-人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件-教学设计.docx

课程基本信息课题数学活动：探究四点共圆的条件教科书书名：义务教育教科书 数学（九年级上册）出版社：人民教育出版社 出版日期：2014年6月教学目标教学目标：（1）探索并证明对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论. （2）在探究的过程中，体会由特殊到一般的数学思想，积累数学活动经验. 教学重点：四点共圆的条件的探究. 教学难点：四点共圆的条件的证明. 教学过程时间教学环节主要师生活动一、创设情境，提出问题【创设情境】（1）经过一点A，可以在平面内作无数个圆. （2）经过两点A，B，可以在平面内作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. （3）经过三点：若A，B，C三点共线，则不能作出过三点的圆；若A，B，C三点不共线，可以作出一个圆. 即：不在同一直线上的三点可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆. （4）经过平面内四点：若四个点中有任意三点共线，则不能作出过四点的圆；若其中任意三点都不共线，能否作出过四点的圆呢？ 【提出问题】过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？二、探究问题，提出猜想【引例】过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？正方形矩形平行四边形等腰梯形直角梯形想一想：正方形、矩形、等腰梯形有哪些共同特征？具有这些特征的其它四边形，过它的四个顶点是否一定能作一个圆？【猜想1】 有一组对边平行的四边形的四个顶点共圆. 【猜想2】有两个角是直角的四边形的四个顶点共圆.分析：需要分情况讨论. 当两个直角相邻时，由直角梯形可知，四个顶点不一定共圆. 当两个直角相对时，如图1，四边形ABCD中，A=C=90°. 如图2，连接BD，作BD的中点O，连接OA，OC，则OA=OB=OD=OC，所以A，B，C，D在圆O上. 图1图2【猜想3】过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆. 三、证明猜想，得出结论已知：四边形ABCD中，B+D=180°. 求证：A，B，C，D四点共圆. 证明：过A，B，C三点作O，假设点D不在O上，则点D在O内或点D在O外. 若点D在O内，延长AD交O于E，连接CE，则B+E=180°. 又B+ADC=180°，ADC=E. 这与CDE中，ADC>E矛盾，所以点D不在O内. 若点D在O外，（请自己完成后面的画图和证明）综上，假设不成立，点D在过A，B，C三点的圆上. 结论：经过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆. 四、运用迁移【例】三角形的三条高线交于一点. 已知：如图，ABC的两条高BD，CE交于点H，连接AH并延长交BC于F. 求证：AFBC. 【例】如图，ABC=ADC. 求证：A，B，C，D四点共圆. 五、总结提升【课堂小结】1. 你可以用哪些方法证明四点共圆？2. 如果要证明五个或五个以上的点共圆，可以怎样做？【布置作业】1. 如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，添加下列条件中的一个后，不一定使A，B，C，D四点共圆的是（ ）. （A）B+D=180°（B）A=BCD（C）A=DCE（D）A=BCD=90°2. 如图，将一个含45°角的直角三角板ABC和一个含30°角的直角三角板ADC拼在一起，斜边AC恰好重合，则BDC=_°. 1. 如图，正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B，C重合），AEF=90°. 作正方形的外角DCG的平分线交射线EF于点H. 请补全图形，并探究线段AE与EH之间的大小关系. （提示：先证明A，E，C，F四点共圆. ）5 / 5