2022年高三数学大一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案理新人教A版.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思学案 18 同角三角函数的基本关系式及诱导公式导学目标： 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出 2± , ± 的正弦、余弦、正切的诱导公式 .2. 懂得同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x 1,sin x cos xtan x. 自主梳理1同角三角函数的基本关系1 平方关系： _. 2 商数关系： _. 2诱导公式1sin 2k _ , cos 2k _ , tan 2k _,kZ. 2sin _, cos _,tan _. 3sin _,cos _,tan _. 4sin _,cos _,tan _. 5sin 2 _,cos 2_. 6sin 2_,cos 2_. 3诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为：上述过程表达了化归的思想方法自我检测名师归纳总结 12022·全国cos 300°等于第 1 页,共 10 页 A3 2 B1cos1的 值 为2C.1 2 D.322 2022·陕 西 如3sin cos 0 , 就2 sin 2 于 A.10 3 B.5tan 3 4,就 sin 等3C.2 3 D 2 32022· 福建龙岩一中高三第三次月考 是第一象限角, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A. 4 5 B. 35 C4 5 D 3 517 的值是4cos17 sin44 2 3 _. A.2 B 2 C0 D.2252022· 清远月考 已知 cos 6 2 3,就 sin 探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值例 1已知 2 <x<0,sin xcos x1 5. ,求以下各式的值1 求 sin2x cos2x 的值；3 22 求tan x 2sin xcos x的值变式迁移 1 已知 sin3 2sinsin 4cos 1 5sin 2cos ；2sin 2 sin 2 . 探究点二 利用诱导公式化简、求值例 22022· 合肥模拟已知 sin 25 5, 0 , 1 求sin 2cos3 2的值； 2 求 cos 2 3的值4变式迁移 2 设 f 名师归纳总结 1 2sin 0 ,就f23第 2 页,共 10 页1sin2 cos3 2sin2 26- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思_. 探究点三综合应用2cos B ,例 3在 ABC中,如 sin2 A 2sin B ,3cos A求 ABC的三个内角变式迁移 3 2022· 安阳模拟 已知 ABC中, sin Acos A1 5,1 求 sin A· cos A；2 判定 ABC是锐角三角形仍是钝角三角形；3 求 tan A 的值转化与化归思想的应用例12 分 已知 是三角形的内角,且sin cos 1 5. 2 1,要求 tan 1 求 tan 的值；2 把cos12用 tan 表示出来,并求其值2 sin多角度审题由 sin cos 1 5应联想到隐含条件sin2 cos ,应当切化弦,所以只要求出sin ,cos 即可【答题模板】1解 1 联立方程 sin cos 5, 2 cos 2 1,1 2由得 cos 5 sin ,将其代入,整理得 25sin 5sin 120.2 分 4 3 是三角形的内角,sin 5 5,4 分 4tan 3.6 分 sin 2 cos 21 sin 2 cos 2 cos 2 tan 2 12 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 21tan 2 ,8 分 cos 24 1 tan 2 1tan 3,cos 2 sin 2 1tan 2 10 分 43 21 254 27 .12 分 1 3【突破思维障碍】名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思由 sin cos 1 5及 sin2 cos2 1 联立方程组, 利用角 的范畴, 应先求 sin 再求 cos .1 问切化弦即可求2 问应弦化切,这时应留意“1” 的活用【易错点剖析】在求解 sin ,cos 的过程中,如消去 cos 得到关于 sin 的方程,就求得两解,然后应依据 角的范畴舍去一个解,如不留意,就误认为有两解1由一个角的三角函数值求其他三角函数值时,要留意争论角的范畴2留意公式的变形使用,弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想,要尽量少开方运算,谨慎确定符号留意“1” 的敏捷代换3应用诱导公式,重点是“ 函数名称” 与“ 正负号” 的正确判定 满分： 75 分 一、挑选题 每道题 5 分,共 25 分 cos A 1212022· 荆州模拟 已知 ABC中,sin A5,就 cos A 等于 12 5A. 13 B. 13C5 D1213 1352 已 知 tan 12, 且 为 第 二 象 限 角 , 就 sin 的 值 等 于 1 1A. B5 155 5C. 13 D13 3132022· 许昌月考 已知 f ,就 f 3 的值为 1 1 1 1A. 2 B3 C2 D. 34设 f x asin x bcos x ,其中 a、b、 、 都是非零实数,如f 2 0021,就 f 2 003 等 于 A 1 B 0 C1 D2 5 2022·全 国 记 cos 80° k , 那 么 tan 100°等 于 2 21k 1kA. Bk kk kC. 2 D21k 1k题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思62022· 全国 已知 7sin21° sin22° sin是其次象限的角,tan 1 2,就 cos _. 23° sin 289° _. cos82022· 东北育才学校高三第一次模拟考试 如 tan 2,就sin cos sin cos 2 _. 三、解答题 共 38 分 912 分 已知 f . 1 化简 f ；2 如 是第三象限角,且cos 3 2 1 5,求 f 的值1012 分 化简：k k kZ kk 1114 分2022 · 秦皇岛模拟 已知 sin ,cos 是关于 x 的方程 x 2axa0 aR 的两个根1 求 cos 3 2 sin 3 2 的值；12 求 tan tan 的值答案 自主梳理11sin2 cos2 1 2sin cos tan 2.1sin cos tan 2sin cos tan 3 sin cos tan 4sin cos tan 5cos sin 6cos sin 自我检测11C cos 300 ° cos360 ° 60° cos 60 ° 2. 2A 3sin cos 0,sin 2 cos 2 1,1sin 2 10,1 1cos 2 sin 2 cos 2 2sin 3sin 1 1017sin 2 3 . 3B 名师归纳总结 4A cos 17 4 sin 17 4 cos 4 4 sin 4 4 cos 4 第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思sin 4 cos 4sin 42. 523解析 sin 2 3 sin 2 3 sin 6 2 cos 6 23. 课堂活动区例 1 解题导引 学会利用方程思想解三角函数题,对于 sin cos , sin cos , sin cos 这三个式子,已知其中一个式子的值,就可以求出其余二式的值,但要留意对符号的判定解由 sin xcos x1 5得,24 25. 12sin xcos x1 25,就 2sin xcos x 2 <x<0, sin x<0,cos x>0,即 sin xcos x<0. 就 sin xcos xsin2x 2sin xcos xcos2xxcos x ,124 257 5. 1sin2xcos2xsin xcos xsin 1 5×7 5 7 25. 3 22 由sin xcos x1 5,sin xcos x7 5得sin x3,就 tan x3 4. 5cos x4 5即tan x 2sin xcos x3 4415 8 . 6 55变式迁移 1 解 sin3 2sin sin 2cos . sin 2cos ,即 tan 2. 名师归纳总结 方法一 直接代入法 ：1 6. 第 6 页,共 10 页1 原式2cos 4cos 5× 2cos 2cos - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2 原式sin2 2sin cos sin 2 cos 2sin2 sin2 8 5. 2 1 4sin2sin方法二 同除转化法 ：1 原式tan 4 5tan 25× 2 2 1 6. 2 原式 sin 2 2sin cos sin 2 2sin cos tan 2 2tan 8sin 2 cos 2tan 2 15. k例 2 解题导引 三角诱导公式记忆有肯定规律：2 的本质是： 奇变偶不变 对k 而言,指 k 取奇数或偶数 ,符号看象限 看原函数,同时可把 看成是锐角 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤：1 负角变正角,再写成 2k ,0 <2 ； 2 转化为锐角三角函数名师归纳总结 解1 sin 25 5, 0 , ,第 7 页,共 10 页cos 5 5,sin 25 5 . sin 2cos3 2cos sin 1 3. sin cos 2 cos 5 5,sin 25 5,sin 2 4 5,cos 2 3 5,cos 2 32 2 cos 2 2 2 sin 2 2 10 . 4变式迁移 2 3 解析f 2sin cos cos 1sin2 sin cos22sin cos cos cos 2sin 1 tan ,2sin2 sin sin 2sin f23 6tan123 6tan113. 4 tan 66例 3解题导引先利用诱导公式化简已知条件,再利用平方关系求得cos A求角时,一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的范畴,最终求角 诱导公式在三角形中常用结论有： AB C；A 2B 2C 2 2 . 解由已知得sin A2sin B,3cos A2cos B,22 得 2cos2A 1,即 cos A±2 2 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1 当 cos A2 2时, cos B3 2,又 A、B 是三角形的内角, 7A4,B6, C AB 12 . 2 3 2 当 cos A2时, cos B2 . 又 A、B 是三角形的内角,3 5A4 ,B6 ,不合题意综上知, A 4,B 6,C12 . 71 变式迁移 3 解 1 sin Acos A5,1两边平方得 12sin Acos A25,12sin A· cos A25. 12 2 由1sin A· cos A25<0,且 0<A< ,可知 cos A<0, A 为钝角, ABC为钝角三角形3 sin Acos A21 2sin A· cos A49 25,又 sin A>0,cos A<0, sin Acos A>0,sin Acos A7 5,3 5,由,得sin A4 5,cos Atan Asin A cos A4 3. 课后练习区cos A 12 1D A 为 ABC中的角,sin A5,5sin A12cos A,A 为钝角, cos A<0. 12 代入 sin 2Acos 2A1,求得 cos A13. 5 2C 已知 tan 12,且 为其次象限角,1 12 5 有 cos 1tan 2 13,所以 sin 13. 3C f sin cos cos tan cos , f 31 3 31 1 cos 3 cos10 3 cos 32. 4C f 2 002 asin2 002asin bcos 1, bcos2 002 名师归纳总结 f 2 003 asin2 003 bcos2 003 第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思asin2 002 bcos2 002 asin bcos asin bcos 1. 5B cos 80° cos 80 ° k,sin 80 ° 1cos 280° 1k 2. 21ktan 100 ° tan 80 ° k . 2 5651 sin 1解析tan 2,cos 2,又 sin 2 cos 2 1, 是其次象限的角,2 5cos 5 . 897. 2解析 sin 21° sin 22° sinsin 21° sin 22° sinsin 290 ° 1° 23° sin 289°245° sin 290 ° 2° sin21° sin22° 22 cos22° cos21°1 2 441 22 sin21° cos21° sin22° cos22° sin244° cos244° 89 2 . 8.16 5解析原式tan 1 tan 1sincos222 cos3tan1 2 131 516 5 . 9解1 f cos 8sin cos tan tan sin . 5 分 2 是第三象限角,且cos 3 2 sin 1 5,sin 1 5, 分 cos 1sin2 11226 5,5f cos 256. 12 分 名师归纳总结 10解当 k 为偶数 2n nZ 时, 第 9 页,共 10 页原式n nn n - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 sin cos 12sin · cos cos 1； 6 分 当 k 为奇数 2n1 nZ时,原式sinn n n n sin · cos 1. sin cos 当 kZ 时,原式 1. 分 11解由已知原方程的判别式 0,3即 a24a0, a4 或 a0. 分 又sin cos a,sin cos 212sin cos ,就 a2 2a1 0,sin cos a6 分 从而 a12或 a12 舍去 ,1因此sin cos sin cos 2. 8 分 2 21cos3 2 sin3 2 sin3 cos3sin cos sin2 sin cos cos2 1 21 1 2. 11 分 2tan 1 tan tan 114tan sin cos cos sin 1 sin cos 1212. 1 分 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页
