页当m=0时,tan=0当 时第一、第四象限角时,1 一m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载tan=一m2当 是其次、第三象限角时,1 一m一题多解 一题多变（三）题目：求函数fx =x+1 x x0 的值域2方法一：判别式法- 设y=x+1,就x2-yx+1=0,由 =y2-40.yx当y=2时,x -2x+1=0. x=1, 因此当x=1时,fx =x+1 x x0 有最小值 2,即值域为 2 , + 方法二：单调性法先判定函数 f x = x + 1 x 0 的单调性x x 1-x 2 x 1 x 2-1 任取 0 x 1 x 2,就 f x 1 -f x 2 =x 1 x 2当 0 x 1 x 22 时,即 f x 1 f x 2 ,此时 f x 在 0, 上时减函数当 2 x 1 x 2 时,f x 1 f x 2 f x 在 2 , + 上是增函数由 f x 在 0, 1 上是减函数,f x 在 1 ,+ 上是增函数,知x = 1 时,f x 有最小值 2,即值域为 ,2 + 方法三：配方法ffx=x+1=x-12 +2,当x -1 = x0时,x=1,此时xxx有最小值 2,即值域为 2, + 方法四：基本不等式法名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - fx=x+1=x2+1优秀学习资料1欢迎下载22x=2xxxfx有最小值 2,即值域为 2, + 题变原题：如函数fx=ax212x+1的定义域为 R,求实数 a 的取值+范畴解：由题意得ax2+2x+10在 R 上恒成立,就要求a0且=4-4a0 .a1变式一：函数fx =log2ax2+2x+1 的定义域为 R,求实数 a 的取值范畴解：由题意得ax2+2x+10在 R 上恒成立,就要求a0且=4-4a0 .a1变式二：函数fx=l o g ax2+2x+1 的值域为 R,求实数 a 的取值范畴名师归纳总结 解：令u=ax2+2x+1能取到全部大于0 的实数,就第 6 页,共 36 页a=0时,u= zx+1能取到全部大于0 的实数a0时,a0且= 4-4a0 .0a1综上0a1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载一题多解 一题多变（四）题目：求函数fx =x+1 x x0 的值域2方法一：判别式法- 设y=x+1,就x2-yx+1=0,由 =y2-40.yx当y=2时,x -2x+1=0. x=1, 因此当x=1时,fx =x+1 x x0 有最小值 2,即值域为 2 , + 方法二：单调性法1先判定函数 f x = x + x 0 的单调性x x 1-x 2 x 1 x 2-1 任取 0 x 1 x 2,就 f x 1 -f x 2 =x 1 x 2当 0 x 1 x 22 时,即 f x 1 f x 2 ,此时 f x 在 0, 上时减函数当 2 x 1 x 2 时,f x 1 f x 2 f x 在 2 , + 上是增函数由 f x 在 0, 1 上时减函数,f x 在 1 ,+ 上是增函数,知x = 1 时,f x 有最小值 2,即值域为 ,2 + 方法三：配方法ffx=x+1=x-12 +2,当x -1 = x0时,x=1,此时xxx有最小值 2,即值域为 2, + 方法四：基本不等式法名师归纳总结 fx=x+1=x2+122x1 x=2第 7 页,共 36 页xxfx有最小值 2,即值域为 2, + - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载变 题原题：如函数fx=ax212x+1的定义域为 R,求实数 a 的取值+范畴解：由题意得ax2+2x+10在 R 上恒成立,就要求a0且=4-4a0 .a1变式一：函数fx =log2ax2+2x+1 的定义域为 R,求实数 a 的取值范畴解：由题意得ax2+2x+10在 R 上恒成立,就要求a0且=4-4a0 .a1变式二：函数fx=l o g ax2+2x+1 的值域为 R,求实数 a 的取值范畴解：令 u = ax 2+ 2 x + 1 能取到全部大于 0 的实数,就a = 0 时,u = zx + 1 能取到全部大于 0 的实数a0 时,a 0 且 = 4-4a0 . 0 a1综上 0a1一题多解 一题多变（五）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题目：椭圆x2y21优秀学习资料F2欢迎下载PF 1PF2,的焦点是F 、,椭圆上一点 P 满意2516下面结论正确选项（）（A）P 点有两个（B）P 点有四个（C）P 点不肯定存在解 法 一 ：（D）P 点肯定不存在以F 1F2为直径构圆,知：圆的半径rc34b,即圆与椭圆不行能有交点；应选 D 解 法 二 ：由题知SpF 1F 2max41F 1F 2b3412,而在椭圆中：2SPF 1F 2b2tan16,不行能成立1216,应选 D 解 法 三 ：由题意知当 p 点在短轴端点处2F 1PF2最大,设F 1PF22,tan3,14,此时F 1PFD 为锐角,与题设冲突；应选4解 法 四 ：名师归纳总结 设P con,4sin,由PF 1PF2,知PF 1PF 2PF 1PF 20,而第 9 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PF 1PF 25 con,3 4sin优秀学习资料4欢迎下载916sin202 con75 con,3sin2 25 con9无解,应选 D 解 法 五 ：|PF 1|PF2|设PF 1F 2,假设PF16PF2,就1|PF2|2 a106 con6sin62sin42,而|PF即：1062,不行能；应选D 解 法 六 ：conF 1PF2|PF 1|2|PF 2|236|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF 2|3664|2|PF 1|PF 2|PF 1|PF 2|2|PF 1|PF 2|2PF 1|PF2|321 321 321 70,故| PF 1 | PF 2 | | PF 1 | | PF 2 | 2 25 252F 1 PF 2 90 PF 1 PF 2 不行能；应选 D 解 法 七 ：设 P x 0y 0 由焦半径知：| PF 1 | a ex 0 5 3 x 0 |, PF 2 | a ex 0 5 3 x 0 , PF 1 PF 25 52 2 2| PF 1 | | PF 2 | | F 1 F 2 |3 2 3 2 2 18 2 2 625 5 x 0 5 x 0 10 x 0 50 x 05 5 25 925x3而在椭圆中 | x 0 | 5 而 | 0x | 25 >8,故不符合题意,应选 D 3解 法 八 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设圆方程为：x2y29优秀学习资料欢迎下载椭圆方程为：x2y212516两者联立解方程组得：16 x225y2251616716 x225 9x2259 x2251625925x22579不行能故圆x2y29与椭圆2x2y21无交点2516即PF 不行能垂直PF应选 D 一题多解 一题多变（六）名师归纳总结 一变题：课本 P110 写出数列a n的前 5 项：a 11,an11gx,第 11 页,共 36 页4an-1变题：已知函数fx 2x2 , x1,设fx的反函数为y =2a1=1 ,a2=ga1a =gan-1,求数列an的通项公式；解：由题意得,y=gx=1-1x,a n=1-1a n-122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - an21an12优秀学习资料2欢迎下载n是以1 为首项,3-1为公,令b =an-,就b32323比的等比数列,故b n=1 3-1 2n-1n1 2n+-1 n-1n1 从而,an=b n+2 3=3×2n-1二、一题多解2已知函数 f x = x + 2 x + a, x 1 , + x1（1）当 a =2 时,求函数 f x 的最小值； - （2）如对于任意 x 1 , + , f x > 0 恒成立,试求实数 a 的取值范畴,解：（1）当 a = 1 时,f x = x + 2 + 12 + 2 2,当且仅当 x = 2 时2 2 x 2取等号由 f x = x + k k > 0 性质可知,f x 在 2, + 上是增函数x 2x 1 + ,所以 f x 在 + 是增函数,f x 在区间 + 上的最小值为 f 1 = 722（ 2 ） 法 一 ： 在 区 间 上 +,f x = x + 2 x + a> 0 恒 成 立x. x 2+ 2 x + a > 0 恒成立设 y = x 2 + 2 x + a,x 1 + y = x 2+ 2 x + a = x + 1 2+ a-1 在 +上增名师归纳总结 fx所以x=1时,ymin= a+3,于是当且仅当ymin= a+3>0时,函数第 12 页,共 36 页>0恒成立,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故a>-3优秀学习资料欢迎下载法二：fx =x+a+2 x 1 , + = a+3,于是x当a0时,函数fx 的值恒为正；当a<0时,函数fx为增函数,故当x=1时,ymin当且仅当ymin= a+3>0时,函数fx>0恒成,故a>-3x2+2x+a>0上,fx=x2+2x+a>0恒成立.法三：在区间 +x恒成立.a>-x2 -2x恒成立,故a 应大于u =-x2 -2x,x 1 , +时的最大值-3,所以a>-3一题多解一题多变（七）原题： :如f1=x+1+x2x>0 ,就fx=x分析:用倒数换元解: t令t=1 x就x=1, 0所以tf=1+1 +1 t2t>t将 t 换成 x 得到: 名师归纳总结 ft=1+1+12x>02f1=3 x ,求fx的解析式第 13 页,共 36 页xx变题 1：设fx满意关系式fx +x解：t=1就x=1xt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f1 t+2f t=优秀学习资料欢迎下载31 t将 t 换成 x 得到: f1+2fx =311试求fx的解析式xx与原式联立方程组消去f 1得到 xf x 2x x0x变题 2：已知af fx bx,其中a2 解：用相反数换元令tx xt 代入到原式当中得到：aftf t bt将 t 换成 x 得到: afxf x bx与原式联立方程组,得到：a21f x b a1x2 , x a2b ,试求fx的解析式a2 1b1xf x b a1 x1aa2变题 3：已知af4x3bf34 解：令 4x3t ,就2 x= t+3 12af t bft3t2将 1中 t 换t 得到: aftbf t t23与 1 联立方程组得到：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - a2b2 a优秀学习资料欢迎下载2bt3 ab 2a2b2b t3fx f t 21a2ab f x 21b x3a2ab变题 4：已知afxnfxnbx,其中a21,n 为奇数,求=nt解：设xn=t,x代入原式得：n b taf t ft将 t 换成 t 得到: aft+ft=bn t与上式联立方程组得到aa21 ft=ba+1 n t2 1f x b a1ntab1nta21fx的解析式为：f x b a1nxab1nxa21一题多解名师归纳总结 题目：设二次函数f x 满意fx2=fx2,且函数图象 y 轴上的第 15 页,共 36 页截距为 1,被 x 轴截的线段长为22,求fx 的解析式分析：设二次函数的一般形式fx =ax2+bx+ca0 ,然后依据条件求出待定系数a,b,c 解法一：设fx=ax2+bx+ca0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由fx2 =f优秀学习资料欢迎下载x2 ,得：4 a b=0又2c=1解之得：x 1x 2=2ab24 ac=8a2由题意可知a=1,b=2,c=12fx=1x+2x+1x2 ,2解法二：fx2 =f故函数y =fx 的图象有对称轴x=2=1=22可设y=ax+22+k函数图象与 y 轴上的截距为 1,就4 a+ k=又被 x 轴截的线段长为22,就x 1x 2d整理得：2 a+ k=0解之得：a=1,k=12fx=1x+2x+12解法三：fx2=fx2,故名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函 数优秀学习资料欢迎下载x=2, 又y =fx的 图 象 有 对 称 轴x x 2=22y =x与 x 轴的交点为：f222,2+22 , 0故可设y=a x+2+22f 0 =1 ,a=12x =1x+2x+12一题多解一题多变（八）名师归纳总结 原题设y =f 有反函数y=f-1 x,又y=fx+2与y=f-1 x-1 第 17 页,共 36 页互为反函数,就f-1 1 -f-10=_（教学与测试 P77）变 题设y =f 有 反 函 数y=f-1 x, 又y=fx+1 的 图 象 与y=f-1x+1 的图象关于y =x对称（1）求f 1 -f0及f-1 1 -f-10 的值；（2）如a, 均为整数,请用a, 表示f a f b 及f-1a-f-1b解 1 因y=f-1x+1 的
