天津101中学2022届高考数学总复习-导数单元精品教学案(教师版全套).doc

导数及其应用考纲导读1了解导数概念的某些实际背景如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个根本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么，了解复合函数的求导法那么，会求某些简单函数的导数.3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值知识网络高考导航导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大小值，以及最大小值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第1课时 变化率与导数、导数的计算根底过关1导数的概念：函数y的导数，就是当0时，函数的增量y与自变量的增量的比的 ，即 2导函数：函数y在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数.3导数的几何意义：设函数y在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 .4求导数的方法(1) 八个根本求导公式 ； ；(nQ) ， ， ， (2) 导数的四那么运算 ， (3) 复合函数的导数设在点x处可导，在点处可导，那么复合函数在点x处可导， 且 ，即.典型例题例1求函数y=在x0到x0+x之间的平均变化率.解 y= 变式训练1. 求y=在x=x0处的导数.解 例2. 求以下各函数的导数： 1 2 3 4 解 (1) y 2方法一 y=x2+3x+2x+3=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11. 方法二 =x+3+x+1x+2=x+2+x+1x+3+x+1x+2=2x+3x+3+x+1x+2=3x2+12x+11.3y=4 ，变式训练2：求y=tanx的导数. 解 y例3. 曲线y=1求曲线在x=2处的切线方程；2求曲线过点2，4的切线方程. 解 1y=x2,在点P2，4处的切线的斜率k=|x=2=4. 曲线在点P2，4处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 2设曲线y=与过点P2，4的切线相切于点，那么切线的斜率k=|=. 切线方程为即 点P2，4在切线上，4=即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 变式训练3：假设直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，那么k= . 答案 2或例4. 设函数 (a,bZ)，曲线在点处的切线方程为y=3.1求的解析式；2证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.1解 ，于是解得或因为a,bZ，故2证明 在曲线上任取一点由知，过此点的切线方程为令x=1，得，切线与直线x=1交点为令y=x，得，切线与直线y=x的交点为直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数fx=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P0，1，且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=fx的解析式.解 fx的图象过点P0，1，e=1. 又fx为偶函数，f-x=fx.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0，d=0. fx=ax4+cx2+1.函数fx在x=1处的切线方程为y=x-2，可得切点为1，-1.a+c+1=-1. =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，4a+2c=1. 由得a=，c=.函数y=fx的解析式为小结归纳1理解平均变化率的实际意义和数学意义。2要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论根底.第2课时 导数的概念及性质根底过关1 函数的单调性 函数y在某个区间内可导，假设0，那么为 ；假设0，那么为 .逆命题不成立(2) 如果在某个区间内恒有，那么 .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数的 ； 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 把函数的间断点即的无定义点的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成假设干个小区间； 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.2可导函数的极值 极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 或 ，那么称为函数的一个极大小值称为极大小值点. 求可导函数极值的步骤： 求导数； 求方程0的 ； 检验在方程0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y在这个根处取得 .3函数的最大值与最小值： 设y是定义在区间a ,b 上的函数，y在(a ,b )内有导数，那么函数y在a ,b 上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值(2) 求最值可分两步进行： 求y在(a ,b )内的 值； 将y的各 值与、比拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 假设函数y在a ,b 上单调递增，那么为函数的 ，为函数的 ；假设函数y在a ,b 上单调递减，那么为函数的 ，为函数的 .典型例题例1. f(x)=ex-ax-1.1求f(x)的单调增区间；2假设f(x在定义域R内单调递增，求a的取值范围；3是否存在a,使f(x)在-，0上单调递减，在0，+上单调递增？假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由.解：=ex-a.1假设a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.假设a>0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).2fx在R内单调递增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.aexmin，又ex>0，a0.3方法一 由题意知ex-a0在-，0上恒成立.aex在-，0上恒成立.ex在-，0上为增函数.x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+上恒成立.aex在0，+上恒成立.a1，a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.=0,即e0-a=0,a=1.变式训练1. 函数f(x)=x3-ax-1.1假设f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；2是否存在实数a,使f(x)在-1，1上单调递减？假设存在，求出a的取值范围；假设不存在，说明理由；3证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.1解 由=3x2-a,f(x)在-,+上是单调增函数，=3x2-a0在-,+上恒成立，即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时，=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数，那么a0.2解 由=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1<x<1,3x2<3,只需a3.当a=3时，=3(x2-1),在x(-1,1)上，<0,即f(x)在-1，1上为减函数，a3.故存在实数a3,使f(x)在-1，1上单调递减.3证明 f(-1)=a-2<a,f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.例2. 函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，假设x=时，y=f(x有极值.1求a,b,c的值；2求y=f(x在-3，1上的最大值和最小值.解 1由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=时，y=f(x)有极值，那么=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.2由1可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4 y=fx在-3，1上的最大值为13，最小值为变式训练2. 函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.解 先求导数,得y=4x3-4x,令y=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.导数y的正负以及f(-2),f(2)如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y-0+0-0+y1345413从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.例3. 函数f(x)=x2e-ax (a0),求函数在1，2上的最大值. 解 fx=x2e-axa0,=2xe-ax+x2·-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 令>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0<x<.f(x)在-,0),上是减函数，在上是增函数.当0<<1,即a>2时,f(x在1，2上是减函数,fxmax=f1=e-a. 当12,即1a2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)max=f=4a-2e-2. 当>2时，即0<a<1时，f(x)在1，2上是增函数，fxmax=f2=4e-2a.综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e-2a,当1a2时，f(x)的最大值为4a-2e-2,当a>2时，f(x)的最大值为e-a. 变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR.1当a=1时，求曲线y=f(x)在点2，f(2)处的切线方程；2当a0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：1当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,=-3x2+4x-1,-12+8-1=-5,当a=1时，曲线y=f(x)在点2,f(2)处的切线方程为5x+y-8=0.2f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令=0,解得x=或x=a.由于a0，以下分两种情况讨论.假设a>0，当x变化时，的正负如下表：x(-,)(,a)a(a,+)-0+0-f(x)0因此，函数f(x)在x=处取得极小值f，且f=-函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.假设a<0，当x变化时，的正负如下表：x(-,a)a(a,)(,+)-0+0-f(x)0-因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；函数f(x)在x=处取得极大值f,且f=-.例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的本钱为3元，并且每件产品需向总公司交a元3a5的管理费，预计当每件产品的售价为x元9x11时，一年的销售量为(12-x)2万件.1求分公司一年的利润L万元与每件产品的售价x的函数关系式；2当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Qa.解 1分公司一年的利润L万元与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令=0得x=6+a或x=12不合题意，舍去.3a5,86+a.在x=6+a两侧L的值由正变负.所以当86+a9即3a时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当96+a，即a5时，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以答 假设3a，那么当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Qa=9(6-a)万元；假设a5，那么当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= (万元).变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3单位：万元，本钱函数为C(x)=460x+5 000单位：万元，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).1求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；提示：利润=产值-本钱2问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？3求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在此题中的实际意义是什么？解：1P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(xN*，且1x20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (xN*,且1x19).2=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),x>0,=0时,x=12，当0<x<12时，>0,当x>12时，<0,x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.3MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.所以，当x1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为1，19，且xN*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比拟，利润在减少.小结归纳研究可导函数的单调性、极值最值时，应先求出函数的导函数，再找出0的x取值或>0(<0)的x的取值范围导数及其应用单元检测题一、选择题1.曲线y=ex在点2，e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.e2 B.2e2 C.e2 D.2.如果函数y=f(x)的图象如下图，那么导函数y=的图象可能是 ( )3.设f(x)=x2(2-x),那么f(x)的单调增区间是 A.(0, B.(+) C.(-,0) D.(-,0)(,+4.设aR,假设函数y=ex+ax,xR有大于零的极值点，那么 ( )A.a<-1 B.a>-1 C.a<- D.a>-5.函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，那么p、q的值分别为 A.6,9 B.9,6 C.4,2 D.8,66.x0,y0，x+3y=9,那么x2y的最大值为 A.36 B.18 C.25 D.427.以下关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的选项是 f(x)>0的解集是x|0<x<2;f(-)是极小值，f()是极大值；f(x)没有最小值，也没有最大值. A. B. C. D.8.函数f(x)的图象如下图，以下数值排序正确的选项是 ( )A.0f(3)-f(2)B.0f(3)-f(2) C.0f(3)f(3)-f(2)D.0f(3)-f(2)9.假设函数f(x)=x3-ax2+1在0，2内单调递减，那么实数a的取值范围为 A.a3 B.a=3 C.a3 D.0<a<310.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值10，那么a、b的值为 A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11 B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3 D.以上都不正确11.使函数f(x)=x+2cosx在0，上取最大值的x为 A.0 B. C. D.12.假设函数f(x)=x3-3bx+3b在0，1内有极小值，那么 A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b<二、填空题 13.假设f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，那么a的取值范围为 .14.如图是y=f(x)导数的图象，对于以下四个判断：f(x在-2，-1上是增函数；x=-1是f(x)的极小值点；f(x)在-1，2上是增函数，在2，4上是减函数；x=3是f(x)的极小值点.其中判断正确的选项是 .15.函数f(x)的导函数y=的图象如右图，那么函数f(x)的单调递增区间为 .16.函数f(x)的导函数为,且满足f(x)=3x2+2x,那么= .三、解答题17.函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)假设f(x)在-，+上是增函数，求b的取值范围;(2)假设f(x)在x=1处取得极值，且x-1,2时，f(x)<c2恒成立，求c的取值范围.18.设p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-,-2)和(2,+上是单调增函数；q:不等式x2-2xa的解集为R.如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围.19.函数f(x)=x(x-1)(x-a)在2，+上是增函数，试确定实数a的取值范围.20.定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,cR)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数f(x)在x=-1处取极值.1求f(x)的解析式；2讨论f(x)在区间-3，3上的单调性.21.如下图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离. 22.某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d，以下图是其运动轨迹的一局部，假设t，4时，s(t)<3d2恒成立，求d的取值范围.导数及其应用单元检测题答案一、选择题1.答案D2答案A3.答案 A4.答案A5.答案A6.答案A7.答案 D8.答案B9.答案A10.答案B11.答案B12.答案A二、填空题 13.答案 -1，214.答案 15.答案 -1，0和2，+16.答案 6三、解答题17.解 1=3x2-x+b,因f(x)在-，+上是增函数，那么0.即3x2-x+b0,bx-3x2在-，+恒成立.设g(x)=x-3x2.当x=时，g(x)max=,b.(2)由题意知=0，即3-1+b=0，b=-2.x-1,2时，f(x)<c2恒成立，只需f(x)在-1，2上的最大值小于c2即可.因=3x2-x-2,令=0,得x=1或x=-.f(1)=-+c,f(-f(2)=2+c.f(x)max=f(2)=2+c,2+c<c2.解得c>2或c<-1，所以c的取值范围为-，-12，+.18.解 命题p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,=3x2-2ax-4,y的图象为开口向上且过点0，-4的抛物线.由条件得0且0,即-2a2.命题q:该不等式的解集为R，a<-1.当p正确q不正确时,-1a2;当p不正确q正确时，a<-2.a的取值范围是-，-2-1，2.19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax=3x2-2(a+1)x+a要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在2,+)上是增函数，只需=3x2-2(a+1)x+a在2，+上满足0即可. =3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=,a的取值应满足：或解得:a.a的取值范围是a.20.解 1函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,F(-x)=-F(x)，化简计算得b=3.函数f(x)在x=-1处取极值，=0.f(x)=-2x3+3x2+cx, =-6x2+6x+c=-6-6+c=0,c=12.f(x)=-2x3+3x2+12x,2=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2).令=0,得x1=-1,x2=2,x-3(-3,-1)-1(-1,2)22，33-0+0-f(x)45-7209函数f(x)在-3，-1和2，3上是减函数，函数f(x)在-1，2上是增函数.21. 解 设Px0，y0，那么y0=,过点P的切线斜率k=x0,当x0=0时不合题意，x00.直线l的斜率kl=-,直线l的方程为y-.此式与y=联立消去y得x2+设Qx1,y1,M(x,y).M是PQ的中点，消去x0，得y=x2+1 (x0)就是所求的轨迹方程.由x0知x2>0,y=x2+12上式等号仅当x2=,即x=±时成立，所以点M到x轴的最短距离是+1.22. 解 =3t2+2bt+c.由图象可知，s(t)在t=1和t=3处取得极值.那么=0, =0.即解得=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3).当t，1时，>0.当t(1,3)时，<0.当t(3,4)时，>0.那么当t=1时，s(t)取得极大值为4+d.又s(4)=4+d，故t，4时，s(t)的最大值为4+d.s(t)<3d2在，4上恒成立，s(t)max<3d2.即4+d<3d2.解得d>或d<-1.d的取值范围是d|d>或d<-1.