2022年高中所有数学公式.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:xAxC A ,xC AxA .AA2 集合a a2,an的子集个数共有2 n个；真子集有2 n1个；非空子集有2n1个；非空的真子集有 2n2个. 0; 3 二次函数的解析式的三种形式：1 一般式f x ax2bxc a2 顶点式f x axh 2ka0; 当已知抛物线的顶点坐标 , 时,设为此式3 零点式f x a xx 1xx 2a0；当已知抛物线与x 轴的交点坐标为x 1,0,x 2,0时,设为此式4切线式：f a xx02kxd,a0；当已知抛物线与直线ykxd 相切且切点的. 横坐标为0x 时,设为此式4 真值表：同真且真,同假或假5 常见结论的否认形式; 原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有n1个小于不小于至多有 n 个至少有n q1个对全部 x ,成立存在某 x ,不成立p 或 qp 且对任何 x ,不成立存在某 x ,成立p 且 qp 或q6 四种命题的相互关系 以下图 : 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假原命题互逆逆命题假设就假设就互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题假设非就非互逆假设非就非充要条件：1 、 pq,就 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件；2、 pq ,且 q > p,就 P 是 q 的充分不必要条件；3 、p > p ,且 qp ,就 P 是 q 的必要不充分条件；4、p > p ,且 q > p,就 P 是 q 的既不充分又不必要条件；7 函数单调性 : 增函数： 1 、文字描述是：y 随 x 的增大而增大；2、数学符号表述是：设 f x在 x D 上有定义,假设对任意的 x x 2 D , 且 x 1 x 2,都有f x 1 f x 2 成立,就就叫 fx在 x D 上是增函数； D 就就是 fx的递增区间；减函数： 1 、文字描述是：y 随 x 的增大而减小；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、数学符号表述是：设fx在 xD 上有定义,假设对任意的x x2D,且x 1x 2,都有fx 1f x 2成立,就就叫fx在 xD 上是减函数； D 就就是 fx的递减区间；单调性性质： 1 、增函数 +增函数 =增函数；2、减函数 +减函数 =减函数；3 、增函数 -减函数 =增函数； 4 、减函数 -增函数 =减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情形下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集；复合函数的单调性：函数单调单调性内层函数外层函数复合函数等价关系：1 设x x 2a b,x 1x 那么fx 200fx在a ,b上是增函数；x0,就fxx 1x 2f x 1f x 20fx 1x 1x2x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx 20fx 在a,b上是减函数 . x 1x22 设函数yfx在某个区间内可导,假如fx,就fx为增函数； 假如f为减函数 .8 函数的奇偶性： 注： 是奇偶函数的前提条件是：定义域必需关于原点对称奇函数：定义： 在前提条件下,假设有fxf x 或fxf x 0,就 f x就是奇函数；性质 ：1、奇函数的图象关于原点对称；2、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有 相同 的单调区间；3、定义在 R 上的奇函数,有 f0=0 . 偶函数：定义： 在前提条件下,假设有 f x f x ,就 fx就是偶函数；性质 ：1、偶函数的图象关于 y 轴对称；2、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有 相反 的单调区间；奇偶函数间的关系：1 、奇函数· 偶函数=奇函数；2、奇函数· 奇函数=偶函数；3 、偶奇函数· 偶函数=偶函数；4 、奇函数± 奇函数=奇函数也有例外得偶函数的5 、偶函数± 偶函数=偶函数；6 、奇函数± 偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于 9 函数的周期性：y 轴对称 ; 反过来,假如一个函数的图象关于原点对称,y 轴对称,那么这个函数是偶函数定义： 对函数 fx,假设存在T0,使得 fx+T =f x,就就叫fx是周期函数,其中,T 是 fx的一个周期；周期函数几种常见的表述形式：1 、 fx+T = - fx,此时周期为2T ；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、 fx+m =fx+n,此时周期为2 mn；3 、f xm1,此时周期为2m ；yxa2b; 两个f x 10 常见函数的图像：k<0yk>0ya<0yy=axy=log ax0<a<1oxox0<a<1a>1o1y=kx+ba>01xoa>1xy=ax2+bx+cx 的对称轴是11 对于函数yfxxR,fxafbx恒成立 , 就函数f函数yfxa与yfbx的图象关于直线xb2a对称 . 12 分数指数幂与根式的性质：m1annama0,m nN ,且n1. mn1n1ma0,m nN ,且n1. 2anma00. an 3 n aa . 4当 n 为奇数时,nana ；当 n 为偶数时,nan|a|a aa a13 指数式与对数式的互化式: logaNbabN a0,a1,N0. 指数性质：1 1、aps1rs；2、a01a0； 3 、amnamnap4 、araaa0, , r sQ；5 、mnam；an指数函数：1 、yaxa1在定义域内是单调递增函数；注：指数 函数图象都恒过点0,12、xa1在定义域内是单调递减函数；ya0对数性质：1 、 logaMlogaNablog aMN；2、 logaMalogaNlogaM；0N3 、 logabmmlog； 4 、 logambnnlogb；5 、 log 1m6 、logaa1；7 、alog a bb对数函数：1 、ylogax a1在定义域内是单调递增函数；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、ylogax0a1在定义域内是单调递减函数；注： 对数 函数图象都恒过点1,03 、logax0a x0,1 或a x1,. N1px. 4 、 logax0a0,1 就x1,或a1,就x0,114 对数的换底公式 :logaNlogmN a0, 且a1,m0, 且m1 ,N0logma对数恒等式：alog a NN a0, 且a1,N0. 推论loga mbnnlogaba0, 且a1,N0. m15 对数的四就运算法就: 假设 a0,a 1,M0,N0,就1 log aMNlogaMlogaN ; 2 logaMlogaMlogaN; N3 logaMnnlogaM nR ; 4 logamNnnlogaN n mR ；m16 平均增长率的问题负增长时p0：y假如原先产值的基础数为N,平均增长率为p ,就对于时间x 的总产值 y ,有17 等差数列：通项公式：1a n a 1 n 1 d,其中 a 为首项, d 为公差, n 为项数,a 为末项；2推广：a n a k n k d3a n S n S n 1 n 2注：该公式对任意数列都适用前 n 项和：1S n n a 1 a n ；其中 a 为首项, n 为项数,a 为末项；2n n 12S n na 1 d23S n S n 1 a n n 2注 ：该公式对任意数列都适用4S n a 1 a 2 a n注 ：该公式对任意数列都适用常用性质：1、假设 m+n=p+q ,就有 a m a n a p a q；注： 假设 a m 是 a n , a p 的等差中项,就有 2 a m a n a p n、m、p 成等差；2、假设 a n、b n 为等差数列,就 a n b n 为等差数列；3、a n 为等差数列,S 为其前 n 项和,就 S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m 也成等差数列；4、a p q a q p , 就 a p q 0；51+2+3+ +n= n n 1 2等比数列：4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 通项公式：1ana qn1a 1qnnN*,其中a 为首项, n 为项数, q 为公比；qn k2推广：a n a k q3a n S n S n 1 n 2注：该公式对任意数列都适用前 n 项和：1S n S n 1 a n n 2注：该公式对任意数列都适用2S n a 1 a 2 a n注：该公式对任意数列都适用na 1 q 13S n a 1 1 q n q 11 q常用性质：1、假设 m+n=p+q ,就有 a m a n a p a q；2注： 假设 a m 是 a n , a p 的等比中项,就有 a m a n a p n、m、p 成等比；2、假设 a n、b n 为等比数列,就 a n b n 为等比数列；n18 分期付款 按揭贷款 ：每次仍款 x ab 1n b 元贷款 a 元, n 次仍清 ,每期利率为 b . 1 b 119 三角不等式：1假设x0,2,就 sinxxtanx . . =sin,2 假设x0,2,就 1sinxcosx23 | sinx| cosx| 1. 1 , tan20 同角三角函数的基本关系式：sin2cos2cos21 正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变,符号看象限22 和角与差角公式sinsincoscossin; cosbcoscos. sinsin; tantantan. 1tantan . asinbcos=2 ab2 sin 帮助角所在象限由点 , a b 的象限打算 , tana23 二倍角公式及降幂公式1tan2sin 2sincos12tan2. tancos 2cos2sin22cos2112sin21 12 tancos2tan212tan. tansin22 tan1 cos2sin 25 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 1 cos2sin224 三角函数的周期公式,cos21cos22函数y|sinxy, x R 及函数ycos,x,x RA, ,为常数,且A 0 的周期T2；函数tanx,xk2kZ A, ,为常数,且A 0 的周期T|. |三角函数的图像：-2-3/2y=sinxy3/2y=cosxy1/23/22x1-/2o/22x-2-3/2-/2o-25 正弦定理：aA-1cC2R-1. B:sinCbR为ABC 外接圆的半径sinsinBsin2RsinCa b csinA:sina2RsinA b2RsinB c26 余弦定理：a2b2c22bccosA ;b2c2a22cacosB ;c2a22 b2abcosC . 27 面积定理：1S 1ah a 1bh b 1ch c h a、h b、h c 分别表示2 2 22S 1ab sin C 1bc sin A 1ca sin B . 2 2 23 S OAB 1| OA | | OB | 2 OA OB 2. 22 S a bc 斜边r 内切圆 , r 直角 内切圆a b c 228 三角形内角和定理：在 ABC中,有 A B C C A B C A B2 C 2 2 A B . 2 2 229 实数与向量的积的运算律 : 设 、 为实数,那么：1 结合律： a= a ; 2 第一安排律： + a = a + a ; 3 其次安排律： a +b = a + b . 30 a 与 b 的数量积 或内积 ： a ·b =| a | b | cos；31 平面对量的坐标运算：a、b、c 边上的高 . 1 设 a =x 1,y 1, b =x 2,y 2,就 a +b =x 1x2,y 1y2. y 1. 2 设 a =x 1,y 1, b =x 2,y 2,就 a - b =x 1x2,y 1y2. 3设 Ax 1,y 1,Bx 2,y2, 就ABOBOAx 2x y 1 24 设 a = , x y,R ,就a=x,y . y y2. 5 设 a =x 1,y 1, b =x2,y2,就 a ·b =x x 232 两向量的夹角公式：cos|a b|2 x 1x x2y y 22 y 2 a =x 1,y 1, b =x 2,y2. a| |b2 y 1x2 233 平面两点间的距离公式：dA B=|AB|AB ABx 2x 12y 2y 12Ax y 1,Bx2,y2. 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 34 向量的平行与垂直：设 a =x y 1, b =x 2,y2,且 b0 ,就：a | b b = a x y 2 x y 1 0 . 交叉相乘差为零a b a 0 a ·b =0 x x 2 y y 2 0 . 对应相乘和为零35 线段的定比分公式：设 P x 1 , y 1 , 2 P x 2 , y 2 , , P x y 是线段 P P 的分点 , 是实数,且 PP PP ,就 x x 11 x 2OP OP 1 OP 2y y 1 y 2 11OP tOP 1 1 t OP t 1. 136 三角形的重心坐标公式： ABC 三个顶点的坐标分别为 Ax ,y 、1 1 Bx ,y 2 2 、Cx ,y 3 3 , 就 ABC的重心的坐标是 G x 1 x 2 x 3 , y 1 y 2 y 3 . 3 337 三角形五“ 心” 向量形式的充要条件：设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 A B C 所对边长分别为 a b c ,就2 2 21 O为 ABC的外心 OA OB OC . 2 O为 ABC 的重心 OA OB OC 0 . 3 O为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . 4 O为 ABC 的内心 aOA bOB cOC 0 . 5 O为 ABC 的 A 的旁心 aOA bOB cOC . 38 常用不等式：1a b R a 2b 22 ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 2a b R a b ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 23 3 33a b c 3 abc a 0, b 0, c 0.4a b a b a b . 2 252 ab ab a b a b 当且仅当 ab 时取“=” 号 ；a b 2 239 极值定理 : 已知 x, y 都是正数,就有1假设积 xy 是定值 p ,就当 x y 时和 x y 有最小值 2 p；2假设和 x y 是定值 s ,就当 x y 时积 xy有最大值 1 s . 43已知 a b x y R ,假设 ax by 1 就有1 1 1 1 by ax 2 ax by a b a b 2 ab a b ；x y x y x y4已知 a b x y R ,假设 a b1 就有x yx y x y a b a b ay bx a b 2 ab a b 2x y x y40 一元二次不等式 ax 2bx c 0 或 0 a 0, b 24 ac 0,假如 a 与 ax 2bx c 同号,就其解集在两根之外；假如 a 与 ax 2bx c 异号,就其解集在两根之间 . 简言之：同号两根之外,异号两根之间 . 即：7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1xx2xx 1xx20x 1x 2；xx 1,或xx2xx 1xx 20x 1x2. y . 41 含有肯定值的不等式：当 a> 0 时,有xax2a 2axa . xax22 axa 或 xa . 42 斜率公式：ky2y 1P x y 1、P 2x 2,y2. x2x 143 直线的五种方程：1点斜式yy 1k xx 1 直线 l 过点P x 1,y 1,且斜率为 k 2斜截式ykxb b 为直线 l 在 y 轴上的截距 . 3两点式yy 1xx 1y 1y P x y 1、P 2x 2,y 2 x 1x 2,y 1y2y 1x 2x 1两点式的推广：x 2x 1yy 1y 2y 1xx 10无任何限制条件！ 4 截距式xy1 a、b分别为直线的横、纵截距,a0、b0 a Axb By5一般式其中 A、B 不同时为 0. C0直线AxByC0的法向量：l , A B ,方向向量：l ,A44 夹角公式：1 tan | k 2 k 1 | . 1 : y k x b ,l 2 : y k x b , k k 2 1 1 k k 2 12 tan | A B 2 A B 1 | . 1 : Ax B y C 1 0 , 2 : A x B y C 2 0 , A A 2 B B 2 0 . A A 2 B B 2直线 l 1 l 时,直线 l 1与 l 2 的夹角是 . 245 1l 到 2l 的角公式：1 tan k 2 k 1. 1 : y k x b ,l 2 : y k x b , k k 2 1 1 k k 1A B 2 A B 12 tan . 1 : A x B y C 1 0 , 2 : A x B y C 2 0 , A A 2 B B 2 0 . A A 2 B B 2直线 l 1 l 时,直线 l 1 到 l 2的角是 . 246 点到直线的距离：d | Ax 02 By 02 C |点 P x 0 , y 0 ,直线 l ：Ax By C 0 . A B47 圆的四种方程：2 2 21圆的标准方程 x a y b r . 2 2 2 22圆的一般方程 x y Dx Ey F 0 D E 4 F 0. x a r cos3圆的参数方程 . y b r sin4圆的直径式方程 x x 1 x x 2 y y 1 y y 2 0 圆的直径的端点是 A x y 、B x y . 2 2 248 点与圆的位置关系：点 P x 0 , y 0 与圆 x a y b r 的位置关系有三种：2 2假设 d a x 0 b y 0 ,就 d r 点 P 在圆外 ; 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - dr点 P 在圆上 ; AxdrC点 P 在圆内 . a2yb2r2的 位 置 关 系 有 三 种49 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ： 直 线By0与 圆xAa Bb C d : A 2 B 2d r 相离 0 ; d r 相切 0 ; d r 相交 0 . 50 两圆位置关系的判定方法 : 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,O 1 O 2 d,就：d r 1 r 2 外离 4 条公切线 ; d r 1 r 2 外切 3 条公切线 ; r 1 r 2 d r 1 r 2 相交 2 条公切线 ; 内含 内切 相交 外切 相离d r 1 r 2 内切 1 条公切线 ; 0 d r 1 r 2 内含 无公切线 . o d r2-r1 d r1+r2 d d51 椭圆a x 22b y2 21 a b 0 的参数方程是 xy ab cossin . 离心率 e ca 1 ba 22,2 2准线到中心的距离为 a,焦点到对应准线的距离 焦准距 p b；c c2过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为：2 b . a2 252 椭圆 x2 y2 1 a b 0 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 : a b2 2a a 2 F PFPF 1 e x a ex,PF 2 e x a ex；S F PF 1 2 c y P | b tan；c c 253 椭圆的的内外部 : 2 2 2 21点 P x 0 , y 0 在椭圆 x2 y2 1 a b 0 的内部 x 02 y 02 1 . a b a b2 2 2 22点 P x 0 , y 0 在椭圆 x2 y2 1 a b 0 的外部 x 02 y 02 1 . a b a b54 椭圆的切线方程 : 2 21 椭圆 x2 y2 1 a b 0 上一点 P x 0 , y 0 处的切线方程是 x x2 y y2 1 . a b a b2 22过椭圆 x2 y2 1 外一点 P x 0 , y 0 所引两条切线的切点弦方程是 x x2 y y2 1 . a b a b2 23椭圆 x2 y2 1 a b 0 与直线 Ax By C 0 相切的条件是 A a 2 2B b 2 2c . 2a b2 2 2 255 双曲线 x2 y2 1 a 0, b 0 的离心率 e c1 b2,准线到中心的距离为 a,焦点到对应a b a a c2 2准线的距离 焦准距 p b；过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为：2 b .c a2 2焦半径公式 PF 1 | e x a | | a ex |,PF 2 | ax | | a ex |,c c两焦半径与焦距构成三角形的面积 S F PF 1 2 b 2cot F PF；29 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 56 双曲线的方程与渐近线方程的关系 : 1 假设双曲线方程为x2y21渐近线方程：x2y20ybx. . 1. 2222ababa 2假设渐近线方程为ybxxy0双曲线可设为x2y2. aaba2b22 23 假设双曲线与 x 2 y 2 a b0,焦点在 x 轴上,1有公共渐近线,可设为x2y2a2b20,焦点在y 轴上 . 4 焦点到渐近线的距离总是b；57 双曲线的切线方程: 1 双曲线2 xy21 a0,b0上一点P x 0,y0处的切线方程是x xy y12 ab2a2b2 2过双曲线2 xy21外一点P x0,y0所引两条切线的切点弦方程是x xy y2 ab2a22 b3双曲线x22