【精选+详解】2021届高三数学名校试题汇编（第3期）专题08 立体几何 理.doc

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题08 立体几何 理一基础题1.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】、是不同的直线，、是不同的平面，有以下四命题： 若，则; 若，则; 若，则; 若，则.其中真命题的序号是（ ）A B C D2.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】对于平面和共面的两直线、，下列命题中是真命题的为A若，则 B若，则C若，则 D若、与所成的角相等，则【答案】C【解析】考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断3.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积为（）ABCD【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥底面是一个边长为1的正方形，故底面积S底=1侧面有两个直角边长为1的等腰直角三角形，和两个边长分为1，的直角三角形组成，故S侧=2××1×1+2××1×=1+该几何体的表面积S=S底+S侧=2+故选D4.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】已知m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A若，n，mn，则mB若，=n，mn，则m或mC若=n，mn，m，m，则m且mD若m不垂直于平面，则m不可能垂直于平面内的无数条直线5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的有 ； 6.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】下列命题中，m,n两条不同的直线，表示三个不同的平面.若则；若则；若则；若则，正确的命题是（ C ）A. B. C. D.【解析】：中平面即可平行，也可相交；中直线平行、相交和异面皆可7.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】在空间，下列命题正确的是 （ ）A平行直线在同一平面内的射影平行或重合 B. 垂直于同一平面的两条直线平行C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 平行于同一直线的两个平面平行【答案】B【解析】A中的射影也有可能是两个点，错误。C中两个平面也可能相交，错误。D中的两个平面也有可能相交，错误。所以只有B正确。8.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】已知直线l丄平面a，直线平面，则“”是“”的 (A)充要条件 （B)必要条件 (C)充分条件 （D)既不充分又不必要条件9.2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试（5分）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）ABCD10.2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）ABCD【答案】B【解析】由三视图可知，几何体为底面为正三角形的三棱锥，且一面垂直于底面，V=，故选B11.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知几何体的三视图如图所示,可得这个几何体的体积是_.【答案】2【解析】由三视图可知，这个几何体是个四棱锥，底面是一个长和宽分别为3,2的矩形，四棱锥的高为1，其体积为12.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为_13.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一边长为的矩形,左视图是一个边长为的等边三角形,则这个几何体的体积为_【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是放到的正三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为3，故几何体的体积为二能力题1.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是正视图 侧视图D.正视图 侧视图B.正视图 侧视图A.正视图 侧视图C.【答案】A【解析】根据三视图的定义，可知正视图为一个正方形以及内部的一个三角形；侧视图和正视图一样，故答案为A.2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估20122013学年第一学期统一检测题】已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是( ). A. B. C. D. 3.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（）ABCD4.【广州市2013届高三年级1月调研测试】已知四棱锥的三视图如图1所示，则四棱锥的四个侧面中面积最大的是A B C D【答案】 C【解析】三棱锥如图所示， ， ，5【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为：m），若该几何体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于m2（答案用含有的式子表示）6.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 A. B C. D. 【答案】B7.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A B C D 【答案】C 【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.8.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 9.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) (B) (C) 1 (D) 2【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以，选A.10.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_.11.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则【答案】C【解析】C中，当，所以，或当，所以，所以正确。12.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是（A）（B）（C）（D）13.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】C 14.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是 A B C D【答案】A【解析】过做底面于O,连结,则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A. 15、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A B C D 正（主）视图侧（左）视图俯视图223231【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.16.【安徽省2013届高三开年第一考】一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为2的正方形，如图所示，该多面体的表面积是（ ）A B C D【答案】A【解析】由三视图可得，多面体如图所示，其面积为，选A17.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是 A.垂直 B.相交不垂直C. 平行D.重合18.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F是AB的三等分点，G、H是 CD的三等分点，M、N分别是BC、EH的中点，则四棱锥A1 -FMGN的 侧视图为【答案】C.【解析】（略）.19.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知命题:“如果，则”是假命题，那么字母在空间所表示的几何图形只可能是（ ）A全是直线 B.全是平面 C. x,z是直线y是平面 D. x,y是平面，z是直线【答案】D【解析】当x,y是平面，z是直线时，推不出，选D20.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】一空间几何体的三视图如图所示，图中各线段旁的数字表示 该线段的长度，则该几何体的体积为(A)30 (B)27 (C)35 (D)36【答案】A【解析】本题考查立体几何的三视图，需要空间想象力。原几何体是：下面棱长为3的正方体，上面是高为2（高线也是一侧棱，且垂足是棱的中点）的三棱锥。22.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】已知A，B，C，D四点在半径为的球面上，且，AD=BC=5，AB=CD，则三棱锥DABC的体积是【解析】由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥DABC，如图所示设长方体的长宽高分别为a，b，c，则a=3，b=2，c=4三棱锥DABC的体积是2×3×44×××2×3×4=20故答案为：2023.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是_. 【解析】：还原该几何体的立体图形如下图，再将其切割为两个相同四棱锥和一个三棱柱，便可求得体积为224.安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考一几何体的三视图如图所示，则其体积为 【答案】【解析】该几何体是一个高为6,底面半径为2的圆锥的，故其体积V=【答案】【解析】经过空间一点作与两条异面的公垂线段平行的直线，与两条异面直线都垂直，而且这样的直线有且只有一条，故正确；若该点在这两条异面直线其中一条上，经过该点无法作一平面与两异面直线都平行，故错误；若直线b不在平面内或两个平面，不是垂直的，此时都无法判断b，故错误；平行六面体的四个侧面两两全等，但侧棱与底面不垂直时，棱柱为斜四棱柱，故错误；当三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥，故错误；故答案为：三拔高题1.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 2.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】（本小题共14分）ABCDENM如图，在菱形中，是的中点， 平面，且在矩形中，（）求证：；（）求证： / 平面；（）求二面角的大小.解：（）连结，则.由已知平面，因为FABCDENMyxz，所以平面.2分又因为平面，所以.4分（）与交于，连结. 由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点.因为是的中点，所以.7分又平面，平面，所以平面. 9分又平面的法向量，所以.所以二面角的大小是60°. 14分32012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考（12分）如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，A=60°，C=90°，CD=2把ABD沿BD折起（如图二），使二面角ABDC的余弦值等于对于图二，完成以下各小题：（）求A，C两点间的距离；（）证明：AC平面BCD；（）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值（）由（）知BD平面ACEBD平面ABD平面ACE平面ABD（10分）平面ACE平面ABD=AE，作CFAE交AE于F，则CF平面ABD，CAF就是AC与平面ABD所成的角，（12分）（14分）4.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】（本小题满分12分）如图，边长为a的正方体中，E为的中点。（）求直线与平面所成角的正弦值;（）CBAC1B1A1O求点E到平面的距离。【解析】：以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则D(0,0,0),A(a,0,0).B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,a,),A1(a,0,a). 3分(1)设直线A1E与平面BDD1B1所成的角为.因为AC平面BDD1B1，所以平面BDD1B1的法向量为，又.所以 .6分（2）设=为平面A1DB的法向量， 8分 又 11分即点到平面的距离为.12分5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】如图，在长方体中，点在棱上移动 （1）证明：；（2）当点为的中点时，求点到平面的距离；（3）等于何值时，二面角的大小为？【解析】（1）证明：如图，连接，依题意有：在长方形中， 4分（2）解：， 6分，设点到平面的距离为，点到平面的距离为 8分6【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】.(本小题满分12分）在正四棱锥V - ABCD中，P，Q分别为棱VB，VD的中点， 点 M 在边 BC 上，且 BM: BC = 1 ： 3，AB =，VA = 6. (I )求证CQ丄AP; (II)求二面角B-AP-M的余弦值.设正方形的中心为，为的中点，为的中点，分别以，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，（）设平面的法向量为，由得故，同理可得平面的法向量为，设二面角的平面角为，则 12分7.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】（本小题满分13分） 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1平面ABC, ABC为正三角形，且侧面AA1C1C 是边长为2的正方形,E是A,B的中点,F在棱CC1上。 （I）当CF时，求多面体ABCFA1的体积；（II）当点F使得A1F+BF最小时，求二面角AA1FB的余弦值。解析：（）由已知可得的高为且等于四棱锥的高.，即多面体的体积为 5分（）将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,为的中点. 7分以分别为轴，轴，过点A且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则显然平面的法向量为设平面的法向量为令得设二面角为则 13分8.【广州市2013届高三年级1月调研测试】（本小题满分14分）如图4,已知四棱锥，底面是正方形，面，点是的中点，点是的中点,连接,.(1) 求证：面；（2）若,，求二面角的余弦值.（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取的中点，连接， 点是的中点, . 1分 点是的中点，底面是正方形， . 2分 . 四边形是平行四边形. . 3分 平面，平面， 面. 4分证法2：连接并延长交的延长线于点，连接， 点是的中点， , 1分 点是的中点. 2分点是的中点, . 3分 面，平面， 面. 4分证法3：取的中点，连接， 点是的中点，点是的中点, ，. 面，平面， 面. 1分 面，平面， 面. 2分 面， . 8分 是二面角的平面角. 9分 在Rt中，,，得， 10分 在Rt中，得， . 11分 在Rt中， 12分 . 13分 二面角的余弦值为. 14分设平面的法向量为，由，得令，得，.是平面的一个法向量. 11分又是平面的一个法向量， 12分. 13分二面角的余弦值为. 14分9【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF=1（I）求证：BC平面ACFE；（II）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为（90°），试求cos的取值范围是平面FCB的一个法向量当=0时，cos有最小值，当时，cos有最大值10【广东省肇庆市中小学教学质量评估20122013学年第一学期统一检测题】（本题满分14分）如图5，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点。 (1)求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离. （2）方法一：方法二：如图建立空间直角坐标系，则， (6分)设平面的法向量为，则即，令，则，所以平面的一个法向量为 显然是平面的一个法向量 (7分)设平面与平面所成的二面角的平面角为，则 (9分)即平面与平面所成的二面角的余弦值为. (10分)11.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分12分）如图，已知多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点（）求证：AF平面CDE；（）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小解：（）DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF又AC=AD，F为CD中点，AFCD，因CDDE=D，AF平面CDE. 4分（）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQDE，故DE平面ACD，FQ平面ACD，又由（）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，则F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0） 6分设面BCE的法向量，则即取又平面ACD的一个法向量为， 面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°12.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在四棱锥中，底面是正方形， 为的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【答案】解：（I）连接. 由是正方形可知,点为中点. 又为的中点， 所以.2分 又 所以平面.4分(II) 证明：由 所以由是正方形可知, 又 所以.8分 又 所以.9分 解法二：由且底面是正方形，如图，建立空间直角坐标系 由已知设，则设为线段上一点，且，则.12分由题意，若线段上存在点，使，则，.所以，故在线段上存在点，使，且 14分13.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在长方体中，点在棱上，且（）求证：平面；（）在棱上是否存在点，使平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由； （）若二面角的余弦值为，求棱的长【答案】证明：（）在长方体中，因为面， 所以 2分在矩形中，因为，所以 所以面 4分设的长为，则，假设在棱上存在点，使得平面因为平面，等价于且平面得，所以所以，所以的长为9分（）因为，且点，所以平面、平面与面是同一个平面由（）可知，面，所以是平面的一个法向量 11分由（）可知，平面的一个法向量为因为二面角的余弦值为，所以，解得故的长为 14分14.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】如图，在菱形中，是的中点， 平面，且在矩形ABCDENM中，（）求证：；（）求证： / 平面；（）求二面角的大小.【答案】解：（）连结，则.由已知平面，因为FABCDENMyxz，所以平面.2分又因为平面，所以.4分（）与交于，连结. 由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点.因为是的中点，所以.7分又平面，平面，所以平面. 9分（）由于四边形是菱形，是的中点，可得.如图建立空间直角坐标系，则，, ，.，.10分设平面的法向量为.则 15.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】在长方体中，为中点.（）证明：；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由. （）证明：连接是长方体，平面， 又平面 1分在长方形中， 2分又平面， 3分 而平面 4分16.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.（）求证：DE平面PBC;（）求证：ABPE；（）求二面角A-PB-E的大小. 【答案】解：（） D、E分别为AB、AC中点， DE/BC _E_D_B_C_A_P DEË平面PBC，BCÌ平面PBC， DE/平面PBC 4分（）连结PD， PA=PB， PD AB .5分 ，BC AB， DE AB . .6分 又 ， AB平面PDE.8分 PEÌ平面PDE， ABPE .9分 设二面角的大小为， 由图知， 所以即二面角的大小为 .14分17.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】如图，在直三棱柱中，是中点. （I）求证：平面；（II）若棱上存在一点，满足，求的长；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. （）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以 设，所以， 因为，所以 ，解得，所以 8分18.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】如图1，在Rt中，D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2（）求证： 平面；（）若，求与平面所成角的正弦值；（） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值 ABCDE图1图2A1BCDE（）设,则 12分当时, 的最小值是 即为中点时, 的长度最小,最小值为 14分19.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC=2，CC1=4，M是棱CC1上一点（）求证：BCAM；（）若N是AB上一点，且，求证：CN /平面AB1M；（）若，求二面角A-MB1-C的大小 （）过N作NPBB1交AB1于P，连结MP ，则NPCC1，且 5分于是有 由已知，有因为BB1=CC1所以NP=CM所以四边形MCNP是平行四边形 6分所以CN/MP 7分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M， 8分所以CN /平面AB1 M 9分20.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（）求证：/ 平面；（）求证：平面平面； （）求二面角的余弦值【答案】（）证明：连接与相交于点，连结因为四边形为正方形，所以为中点因为 为棱中点 所以 3分因为 平面，平面， 所以直线/平面 4分 （）证明：因为平面，所以 5分因为四边形为正方形，所以， 所以平面 7分 所以平面平面 8分 （）解法一：在平面内过作直线因为平面平面，所以平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系9分设，则 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 11分 易知平面的法向量为 12分 所以 13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为 14分 易知平面的法向量为 12分 所以 13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为 14分21. 【河北省唐山市2012201 3学年度高三年级期末考试】（本小题满分12分） 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB1=60°，ABB1C。 （I）求证：平面AA1B1B平面BB1C1C； （II）求二面角B-AC-A1的余弦值解：（）由侧面AA1B1B为正方形，知ABBB1又ABB1C，BB1B1CB1，所以AB平面BB1C1C，又ABÌ平面AA1B1B，所以平面AA1B1BBB1C1C4分BCB1OC1A1zyxA22.【湖北武汉武昌2013届高三期末调研考试】（本小题满分12分） 如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1M是棱SB的中点（）求证：AM面SCD；（）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求sin的最大值， （）易知平面SAB的法向量为.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，则，即.平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.（8分）（）设，则.又，面SAB的法向量为，所以，.当，即时，.（12分）23. 【浙江省丽水市2012年高考第一次模拟测试】已知四边形是矩形，是等腰三角形，平面平面，分别是的中点. （）求证：直线平面； （）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.解：() 如图建立空间直角坐标系 所以 又 平面所以平面 7分52