2000年全国高中数学联赛试题及解析-苏教版.doc

2000年全国高中数学联合竞赛试卷10月15日上午8:00-9:40一、 选择题此题总分值36分，每题6分1设全集是实数，假设A=x|0，B=x|10=10x，那么ARB是( )(A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D) Æ2设sina0，cosa0，且sincos，那么的取值范围是( )(A)(2kp+，2kp+)， kÎZ (B)( + ，+)，kÎ Z(C)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z (D)(2kp+，2kp+)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z3点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，那么ABC的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)64给定正数p，q，a，b，c，其中p¹q，假设p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，那么一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5平面上整点纵、横坐标都是整数的点到直线y=x+的距离中的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 6设=cos+isin，那么以w，w3，w7，w9为根的方程是( )(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0二填空题此题总分值54分，每题9分1arcsin(sin2000°)=_2设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，)，那么(+)=_.3等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是_.4在椭圆+=1 (ab0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.假设该椭圆的离心率是，那么ABF=_.5一个球与正四面体的六条棱都相切，假设正四面体的棱长为a，那么这个球的体积是_.6如果：(1)a，b，c，d都属于1，2，3，4；(2)a¹b，b¹c，c¹d，d¹a；(3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_三、解答题(此题总分值60分，每题20分)1设Sn=1+2+3+n，nÎN*，求f(n)=的最大值2假设函数f(x)=x2+在区间a，b上的最小值为2a，最大值为2b，求a，b3C0：x2+y2=1和C1：+=1 (ab0)试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论2000年全国高中数学联赛二试题10月15日上午1000-1200一此题总分值50分ABCDEFMN如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足BAE=CAF，作FMAB，FNACM、N是垂足，延长AE交三角形ABC的外接圆于D证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等二此题总分值50分设数列a n和b n 满足a0=1，a1=4，a2=49，且n=0，1，2，证明a nn=0，1，2，是完全平方数三此题总分值50分有n个人，他们中的任意两人至多通 一次，他们中的任意n2个人之间通 的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值2000年全国高中数学联合竞赛试题解答第一试一选择题此题总分值36分，每题6分1设全集是实数，假设A=x|0，B=x|10=10x，那么ARB是( )(A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D) Æ解：A=2，B=2，1，应选D2设sina0，cosa0，且sincos，那么的取值范围是( )(A)(2kp+，2kp+)， kÎZ (B)( + ，+)，kÎZ(C)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z (D)(2kp+，2kp+)(2kp+，2kp+p)，kÎZ解：满足sina0，cosa0的的范围是(2kp+，2kp+)，于是的取值范围是(+，+)，满足sincos的的取值范围为(2kp+，2kp+)故所求范围是(2kp+，2kp+)(2kp+，2kp+p)，kÎZ选D3点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，那么ABC的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6解：A(1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得B(2，)， S=3选C4给定正数p，q，a，b，c，其中p¹q，假设p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，那么一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根解：a2=pq，b+c=p+qb=，c=；=a2bc=pq(2p+q)(p+2q)=(pq)2<0选A5平面上整点纵、横坐标都是整数的点到直线y=x+的距离中的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 解：直线即25x15y+12=0平面上点(x，y)到直线的距离=5x3y+2为整数，故|5(5x3y+2)+2|2且当x=y=1时即可取到2选B6设=cos+isin，那么以w，w3，w7，w9为根的方程是( )(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0解：5+1=0，故w，w3，w7，w9 都是方程x5+1=0的根x5+1=(x+1)(x4x3+x2x+1)=0选B二填空题此题总分值54分，每题9分1arcsin(sin2000°)=_.解：2000°=180°×12160°故填20°或2设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，)，那么(+)=_.解：an=3n2C =，故填183等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是_.解：q=填4在椭圆+=1 (ab0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.假设该椭圆的离心率是，那么ABF=_.解：c=a，|AF|=a|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2故有|AF|2=|AB|2+|BF|2即ABF=90°填90°或由b2=a2c2=a2=ac，得解5一个球与正四面体的六条棱都相切，假设正四面体的棱长为a，那么这个球的体积是_.解：取球心O与任一棱的距离即为所求如图，AE=BE=a，AG=a，AO=a，BG=a，ABAO=BGOHOH=aV=r3=a3填a36如果：(1)a，b，c，d都属于1，2，3，4；(2)a¹b，b¹c，c¹d，d¹a；(3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_解：a、c可以相等，b、d也可以相等 当a、c相等，b、d也相等时，有C=6种； 当a、c相等，b、d不相等时，有A+A=8种； 当a、c不相等，b、d相等时，有CC+C=8种； 当a、c不相等，b、d也不相等时，有A=6种；共28种填28三、解答题(此题总分值60分，每题20分)1设Sn=1+2+3+n，nÎN*，求f(n)=的最大值解：Sn=n(n+1)，f(n)= = (n=8时取得最大值)2假设函数f(x)=x2+在区间a，b上的最小值为2a，最大值为2b，求a，b解： 假设ab<0，那么最大值为f(b)=b2+=2b最小值为f(a)=a2+=2a即a，b是方程x2+4x13=0的两个根，而此方程两根异号故不可能 假设a<0<b，当x=0时，f(x)取最大值，故2b=，得b=当x=a或x=b时f(x)取最小值，f(a)=a2+=2a时a=2±，但a<0，故取a=2由于|a|>|b|，从而f(a)是最小值f(b)=b2+=2a>0与a<0矛盾故舍 0a<b此时，最大值为f(a)=2b，最小值为f(b)=2a b2+=2aa2+=2b相减得a+b=4解得a=1，b=3 a，b=1，3或2，3C0：x2+y2=1和C1：+=1 (ab0)试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论解：设PQRS是与C0外切且与C1内接的平行四边形易知圆的外切平行四边形是菱形即PQRS是菱形于是OPOQ设P(r1cos，r1sin)，Q(r2cos(+90°)，r2sin(+90°)，那么在直角三角形POQ中有r12+r22=r12r22(利用POQ的面积)即+=1但+=1，即=+，同理，=+，相加得+=1反之，假设+=1成立，那么对于椭圆上任一点P(r1cos，r1sin)，取椭圆上点Q(r2cos(+90°)，r2sin(+90°)，那么=+，=+，于是+=+=1，此时PQ与C0相切即存在满足条件的平行四边形故证第二试一此题总分值50分如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足BAE=CAF，作FMAB，FNACM、N是垂足，延长AE交三角形ABC的外接圆于D证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等证明：连MN，那么由FMAM，FNAN知A、M、F、N四点共圆，且该圆的直径为AF又ÐAMN=ÐAFN，但ÐFAN=ÐMAD，故ÐMAD+ÐAMN=ÐFAN+ÐAFN=90°MNAD，且由正弦定理知，MN=AFsinASAMDN=AD·MN=AD·AFsinA连BD，由ÐADB=ÐACF，ÐDAB=ÐCAF，得ABDAFC ADAB=ACAF，即AD·AF=AB·AC SAMDN=AD·AFsinA=AB·ACsinA=SABC二此题总分值50分设数列a n和b n 满足a0=1，a1=4，a2=49，且n=0，1，2，证明a nn=0，1，2，是完全平方数证明 ×7：7an+1=49an+42bn21，×6：6bn+1=48an+42bn24两式相减得，6bn+17an+1=an3，即6bn=7anan13代入：an+1=14anan16故an+1=14(an)(an1)其特征方程为x214x+1=0，特征方程的解为x=7±4故an=(7+4)n+(74)n+,现a0=1，a1=4，a2=49解得= an=(7+4)n+(74)n+=(2+)2n+(2)2n+=(2+)n+(2)n2 由于(2+)n+(2)n是整数，故知an是整数的平方即为完全平方数三此题总分值50分有n个人，他们中的任意两人至多通 一次，他们中的任意n2个人之间通 的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值解：由条件知，统计各n2人组的通话次数都是3k次，共有C=C个n2人组，假设某两人通话1次，而此二人共参加了C= C个n2人组，即每次通话都被重复计算了C次即总通话次数应为·3k次由于(n1，n2)=1，故n2|n3k假设n2|n，故n2|2，易得n=4，(n=3舍去)此时k=0由n2|3k，n=3m+2，(m为自然数，且mk)，此时·3k =·3k=3m+4+·3km，即3m1|6 m=0，1当m=0时，n=3(舍去)，当m=1时，n=5又：n=4时，每两个人通话次数一样，可为1次(任何两人都通话1次)；当n=5时，任何两人都通话1次均满足要求 n=0，5