高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质练习.doc
2.2.2对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质1.下列函数是对数函数的是(C)(A)y=logax2(a>0且a1)(B)y=logax(a>0且a1)(C)y=lox(a>0且a1)(D)y=loga|x|(a>0且a1)解析:A和D中真数不是自变量x,不是对数函数;B中logax前的系数不是1,故不是对数函数.故选C.2.函数f(x)=loga(2x-3)-4(a>0且a1)的图象恒过定点(D)(A)(1,0) (B)(1,-4) (C)(2,0)(D)(2,-4)解析:因为总有f(2)=loga(22-3)-4=-4,所以函数恒过定点(2,-4).故选D.3.已知函数f(x)=loga(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是(A)(A)增函数(B)减函数(C)奇函数(D)偶函数解析:由题意知所以故f(x)=log4(x-3).因此函数在定义域上是增函数,选A.4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0上单调递增,若实数a满足f()>f(-),则a的取值范围是(B)(A)(-,)(B)(0,)(C)(,+)(D)(1,)解析:由题知f()>f(-)可得f()>f(),即f()>f(),又可知f(x)在0,+)上单调递减,则0<<,即log3a<得0<a<.故选B.5.已知f(x)=满足f(a)=3,则f(a-5)的值为(A)(A)(B)(C)log23(D)1解析:当a3时,f(a)=2a-3+1=3a=4>3,不合题设;当a>3时,f(a)=log2(a+1)=3a=7>3,成立,所以f(a-5)=f(2)=22-3+1=.故选A.6.函数f(x)=的定义域为(0,10,则实数a的值为(C)(A)0(B)10(C)1(D)解析:由已知,得a-lg x0的解集为(0,10,由a-lg x0,得lg xa,x10a,又0<x10,所以a=1,故选C.7.已知a<b,函数f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=logb(x+a)的图象可能为(B)解析:由题图可知0<a<1<b,故函数g(x)单调递增,排除A,D,结合a的范围可知选B.8.函数f(x)=loga|x|+1(a>1)的图象大致为(C)解析:函数f(x)=loga|x|+1(a>1)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,当x>0时,f(x)=logax+1是增函数;当x<0时,f(x)=loga(-x)+1是减函数,又因为图象过(1,1),(-1,1)两点,结合选项可知,选C.9.函数f(x)=+lg(1-3x)的定义域为.解析:由题得得x<.答案:(-,)10.如果函数f(x)=(3-a)x,g(x)=logax的增减性相同,则a的取值范围是.解析:若f(x),g(x)均为增函数,则即1<a<2,若f(x),g(x)均为减函数,则无解.答案:(1,2)11.若函数y=log2x+2的反函数的定义域为(3,+),则此函数的定义域为.解析:函数y=log2x+2的反函数的定义域为(3,+),则这个函数的值域为(3,+),所以log2x+2>3,得log2x>1,所以x>2.答案:(2,+)12.若函数y=f(x)的定义域为(0,+),且满足f(xy)=f(x)+f(y),并且对任意x1,x2(0,+)时,>0,试写出满足题意的一个函数解析式.解析:由对数函数满足f(xy)=f(x)+f(y)且根据>0知为增函数,故函数y=f(x)可以是一个对数的底数大于1的增函数.答案:f(x)=log3x(x>0)(只要是底数大于1的对数函数均可)13.已知函数f(x)=2+log3x,x1,9,求函数y=f(x)2+f(x2)的最大值及此时x的值.解:y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+log3x2+2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3,因为f(x)的定义域为1,9,则y=f(x)2+f(x2)中x必须满足所以1x3,所以0log3x1,所以6y13.所以当x=3时,ymax=13.14.已知函数f(x)=loga(3+2x),g(x)=loga(3-2x)(a>0,且a1).(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明.解:(1)要使函数y=f(x)-g(x)有意义,必须有解得-<x<.所以函数y=f(x)-g(x)的定义域是x-<x<.(2)y=f(x)-g(x)是奇函数.由(1)知函数y=f(x)-g(x)的定义域关于原点对称,f(-x)-g(-x)=loga(3-2x)-loga(3+2x)=-loga(3+2x)-loga(3-2x)=-f(x)-g(x).所以函数y=f(x)-g(x)是奇函数.15.设定义域均为,8的两个函数f(x)和g(x),其解析式分别为f(x)=log2x-2和g(x)=log4x-.(1)求函数y=f(x)的值域;(2)求函数G(x)=f(x)g(x)的值域.解:(1)因为y=log2x在,8上是增函数,所以log2log2xlog28,即log2x,3.故log2x-2-,1,即函数y=f(x)的值域为-,1.(2)G(x)=f(x)g(x)=(log2x-2)(log4x-)=(log2x-2)(log2x-)=(log2x)2-3log2x+2,令t=log2x,x,8,t,3,则y=(t2-3t+2)=(t-)2-,t,3,故当t=时,y取最小值,最小值为-;当t=3时,y取最大值,最大值为1.所以函数G(x)=f(x)g(x)的值域为-,1.16.若函数f(x)=a1-x(a>0,a1),且f(-1)=,则g(x)=loga|x+1|的图象是(A)解析:由f(-1)=得,a2=,所以a=,所以g(x)=lo|x+1|=由此选A.17.若log(2a-1)(a2-2a+1)的值为正数,则a的取值范围是(D)(A)(0,2) (B)(0,)(1,2)(C)(-,0)(2,+)(D)(,1)(2,+)解析:由于对数值为正,则或解得a(,1)(2,+).故选D.18.函数y=lo(3+2x-x2)的值域是.解析:设u=3+2x-x2=-(x-1)2+44,因为u>0,所以0<u4,又因为y=lou在(0,+)上是减函数,所以y=loulo4=-2.答案:-2,+)19.已知函数f(x)=的值域为R,那么a的取值范围是.解析:由题意得当x1时,ln x0,要使函数f(x)的值域为R,则需满足解得-1a<.所以实数a的取值范围为-1,).答案:-1,)20.函数f(x)=lg(ax)lg.(1)当a=0.1,求f(1 000)的值;(2)若f(10)=10,求a的值;(3)若对一切正实数x恒有f(x),求a的取值范围.名师点拨:当a=0.1时,直接代入x=1 000可求f(1 000)的值,而根据f(10)=10,可转化为关于lg a的二次方程,解方程可求a,当f(x)时,可转化为关于lg x的二次不等式恒成立问题,由此根据判别式的符号结合对数函数性质求a的范围.解:(1)当a=0.1时,f(x)=lg(0.1x)lg,所以f(1 000)=lg 100lg=2(-7)=-14.(2)因为f(10)=lg(10a)lg=(1+lg a)(lg a-2)=lg2a-lg a-2=10,所以lg2a-lg a-12=0,所以(lg a-4)(lg a+3)=0,所以lg a=4或lg a=-3.所以a=104或a=10-3.(3)因为对一切正实数x恒有f(x),所以lg(ax)lg对一切正实数恒成立.即(lg a+lg x)(lg a-2lg x),所以2lg2x+lg alg x-lg2a+0对任意正实数x恒成立.因为x>0,所以lg xR.由二次函数的性质可得,=lg2a-8(-lg2a)0.所以lg2a1,所以-1lg a1.所以a10.所以a的取值范围为,10.
