2022年高中三角函数知识点与常见习题测验类型解法 .pdf

1 三角函数知识点与常见习题类型解法1、任意角的三角函数：（1）弧长公式：Ral R为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。（2）扇形的面积公式：lRS21 R为圆弧的半径，l为弧长。（3）同角三角函数关系式：倒数关系：1cottanaa商数关系：aaacossintan，aaasincoscot平方关系：1cossin22aa（4）诱导公式： （奇变偶不变，符号看象限）k2所谓奇偶指的是整数k的奇偶性；x函 数xsinxcosxtanxcotaasinacosatanacota2asinacosatanacota2acosasinacotatan2、两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：sinsincoscos)cos(aasincoscossin)sin(aaatantan1tantan)(tanaaaa【注：公式的逆用或者变形】（2）二倍角公式：aaacossin22sin1cos2sin21sincos2cos2222aaaaaaaa2tan1tan22tan从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式：22cos1cos2aa，22cos1sin2aa（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos12sinaa，2cos12cosaa，aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2 3、三角函数的图像和性质：（其中zk）三角函数xysinxycosxytan图像定义域（- ， +）（- ， +）2kx值域-1,1 -1,1 （- ， +）最小正周期2T2TT奇偶性奇偶奇单调性22 ,22kk单调递增232 ,22kk单调递减2,)12(kk单调递增) 12( ,2(kk单调递减)2,2(kk单调递增对称性对称轴：2kx对称中心：)0,(k对称轴：kx对称中心：)0,2(k对称中心：)0 ,2(k零值点kx2kxkx最值点1,22maxykx1,22maxykx1,2maxykx1,)12(maxykx无4、函数)sin(xAy的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(xAy图像及性质）（1）函数)sin(xAy和)cos( xAy的周期都是2T（2）函数)tan( xAy和)cot(xAy的周期都是T（3）五点法作)sin(xAy的简图，设xt，取 0、2、23、2来求相应x的值以及对应的y值再描点作图。（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3 【函数的平移变换】 ：)0)()(aaxfyxfy将)(xfy图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）)0()()(bbxfyxfy将)(xfy图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）【函数的伸缩变换】 ：)0)()(wwxfyxfy将)(xfy图像纵坐标不变， 横坐标缩到原来的w1倍（1w缩短，10w伸长）)0)()(AxAfyxfy将)(xfy图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（1A伸长，10A缩短）【函数的对称变换】 ：)()(xfyxfy) 将)(xfy图像绕y轴翻折 180（整体翻折） ；（对三角函数来说：图像关于x轴对称）)()(xfyxfy将)(xfy图像绕x轴翻折 180（整体翻折） ；（对三角函数来说：图像关于y轴对称）)()(xfyxfy将)(xfy图像在y轴右侧保留， 并把右侧图像绕y轴翻折到左侧 （偶函数局部翻折）；)()(xfyxfy保留)(xfy在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）5、方法技巧三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换；如45tancottancossin122xxaa等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：aaaaaa222222cos1cos)cos(sincos2sin；配凑角：)(；22等。（3）降次与升次；切化弦法。（4）引入辅助角。)cos()sin(cossin2222bababay，这里辅助角所在象限由ba、的符号确定，角的值由abtan确定。【典型例题】：1、已知2tan x，求xx cos,sin的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 4 解： 因为2cossintanxxx，又1cossin22aa，联立得，1cossincos2sin22xxxx解这个方程组得.55cos552sin,55cos552sinxxxx2、求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(的值。解： 原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o.3330cos)150sin(30tan)120sin)(30cos(60tan3、若, 2cossincossinxxxx，求xx cossin的值解： 法一：因为,2cossincossinxxxx所以)cos(sin2cossinxxxx得到xxcos3sin，又1cossin22aa，联立方程组，解得，1010cos10103sin1010cos10103sinxxxx所以103cossinxx法二：因为,2cossincossinxxxx所以)cos(sin2cossinxxxx，所以22)cos(sin4)cos(sinxxxx，所以xxxxcossin84cossin21，所以有103cossinxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 5 4、求证：xxxx2222sintansintan。证明： 法一：右边222222222sintan)cos1 (tan)cos(tantansintanxxxxxxxxx；法二：左边 =22222222222sintan)cos1(tancostantan)cos1(tansintanxxxxxxxxxxx5、求函数)62sin(2xy在区间2 ,0上的值域。解： 因为20 x，所以20 x，67626x由正弦函数的图象，得到1 ,21)62sin(2xy，所以2, 1)62sin(2xy6、求下列函数的值域（1）2cossin2xxy；（2）)cos(sincossin2xxxxy) 解： （1）2cossin2xxy=3)cos(cos2coscos122xxxx令xtcos，则,413)21(413)21(3)(,1 , 1222ttttyt利用二次函数的图象得到.413, 1y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6 (2) )cos(sincossin2xxxxy=)cos(sin1)cos(sin2xxxx令xxtcossin2)4sin(x，则2,2t则, 12tty利用二次函数的图象得到.21 ,45y7、若函数y=Asin(x+)(0，0) 的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于 (6 ，0)，求这个函数的一个解析式。解：由最高点为)2,2(，得到2A，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是41个周期，这样求得44T，T=16，所以8又由)28sin(22，得到可以取).48sin(2.4xy8、已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x( ) 求f(x) 的最小正周期；( ) 若,2,0 x求f(x) 的最大值、最小值数xxycos3sin1的值域解： ( ) 因为f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x) sin2x )42sin(2)24sin(22sin2cos2sin)sin(cos22xxxxxxx所以最小正周期为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7 ( ) 若2,0 x， 则43,4)42( x， 所以当x=0 时，f(x) 取最大值为; 1)4sin(2当83x时，f(x) 取最小值为.29、已知2tan，求（ 1）sincossincos； （2）22cos2cos.sinsin的值 . 解： （1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos； (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。10、求函数21sincos(sincos )yxxxx的值域。解：设sincos2 sin()224txxx，则原函数可化为22131()24yttt，因为22t，所以当2t时，max32y，当12t时，min34y，所以，函数的值域为3324y，。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8 11、已知函数2( )4sin2sin 22fxxxxR，； （1）求( )f x的最小正周期、( )f x的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数( )f x的图像关于直线8x对称。解：22( )4sin2sin 222sin2(12sin)fxxxxx2sin 22cos22 2 sin(2)4xxx(1) 所以( )f x的最小正周期T，因为xR，所以，当2242xk，即38xk时，( )f x最大值为2 2；(2) 证 明 ： 欲 证 明 函 数( )f x的 图 像 关 于 直 线8x对 称 ， 只 要 证 明 对 任 意xR， 有()()88fxfx成立，因为()22sin2()2 2 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx，()22 sin2()2 2 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx，所以()()88fxfx成立，从而函数( )f x的图像关于直线8x对称。12 、已知函数y=21cos2x+23sinx cosx+1 （xR）, （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 9 解： （1）y=21cos2x+23sinx cosx+1=41 (2cos2x1)+ 41+43（2sinx cosx）+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x sin6+sin2x cos6)+45=21sin(2x+6)+45所以 y 取最大值时，只需2x+6=2+2k, （kZ） ，即 x=6+k, （kZ） 。所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为 x|x=6+k,k Z （2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6，得到函数y=sin(x+6) 的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变） ，得到函数 y=sin(2x+6) 的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变） ，得到函数y=21sin(2x+6) 的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像。综上得到y=21cos2x+23sinxcosx+1的图像。历年高考综合题一、选择题：1、 （08 全国一 6）2(sincos )1yxx是（）A、最小正周期为2的偶函数B 、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的奇函数2、 （08 全国一 9）为得到函数cos3yx的图象，只需将函数sinyx的图像（）A、向左平移6个长度单位B、向右平移6个长度单位C、向左平移56个长度单位D、向右平移56个长度单位3、(08 全国二 1) 若sin0且tan0是，则是（）A、第一象限角B、第二象限角C 、 第三象限角D 、 第四象限角4、 （08 全国二 10） 函数xxxfcossin)(的最大值为（）A、1 B、2 C、3 D、2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 10 5、 （08 安徽卷 8）函数sin(2)3yx图像的对称轴方程可能是（）A、6xB、12x C 、6x D、12x6、 （08 福建卷 7）函数y=cosx(x R)的图象向左平移2个单位后，得到函数y=g(x) 的图象，则g(x) 的解析式为 ( ) A 、-sinx B、sinx C、-cosx D、cosx7、 （08 广东卷 5）已知函数2( )(1cos2 )sin,f xxx xR，则( )f x是（）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为2的偶函数8、 （08 海南卷 11）函数( )cos22sinf xxx的最小值和最大值分别为（）A、 3，1 B、 2，2 C 、 3，32D、 2，329、 （08 湖北卷 7）将函数sin()yx的图象F向右平移3个单位长度得到图象F，若F的一条对称轴是直线,1x则的一个可能取值是（） A 、512 B、512 C、1112 D、111210、 （ 08 江西卷 6）函数sin( )sin2sin2xf xxx是（）A、以4为周期的偶函数 B、以2为周期的奇函数C、以2为周期的偶函数 D、以4为周期的奇函数11、若动直线xa与函数( )sinf xx和( )cosg xx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为（）A、1 B、2C 、3D、2 12、 （ 08 山东卷 10）已知4cossin365，则7sin6的值是（）A、2 35B、2 35 C、45D、4513、08 陕西卷 1）sin330等于（）A、32 B、12 C、12 D3214、 （ 08 四川卷 4）2tancotcosxxx ( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 11 、tanx、sin x、cosx、cotx15、 （08 天津卷 6）把函数sin ()yx xR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是（） A、sin 23yxxR， B、sin26xyxR，C、sin 23yxxR， D、sin 23yxxR，16、 （08 天津卷 9）设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）A 、abcB、acbC 、bcaD 、bac17、 （08 浙江卷 2）函数2(sincos )1yxx的最小正周期是（） A、2 B、 C、32 D、218、 （08 浙江卷 7）在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是（）A、0 B、1 C、2 D、4 二、填空题19、 （08 北京卷 9）若角的终边经过点(12)P ，则tan2的值为20、 （08 江苏卷 1）cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则= 21、 （08 辽宁卷 16）设02x，则函数22sin1sin 2xyx的最小值为22、 （08 浙江卷 12）若3sin()25，则cos2_。23、 （08 上海卷 6）函数f(x) 3sin x +sin(2+x) 的最大值是三、解答题24、 （08 四川卷 17）求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 12 25、 （ 08 北京卷 15）已知函数2( )sin3 sinsin2f xxxx（0）的最小正周期为；（）求的值；（）求函数( )f x在区间203，上的取值范围26、 （08 天津卷 17）已知函数22s(incoss1)2cof xxxx（,0 xR）的最小值正周期是2； （）求的值；（）求函数( )f x的最大值，并且求使( )f x取得最大值的x的集合27、 （08 安徽卷 17）已知函数( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx，（）求函数( )f x的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数( )f x在区间,12 2上的值域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 13 28、 （08 陕西卷 17）已知函数2( )2sincos2 3sin3444xxxfx（）求函数( )f x的最小正周期及最值； （）令( )3g xfx，判断函数( )g x的奇偶性，并说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 14 参考答案：一、 选择题：110：D 、C、C 、B、B、A、D 、C、 9 、A 、A；1120: 11 、C 、13、B 、14、D 15 、C 16 、D 17 、B 18 、C；二、填空题：19、34 20、10 21、3 22、257 23、2。三、解答题：24、解：2474sincos4cos4cosyxxxx2272sin 24cos1cosxxx2272sin 24cossinxxx272sin 2sin 2xx21sin 26x由于函数216zu在11 ，中的最大值为：2max1 1610z最小值为：2min1 166z故当sin21x时y取得最大值10，当sin 21x时y取得最小值6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；25、解： （）1cos23( )sin 222xf xx311sin 2cos2222xx1sin262x因为函数( )f x的最小正周期为，且0，所以22，解得1（）由（）得1( )sin262f xx因为203x，所以72666x， 所以1sin2126x，因此130sin 2622x，即( )f x的取值范围为302，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 15 26、解： （）242sin224sin2cos4cos2sin222cos2sin12sin22cos12xxxxxxxxf由题设，函数xf的最小正周期是2，可得222，所以2（）由（）知，244sin2xxf当kx2244，即Zkkx216时，44sinx取得最大值1，所以函数xf的最大值是22，此时x的集合为Zkkxx,216|27、解：（1）( )cos(2)2sin()sin()344f xxxxQ13cos2sin2(sincos )(sincos )22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx13cos2sin2cos222xxxsin(2)6x2T2周期（2）5,2,12 2636xxQ因为( )sin(2)6f xx在区间,123上单调递增，在区间,32上单调递减，所以当3x时，( )f x取最大值 1 ；又31()()12222ffQ，当12x时，( )f x取最小值32；所以 函数( )f x在区间,122上的值域为3,12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 16 28、解：（）( )f xQsin3 cos22xx2sin23x( )f x的最小正周期2412T当sin123x时，( )fx取得最小值2；当sin123x时，( )f x取得最大值2（）由（）知( )2sin23xf x又( )3g xfx1( )2sin233g xx2sin22x2cos2xQ()2cos2cos( )22xxgxg x函数( )g x是偶函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -