2013年福建省高一数学竞赛试题.doc

2013年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月12日上午8:3011:00）一、选择题（每小题6分，共36分）1.已知集合，则的非空真子集有（ ）A.31 B.30 C.15 D.162.给出下列四个命题：若平面内有不在一条直线上的三个点到平面的距离相等，则平行。三个平面可以把空间分成七个部分。正方体中与对角线成异面直线的棱共有5条。若一条直线和平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中假命题的个数为（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.设方程与的根分别为，则（ ）A. B. C. D.4.函数图像的对称中心是（ ）A. B. C. D. 5.已知从点出发的三条射线，两两成60，且分别与球相切于，三点。若球的体积为，若，两点间的距离为（ ）A. B. C.3 D.66.已知二次函数，点。若存在两条都过且互相垂直的直线和，它们与二次函数的图像都没有公共点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 一、填空题（每小题6分，共36分）7.已知的顶点、在直线上，点的坐标为。若重心的坐标为，则=_。8.已知是棱长为2的正方体，点是底面的中心。是棱的中点。则四面体的体积为_。9.已知函数满足：（1）对任意实数，；（2）对任意实数，；（3）当时，。若关于的方程，且在区间内恰有6个不同的实根，则的取值范围为_。10.已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围为_。11.对正整数，记为数的十进制表示的数码和（如，时，由，得）。则的最小值为_。12.对于给定正整数，由不大于的连续5个正整数的和组成集合，由不大于的连续6个正整数的和组成集合，若集合的元素个数为2013，则的最大值为_。三解答题（第13141516题每题16分，第17题14分，满分78分）13.设为曲线上任意一点，为曲线上任意一点，定义、两点间的距离的最小值为曲线与间的距离。已知曲线，曲线。 （1）求曲线与曲线间的距离的表达式。 （2）若关于的方程有解，求的取值范围。14. 过坐标原点，作圆的两条切线，设切点为，。 （1）求直线的方程以及线段的长（2）求内切圆的方程15.如图，圆为锐角的外接圆。直线与分别与边和交于点、，直线交的外接圆于、，且。 （1）求证： （2）求证：16.已知直线与幂函数的图像交于，两点，且。 （1）求的值； （2）设符号表示不超过的最大整数。 记。求的值。17.对任意的实数，定义，其中表示不超过的最大整数。 （1）求函数的值域 （2）设，是任意给定的个互不相等的实数。 求证：存在某个正整数， 使得