2022年高三数学二轮复习专题辅导数学方法之特殊解法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 【专题五】数学方法之特别解法【考情分析】近年高考题尽量削减繁烦的运算,着力考查同学的规律思维与直觉思维才能,以及观看、分析、比较、简捷的运算方法和推理技巧,突出了对同学数学素养的考查；试题运算量不大,以熟识型和思维型的题目为主,很多题目既可用通性、通法直接求解,也可用“ 特别” 方法求解；其中,配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法；这些方法是 数学思想的详细表达,是解决问题的手段,它们不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有 实施的步骤和作法,事半功倍是它们共同的成效；纵观近几年高考命题的趋势,在题目上仍是很留意特别解法应用,应为他起到避繁就简、防止分类争论、防止转化等作用；猜测 2022 年的高考命题趋势为：（1）部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值 等学问点的题目会用到这几种特别解法；（2）这些解题方法都对应更一般的解法,它们的规律不太简洁把握,但它们在实际的考试中 会节约大量的时间,为后面的题目奠定基础；【学问归纳】1换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法；换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换争论对象,将问题移至新对象的学问背景中去争论,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简洁化,变得简洁处理；换元法又称帮助元素法、变量代换法；通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来；或者变为熟识的形式,把复杂的运算和推证简化；它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在争论方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等；局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次显现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发觉；例如解不等式： 4220,先变形为设 2t（t>0 ）,而变为熟识的一元二次不等式求解和指数方程的问题；三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角学问中有某点联系进行换元；如求函数 yx1 x 的值域时,易发觉 x0,1 ,设 xsin ,0, 2 ,问题变成了熟识的求三角函数值域；为什么会想到如此设,其中主要应当是发觉值域的联系,又有去根号的需要；如变量x、y 适合条件 xyr （r>0）时,就可作三角代换 xr cos、yrsin 化为三角问题；均值换元, 如遇到 xyS形式时,设 xS 2t ,y S 2t 等等；我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原就,换元后要留意新变量范畴的选取,肯定要使新变量范畴对应于原变量的取值范畴,不能缩小也不能扩大；如上几例中的t>0 和 0,2 ；2待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后依据所给条件来确定这些未知系数 的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 fx gx的充要条件 是：对于一个任意的 a 值,都有 fa ga；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程；使用待定系数法,就是把具 有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判定一个 问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,假如具有,就可以用待定系数法求解；例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求 复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定 系数法求解；使用待定系数法,它解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；其次步,依据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决；3参数法 参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目争论的数学对象发生联系的新变量（参数）,以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题；直线与二次曲线的参数方程都 是用参数法解题的例证；换元法也是引入参数的典型例子；辨证唯物论确定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就 是要揭示事物之间的内在联系,从而发觉事物的变化规律；参数的作用就是刻画事物的变化 状态,揭示变化因素之间的内在联系；参数表达了近代数学中运动与变化的思想,其观点已 经渗透到中学数学的各个分支；运用参数法解题已经比较普遍；参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数 供应的信息,顺当地解答问题；4配方（凑）法（1）配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方 ” ）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简； 何时配方, 需要我们适当猜测,并且合理运用 “ 裂项 ”与 “添项”、 “配” 与“凑 ”的技巧,从而完成配方；有时也将其称为“凑配法 ”；最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子显现完全平方；它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的争论与求解等问题；（2）配凑法：从整体考察,通过恰当的配凑,使问题明白化、简洁化从而达到比较简洁解决问题的方法；常见的配凑方法有：裂项法,错位相减法,常量代换法等；【考点例析】1配方（凑）法典例解析例 1（1）（2022 高考重庆） 设 tan, tan是方程x23x20的两个根, 就 tan的值为（）（C）1 （D）3 （A）-3 （B）-1 【答案】 A；【解析】由于tan,tan是方程x23x20的两个根,所以tantan3,tantan2,所以tantantan1323,选 A. 1tantan（ 2）已知长方体的全面积为11,其 12 条棱的长度之和为24,就这个长方体的一条对角线长为（）A23B 14C5 D6 分析：设长方体三条棱长分别为x、y、z,就依条件得：2xy+yz+zx=11 ,4x+y+z=24 ；而欲求的对角线长为 x 2y 2z 2,因此需将对称式 x 2y 2z 2写成基本对称式x+y+z 及 xy+yz+zx 的 组 合 形 式 , 完 成 这 种 组 合 的 常 用 手 段 是 配 方 法 , 故x 2y 2z 2 x y z 22 xy yz xz =6 211=25；x 2y 2z 2 5,应选 C；点评：此题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观看和分析三个数学式,简洁发觉使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解；这也是我们使用配方法的一种解题模式；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2（ 1）设F 1 和 F2 为双曲线x2y21的两个焦点,点 P 在双曲线上且满意4F 1PF2=90°,就 F 1PF 2 的面积是（）51,而由已知能得到什么呢？A1 B5C2 D2分析：欲求SPF1F 21|PF 1|PF2|2由 F1PF2=90°,得|PF 12 |PF 22 |202 ,又依据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 3,那么 2、3两式与要求的三角形面积有何联 系 呢 ？ 我 们 发 现 将 3 式 完 全 平 方 , 即 可 找 到 三 个 式 子 之 间 的 关 系 . 即|PF 1|PF22 |PF 12 |PF 2|22|PF 1|PF 2|16,2 7成立,求实数k 的取值故|PF1|PF2|1|PF 12 |PF2|21614222SPF 1F21|PF1|PF2|1,选 A；2点评：配方法实现了“ 平方和 ” 与“和的平方 ”的相互转化；（2）设方程x2 kx 2=0 的两实根为p、q,如 p q2 +q p范畴；k2解析：方程x2 kx2=0 的两实根为p、q,由韦达定理得：pq k,pq2,2p q2 +q p2 p 4q4p22 q2222 p q2pq 222 pq 22 p qpq2pq pq 24287,解得 k10 或 k 10 ；4又 p、q 为方程 x2 kx2=0 的两实根, k2 80即 k2 2 或 k22综合起来, k 的取值范畴是：10 k 2 2 或者 2 2 k 10 ；点评：关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“ ”；已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理；此题由韦达定理得到pq、pq 后,观看已知不等式,从其结构特点联想到先通分后配方,表示成p q 与 pq 的组合式；假如此题不对“ ” 争论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对 为留意和重视；2待定系数法典例解析“ ”的争论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤名师归纳总结 x2+例 3（2022 高考浙江） 本小题满分15 分如图,椭圆C：第 4 页,共 11 页y21ab0的离心率为1,其左焦点到点P2,1的距离为a2b22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10 不过原点O 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,且线段AB 被直线 OP 平分 求椭圆 C 的方程； 求ABP 的面积取最大时直线l 的方程【命题立意】此题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解才能；【答案】 由题：ec1； 1 x0a2左焦点 c,0到点 P2,1的距离为：d2c22 110 2 由1 2 可解得：a24,2 b3,c21所求椭圆C 的方程为：x2+y2143 易得直线OP 的方程： y1 2x,设 AxA,yA,BxB,yB, Rx0, y0其中 y01 2A,B 在椭圆上,名师归纳总结 y2x2 A+y A21kABy Ay B3x Ax B32x 03第 5 页,共 11 页43xB2+y B21x Ax B4yAyB42y0243设直线 AB 的方程为 l：y3xm m 0,2代入椭圆：2 x4+y2x13 x23 mxm2303y-3m2明显3m243m23312m2012 m12 且 m 0由上又有：xAx m,y Ay m233|AB|1kAB|xAx |1k ABx Ax B2 4x x B1kAB42 m3点 P2,1到直线 l 的距离表示为：d3 1mm21kAB1kABSABP1 2d|AB|1 2|m2|42 m,3当|m2|4m2,即 m 3 或 m0舍去 时, SABPmax1 23此时直线 l 的方程 y3x122例 4（2022 高考新课标）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上, C 与抛物线16 x的准线交于A B 两点,AB4 3；就 C 的实轴长为（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 2 B 2 2 CD【答案】 C；【解析】设等轴双曲线方程为x2y2m m0 ,抛物线的准线为x4,由AB43,就yA23,把坐标124,4,23代入双曲线方程得mx2y216所以双曲线方程为x2y24,即x2y21,所以a2,4a2,所以实轴长2a4,44选 C. 3换元法典例解析M例5 （ 1 ）（ 2022年 高 考 重 庆 ） 设 函 数f x x24 x3, 3 x2,集 合xR|f g x 0,NxR g x 2,就 MN 为（）A 1, B 0,1 C -1,1 D ,1【答案】：D；3x【解析】由f 0得g2 4 3x0就g x 1或g x 3即 3x21或23或xlog 52x故; 由g x 2得 32即 34所 以xlog 4所 以x1MN,1【考点定位】此题考查了利用整体代换,直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法 .此题以函数为载体,考查复合函数 ,关键是函数解析式的确定. （2）设 a>0,求 f x 2asin xcosx sin x·cosx2a 的最大值和最小值；名师归纳总结 解析：设sin x cosxt ,就 t -2 ,2 ,由 sin x cosx 12sin x· cosx 得：第 6 页,共 11 页sin x·cosxt221,f x gt1 2t 2a1 2（a>0）,t -2 ,2 ,t -2 时,取最小值：2a22 a1 2,当 2a2 时, t 2 ,取最大值：2a22 a1 2；当 0<2a2 时, t 2a,取最大值：1；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 的最小值为 2a22 a1 2,最大值为102a21a2；222a2 2a22点评：此题属于局部换元法,设sin xcosxt 后,抓住 sin xcosx 与 sin x·cosx 的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得简洁求解；换元过程中肯定要留意新的参数的范畴（t -2 ,2 ）与 sin xcosx 对应, 否就将会出错；此题解法中仍包含了含参问题时分类争论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情形进行争论；一般地,在遇到题目已知和未知中含有sin x 与 cosx 的和、差、 积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为 fsin x± cosx,sin xcsox ,常常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的争论；例 6点 Px,y在椭圆x2y21上移动时,求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y 的最大值；4解析：点Px,y在椭圆x2y21上移动,4可设x2cos,ysin2sin于是ux22xy4y2x2y=4cos24sincos4sin22cos=2 cossin2cossin1令cossint,sincos2sin4, |t| 2 ；于是 u=2 t2t1 2t123,|t| 2 22当 t=2 ,即sin41时, u 有最大值； =2k +4kZ时,u max622；4参数法典例解析例 7（ 2022 年高考山东） 如图 , 在平面直角坐标系xOy 中 , 一单位圆的圆心的初始位置在 0,1, 此时圆上一点 P 的位置在 0,0, 圆在 x 轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于 2,1 时, OP 的坐标为 _. 答案 : 2 sin 2,1 cos2 解析 : 依据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长 , 点P 旋转了 2 弧度 , 此时点 P 的坐标为：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - xP22cos 222sin,2. yP1sin 22sin 2 1,1cos 2 ,OPcos2 另解 : 依据题意可知滚动制圆心为2,1时的圆的参数方程： 2sin2 1,cos 2 .为x2cos, 且PCD,232, y1sin2就点 P的坐标为x23 cos23 sin22 2sin2, 即OPy12 1cos 2点评：设问形式的存在性问题很常规,但是题目内容却多年不见,考查了点参数问题,根本不需要设直线方程,更没有直线与圆锥曲线的联立,这是大部分同学所不适应的；此题设交点坐标为参数, “设而不求 ” ,以这些参数为桥梁建立t 的表达式求解；例 8实数 a、 b、c 满意 abc1,求 a bc 的最小值；分析：由 a bc1 想到“ 均值换元法”,于是引入了新的参数,即设 a1t ,b13 3t , c1 t ,代入 abc 可求；3解析：由 abc1,设 a1t ,b1t ,c1t ,其中 t t t 0,3 3 3ab c（1t ）（1t ） 1t 12 t t t t t t 1t t3 3 3 3 3 3t 1,3所以 abc 的最小值是1；3点评：由“ 均值换元法” 引入了三个参数,却将代数式的争论进行了简化,是此题此种解法的一个技巧；此题另一种解题思路是利用均值不等式和“ 配方法” 进行求解,解法是：a bc abc2abbcac 12abc,即 abc1 3的技巧性强,多次练习,可以提高我们的代数变形才能；【方法技巧】；两种解法都要求代数变形1配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式 aba2abb,将这个公式 敏捷运用,可得到各种基本配方形式,如：aba b2ab ab2ab；aabbababab 3abab 2（3b）；2abcabbcca1 2 abbcca abcabc2abbccaabc2abbcca结合其它数学学问和性质,相应有另外的一些配方形式,如：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1sin2 12sin cos（ sin cos）；x1 2 xx1 x2x1 x2 ； 等等；2如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析：（1）利用对应系数相等列方程；（2）由恒等的概念用数值代入法列方程；（3）利用定义本身的属性列方程； （4）利用几何条件列方程；比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程：第一设所求方程的形式,其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最终解所 得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆 锥曲线的方程；【专题训练】1.ysinx·cosxsinx+cosx 的最大值是 _；2.设 fx1log 4 x （a>1）,就 fx的值域是 _；3.已知数列 a 中, a 1,a n 1·aa n 1 a,就数列通项 a_；4.设实数 x、y 满意 x2xy10,就 x y 的取值范畴是 _；5.方程1 13xx3 的解是 _；36.不等式 log 2 1 ·log 2x 122 的解集是 _；7 设 235>1,就 2x、3y、 5z 从小到大排列是 _；8 如 k< 1,就圆锥曲线xky1 的离心率是 _；9 点Z的 虚 轴 上 移 动 , 就 复 数C z 1 2 在 复 平 面 上 对 应 的 轨 迹 图 像 为_；10 三棱锥的三个侧面相互垂直,它们的面积分别是6、 4、3,就其体积为 _；11 设函数 fx对任意的 x、yR,都有 fxyfx fy,且当 x>0 时, fx<0,就 fx的 R 上是 _函数； 填 “增” 或“减” 名师归纳总结 2 12 椭圆x162y41 上的点到直线x2y2 0 的最大距离是 _；第 9 页,共 11 页A. 3 B. 11C. 10D. 2213xx 2m,fx的反函数 f1 x nx5,那么 m、n 的值依次为 _；A. 5 2, 2 B. 5 2, 2 C. 5, 2 D. 5 2, 2 214 不等式 axbx2>0 的解集是 1 2,1 3,就 ab 的值是 _；A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 151x（1x）10 的绽开式中, x 的系数是 _；A. 297 B.252 C. 297 D. 207 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16 函数 yabcos3x b<0的最大值为3,最小值为1,就 y 4asin3bx 的最小正周22期是 _；17 与直线 L：2x3y50 平行且过点A1,-4的直线 L 的方程是 _；2 18 与双曲线 xy41 有共同的渐近线,且过点2,2的双曲线的方程是_；【参考答案】1 小题：设 sinx+cosx t2 ,2 2 ,就 yt 2t1 2,对称轴 t 1,当 t2 ,y max 1 22 ；2 小题：设 x1t t 1,就 ftlog -t-1 4,所以值域为 ,log4；3 小题：已知变形为111 a n 1,设 b1 a n,就 b 1,b 1n1-1 n,a n所以 a1 n；4 小题：设 xyk,就 x2kx10, 4k4 0,所以 k1或 k1；5 小题：设 3 y,就 3y2y10,解得 y1,所以 x 1；36 小题：设 log 2 1y,就 yy1<2 ,解得 2<y<1,所以 xlog5 ,log3 ；47 小题：设 2 35t,分别取 2、3、5 为底的对数,解出 x、y、z,再用 “ 比较法 ” 比较2x、3y、5z,得出 3y<2x<5z；8 已知曲线为椭圆,a1, c1 1,所以 e1 k 2k；k k9 小题：设 zb,就 C 1b2,所以图像为：从 1,2动身平行于 x 轴向右的射线；10 小题：设三条侧棱 x、 y、z,就1 xy 6、1 yz4、1 xz3,所以 xyz24,体积为 4；2 2 211 小题： f00,f0fxf-x,所以 fx是奇函数,答案：减；12 小题：设 x4sin 、y2cos ,再求 d| sin4cos2|的最大值,选C；513 小题：由 fxx m 求出 f214 小题： 由不等式解集 1 ,12 3列出关于系数 a、b 的方程组,易求得1 x2x 2m,比较系数易求,选 C；,可知1、1 是方程 axbx20 的两根, 代入两根,2 3ab,选 D；名师归纳总结 15 小题：分析x 的系数由 C 10 5 与1C 10 2 两项组成,相加后得x 的系数,选D；第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16 小题： 由已知最大值和最小值列出a、b 的方程组求出a、b 的值,再代入求得答案2；3名师归纳总结 17 小题：设直线L 方程 2x3yc0,点 A1,-4代入求得 C10,即得 2x 3y100；第 11 页,共 11 页18 小题：设双曲线方程2 xy42,点 2,2代入求得 3,即得方程x32y121；- - - - - - -