学年高中数学第四章导数应用..导数与函数的单调性训练含解析北师大版选修-.docx
第四章DISIZHANG导数应用§1函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性A组1.函数f(x)=x3+3x的递减区间为()A.(-1,0),(0,1)B.(-1,0)(0,1)C.(-1,1)D.(-,-1)(1,+)解析:函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+).f'(x)=3x2-3x2=3x2-1x2.令f'(x)>0,解得x<-1或x>1.令f'(x)<0,解得-1<x<1,且x0.所以函数f(x)的递增区间为(-,-1),(1,+);递减区间为(-1,0),(0,1).答案:A2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-3)=f(5)=1,f'(x)为f(x)的导函数,且导函数y=f'(x)的图像如图所示,则不等式f(x)<1的解集是()A.(-3,0)B.(-3,5)C.(0,5)D.(-,-3)(5,+)解析:依题意得,当x>0时,f'(x)>0,f(x)是增加的;当x<0时,f'(x)<0,f(x)是减少的.又f(-3)=f(5)=1,因此不等式f(x)<1的解集是(-3,5),选B.答案:B3.若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)<xf'(x),则()A.2f(1)<f(2)B.2f(1)>f(2)C.2f(1)=f(2)D.f(1)=f(2)解析:设g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2,f(x)<xf'(x),g'(x)>0,即g(x)在(0,+)上是增加的,g(1)<g(2),即f(1)1<f(2)22f(1)<f(2),故选A.答案:A4.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图所示,则下列关于函数y=f(x)的单调性的说法中,正确的是()A.在(x0,x1)上f(x)是常数函数B.在(-,x2)上f(x)不是单调函数C.在(x2,x3)上f(x)是常数函数D.在(x2,+)上f(x)是增加的解析:因为x(-,x2)时,f'(x)<0,故f(x)在(-,x2)上是减少的;x(x2,x3)时,f'(x)=0恒成立,即函数f(x)的变化率为0,故为常数函数.答案:C5.设函数f(x)的图像如图所示,则导函数f'(x)的图像可能为()解析:由函数f(x)的图像可知,函数f(x)的递增区间为(1,4),递减区间为(-,1)和(4,+),因此x(1,4)时,f'(x)>0,x(-,1)或x(4,+)时,f'(x)<0,结合选项知选C.答案:C6.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论一定错误的是()A.f1k<1kB.f1k>1k-1C.f1k-1<1k-1D.f1k-1>kk-1解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,则F'(x)=f'(x)-k>0,函数F(x)在R上为增函数.1k-1>0,F1k-1>F(0)=f(0)=-1,即f1k-1>kk-1-1=1k-1,f1k-1>1k-1,故C错误.答案:C7.函数y=12x2-ln x的递增区间为,递减区间为. 解析:函数y=12x2-lnx的定义域为(0,+),y'=x-1x=x2-1x=(x+1)(x-1)x,若y'>0,即x(x+1)(x-1)>0,x>0,解得x>1;若y'<0,即x(x+1)(x-1)<0,x>0,解得0<x<1.故函数y=12x2-lnx的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1).答案:(1,+)(0,1)8.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图所示,则在(-2,+)上,函数y=f(x)的递增区间为. 解析:由f'(x)的图像可知,当x(-1,2)和x(4,+)时,f'(x)>0,故函数f(x)在(-1,2)和(4,+)上都是增加的.答案:(-1,2)和(4,+)9.已知函数f(x)=ln x,g(x)=12ax+b.(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;(2)若(x)=m(x-1)x+1-f(x)在1,+)上是减少的,求实数m的取值范围.解(1)由已知得f'(x)=1x,g'(x)=12a,f'(1)=1=12a,a=2.又g(1)=12a+b=0,b=-1,g(x)=x-1.(2)(x)=m(x-1)x+1-f(x)=m(x-1)x+1-lnx在1,+)上是减少的,'(x)=-x2+(2m-2)x-1x(x+1)20在1,+)上恒成立,即x2-(2m-2)x+10在1,+)上恒成立,则2m-2x+1x,x1,+)恒成立,x+1x2,+),2m-22,m2.故实数m的取值范围是(-,2.10.导学号01844042已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,xR,其中tR.(1)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)当t0时,求f(x)的单调区间.解(1)当t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f'(x)=12x2+6x-6,f'(0)=-6,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=-6x.(2)f'(x)=12x2+6tx-6t2,令f'(x)=0,解得x=-t或x=t2,因为t0,以下分两种情况讨论:若t<0,则t2<-t.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-,t2t2,-t(-t,+)f'(x)+-+f(x)所以f(x)的递增区间是-,t2,(-t,+),f(x)的递减区间是t2,-t.(2)若t>0,则t2>-t.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-t)-t,t2t2,+f'(x)+-+f(x)所以f(x)的递增区间是(-,-t),t2,+,f(x)的递减区间是-t,t2.B组1.已知f(x)=x-sin x,则f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数解析:显然f(x)是奇函数,又f'(x)=1-cosx0,所以f(x)在R上是增加的,故选B.答案:B2.函数f(x)的导数f'(x)的图像是如图所示的一条直线l,l与x轴交点坐标为(1,0),则f(0)与f(2)的大小关系为()A.f(0)<f(2)B.f(0)>f(2)C.f(0)=f(2)D.无法确定解析:由图知f'(1)=0.当x<1时,f'(x)>0,函数f(x)是增加的,当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)是减少的;又因为f(x)的导数f'(x)的图像是如图所示的一条直线l,所以f(x)是对称轴为x=1且开口向下的抛物线,故f(0)=f(2).答案:C3.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)>f(x),则f(2 017)与e·f(2 016)的大小关系为()A.f(2 017)<e·f(2 016)B.f(2 017)=e·f(2 016)C.f(2 017)>e·f(2 016)D.不能确定解析:构造函数g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex,因为f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,即函数g(x)在R上是增加的,则f(2017)e2017>f(2016)e2016,f(2017)>e·f(2016).答案:C4.已知函数f(x)=ln x-14ax2-x,若在区间(1,2)内任意两个实数p,q(pq),不等式f(p)-f(q)p-q>0恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-,2B.-,-12C.(-,0D.12,+解析:任意两个实数p,q(pq),不等式f(p)-f(q)p-q>0恒成立,即函数f(x)在(1,2)上是增加的,因此当x(1,2)时,f'(x)0恒成立,即1x-12ax-10恒成立,由此得a2x2-2x,而g(x)=2x2-2x在(1,2)上满足g(x)>-12,所以a-12.答案:B5.已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围是. 解析:由题意知f'(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x.由f'(x)=0得x=1或x=3.因为函数f(x)在区间t,t+1上不单调,所以t<1<t+1或t<3<t+1,解得0<t<1或2<t<3.答案:(0,1)(2,3)6.若函数f(x)图像上任意一点(x0,f(x0)处的切线斜率k=ln x0-2,则f(x)的递增区间是. 解析:由题意得f'(x)=lnx-2,令f'(x)=lnx-2>0,得x>e2,所以f(x)的递增区间是(e2,+).答案:(e2,+)7.导学号01844043已知函数f(x)=3xa-2x2+ln x(a>0).若函数f(x)在1,2上为单调函数,则a的取值范围是. 解析:f'(x)=3a-4x+1x,若函数f(x)在1,2上为单调函数,则f'(x)=3a-4x+1x0或f'(x)=3a-4x+1x0在1,2上恒成立,即3a4x-1x或3a4x-1x在1,2上恒成立.令h(x)=4x-1x,则h(x)在1,2上是增加的,所以3ah(2)或3ah(1),即3a152或3a3,又a>0,所以0<a25或a1.答案:0,251,+)8.导学号01844044设函数f(x)=aln x+x-1x+1,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解(1)由题意知a=0时,f(x)=x-1x+1,x(0,+).此时f'(x)=2(x+1)2.可得f'(1)=12,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+).f'(x)=ax+2(x+1)2=ax2+(2a+2)x+ax(x+1)2.当a0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+)上是增加的.当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,由于=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),当a=-12时,=0,f'(x)=-12(x-1)2x(x+1)20,函数f(x)在(0,+)上是减少的.当a<-12时,<0,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+)上是减少的.当-12<a<0时,>0.设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,则x1=-(a+1)+2a+1a,x2=-(a+1)-2a+1a.由x1=a+1-2a+1-a=a2+2a+1-2a+1-a>0,所以x(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)是减少的;x(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)是增加的;x(x2,+)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)是减少的.综上可得,当a0时,函数f(x)在(0,+)上是增加的;当a-12时,函数f(x)在(0,+)上是减少的;当-12<a<0时,f(x)在0,-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a,+上是减少的,在-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a上是增加的.
