届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标圆锥曲线的综合问题文新人教版.doc

课堂达标(四十六) 圆锥曲线的综合问题A根底稳固练1点A(0,2)和双曲线x21，过点A与双曲线只有一个公共点的直线的条数为()A1B2C3D4解析设过点A(0,2)的直线为ykx2.由得(4k2)x24kx80.当k24即k±2时，方程只有一解，即只有一个交点当k24，方程有一解时(4k)24×(4k2)×(8)0，k28，k±2，为切线斜率，共有4条直线应选D.答案D2(2022·嘉定模拟)过点P(1,1)作直线与双曲线x21交于A，B两点，使点P为AB中点，那么这样的直线()A存在一条，且方程为2xy10B存在无数条C存在两条，方程为2x±(y1)0D不存在解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x22，y1y22，那么xy1，xy1，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以x1x2(y1y2)，即kAB2，故所求直线方程为y12(x1)，即2xy10.联立可得2x24x30，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在应选D.答案D3假设直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是()A. B.C. D.解析由得(1k2)x24kx100.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么解得<k<1.答案D4(2022·山西太原五中模拟)中心为坐标原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，那么该椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由c5，设椭圆的方程为1，联立得消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为1.答案C5F为抛物线y28x的焦点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，那么|FA|FB|的值为()A4 B8C8 D16解析依题意知F(2,0)，所以直线l的方程为yx2，联立方程，得消去y得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x24，x1x212，那么|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|8.答案C6经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，那么·等于()A3 BC或3 D±解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan 45°(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，·，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·.答案B7双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，那么实数m的值为_解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，那么由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.·3，即kMN·3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0，又y0x0m，P，代入抛物线方程得m218·，解得m0或8，经检验都符合答案0或88(2022·东北三省联考)椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.那么椭圆C的方程为_解析由题意得解得椭圆C的方程为1.答案19(2022·兰州、张掖联考)如图，过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，假设|BC|2|BF|，且|AF|3，那么抛物线的方程是_解析如图，分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D，那么|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30°，又|AE|AF|3，|AC|6，即点F是AC的中点，根据题意得p，抛物线的方程是y23x.答案y23x10椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解(1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|·d，由，解得k±1.B能力提升练1(2022·河南洛阳统考)双曲线C：1(a0，b0)斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该双曲线交于A，B两点，假设与向量n(3，1)共线，那么双曲线C的离心率为()A. B.C. D3解析由题意得直线方程为yxc，代入双曲线的方程并整理可得(b2a2)x22a2cxa2c2a2b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，y1y2x1x22c，又与向量n(3，1)共线，3·，a23b2，又c2a2b2，e.答案B2(2022·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，那么|AB|的最大值为()A2 B.C. D.解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.那么x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|···，当t0时，|AB|max.答案C3如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p>0)经过C，F两点，那么_.解析由正方形的定义可知BCCD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|pa，D(，0)，F(b，b)，将点F的坐标代入抛物线的方程得b22p(b)a22ab，变形得()210，解得1或1(舍去)，所以1.答案14双曲线C：x21，直线y2xm与双曲线C的右支交于A，B两点(A在B的上方)，且与y轴交于点M，那么的取值范围为_解析由可得x24mxm230，由题意得方程在1，)上有两个不相等的实根，设f(x)x24mxm23，那么得m>1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)，得x12m，x22m，所以1，由m>1得，的取值范围为(1,74)答案(1,74)5设抛物线过定点A(1,0)，且以直线x1为准线(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)假设直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围解(1)设抛物线顶点为P(x，y)，那么焦点F(2x1，y)再根据抛物线的定义得|AF|2，即(2x)2y24，所以轨迹C的方程为x21.(2)设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，那么由点M，N为椭圆C上的点，可知两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将xMxN2×1，yMyN2y0，代入上式得k.又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0km.所以my0ky0.由点P在线段BB上，所以yB<y0<yB，也即<y0<.所以<m<，且m0.C尖子生专练(2022·山东省烟台市期末)ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(0，)，(0，)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m0)(1)求顶点C的轨迹的方程，并判断轨迹为何种曲线；(2)当m时，设点P(0,1)，过点P作直线l与曲线交于E，F两点，且，求直线l的方程解(1)令C点坐标为(x，y)，那么直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，所以有k1k2·m，化简得，x21(x0)所以当m1时，表示以(0,0)为圆心，为半径的圆，且除去(0，)，(0，)两点；当m1时，轨迹表示焦点在y轴上的椭圆，且除去(0，)，(0，)两点；当1m0时，轨迹表示焦点在x轴上的椭圆，且除去(0，)，(0，)两点；当m0时，轨迹表示焦点在y轴上的双曲线，且除去(0，)，(0，)两点(2)由题意知当m时曲线C为1(x0)，当直线l的斜率不存在时，不符合题意设直线l的方程为ykx1，代入椭圆方程整理得(34k2)x28kx80.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由得，x13x2.由韦达定理得x1x2，x1x2，所以x2，x，消去x2，解得k±，所以直线l的方程为y±x1.