届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第二章函数导数及其应用考点测试函数模型及其应用含解析新人教B版.doc

考点测试13函数模型及其应用高考概览高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用一、根底小题1一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为图中的()答案B解析蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义选B.2在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00那么对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x答案D解析根据x0.5，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意，应选D.3国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的局部按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，那么该公司的年收入是()A560万元 B420万元C350万元 D320万元答案D解析设该公司的年收入为a万元，那么280p%(a280)(p2)%a(p0.25)%，解得a320.应选D.4某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，p与时间t(单位：小时)满足p(t)p02，其中p0为t0时的污染物数量又测得当t0,30时，污染物数量的变化率是10ln 2，那么p(60)()A150毫克/升 B300毫克/升C150ln 2毫克/升 D300ln 2毫克/升答案C解析因为当t0,30时，污染物数量的变化率是10ln 2，所以10ln 2，所以p0600ln 2，因为p(t)p02，所以p(60)600ln 2×22150ln 2(毫克/升)5某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车P从点A出发的运动轨迹如下图设观察者从点A开始随小车P变化的视角为AOP，练车时间为t，那么函数f(t)的图象大致为()答案D解析根据小车P从点A出发的运动轨迹可得，视角AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着根本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，应选D.6f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比拟，以下选项中正确的选项是()Af(x)>g(x)>h(x) Bg(x)>f(x)>h(x)Cg(x)>h(x)>f(x) Df(x)>h(x)>g(x)答案B解析画出三个函数的图象，如以下图所示，当x(4，)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)>f(x)>h(x)7某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y1(x0)生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完假设每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产本钱的150%与“年平均每件甲产品所占广告费的50%之和，那么当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为()A30.5万元 B31.5万元C32.5万元 D33.5万元答案B解析由题意，得甲产品的生产本钱为(30y4)万元，销售单价为×150%×50%，故年销售收入为zy45y6x.所以年利润Wz(30y4)x15y217(万元)所以当广告费为1万元时，即x1，该企业甲产品的年利润为1731.5(万元)应选B.8某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：第x天12345被感染的计算机数量y/台12244995190那么以下函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是()Ay12x By6x26x12Cy6·2x Dy12log2x12答案C解析由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数，应选C.9某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个鼓励销售人员的奖励方案：在销售利润到达10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，那么以下函数最符合要求的是()Ayx Bylg x1Cyx Dy答案B解析由题意知，x10,1000，符合公司要求的模型需同时满足：函数为增函数；函数的最大值不超过5；yx·25%.对于yx，易知满足，但当x>20时，y>5，不满足要求；对于yx，易知满足，因为4>5，故当x>4时，不满足要求；对于y，易知满足，但当x>25时，y>5，不满足要求；对于ylg x1，易知满足，当x10,1000时，2y4，满足，再证明lg x1x·25%，即4lg x4x0，设F(x)4lg x4x，那么F(x)1<0，x10,1000，所以F(x)为减函数，F(x)maxF(10)4lg 104102<0，满足，应选B.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是B1C的中点，动点M在其外表上运动，且与平面A1DC1的距离保持不变，运行轨迹为S，M从P点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x与lMA1MC1MD之间满足函数关系lf(x)，那么此函数图象大致是()答案D解析连接AB1，AC.由题意可知点M的运行轨迹是B1AC，不妨设M从P点出发，沿PCAB1P运行，设AC的中点为Q，AB1的中点为R.可知M从P运行到C的过程中，MA1MD从小变大，且MC1从小变大，即l从小变大，同理可知M从C到Q，l从大变小；M从Q到A，l从小变大；M从A到R，l从大变小；M从R到B1，l从小变大；M从B1到P，l从大变小应选D.11某房地产公司方案出租70套相同的公寓房当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，那么要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为_元答案3300解析设利润为y元，租金定为300050x(0x70，xN)元那么y(300050x)(70x)100(70x)(290050x)(70x)50(58x)(70x)502204800，当且仅当58x70x，即x6时，等号成立，故每套房每月租金定为30003003300(元)时，公司获得最大利润12一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xN*)件当x20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，那么y(万元)与x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)答案y(xN*)16解析当0<x20时，y(33xx2)x100x232x100；当x>20时，y260100x160x.故y(xN*)当0<x20时，yx232x100(x16)2156，当x16时，ymax156.而当x>20时，160x<140.故x16时取得最大年利润二、高考小题13(2022·四川高考)某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入假设该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2022年 B2022年C2022年 D2021年答案B解析设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元根据题意得130(112%)n1>200，那么lg 130(112%)n1>lg 200，lg 130(n1)lg 1.12>lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12>lg 22，0.11(n1)×0.05>0.30，解得n>.又nN*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2022年应选B.14(2022·北京高考)汽车的“燃油效率是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况以下表达中正确的选项是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确15(2022·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)假设该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，那么该食品在33 的保鲜时间是()A16小时 B20小时C24小时 D28小时答案C解析由题意得即所以该食品在33 的保鲜时间是ye33kb(e11k)3eb3×19224(小时)16(2022·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购置水果的总价到达120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.当x10时，顾客一次购置草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，那么x的最大值为_答案13015解析顾客一次购置草莓和西瓜各1盒，原价应为6080140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x10时，顾客需要支付14010130(元)由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大而顾客要想得到优惠，最少要一次购置2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120x)元，所以(120x)×80%120×0.7，所以x15.即x的最大值为15.17(2022·浙江高考)我国古代数学著作?张邱建算经?中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，那么当z81时，x_，y_.答案811解析把z81代入方程组，化简得解得x8，y11.三、模拟小题18(2022·四川绵阳模拟)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如下图，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，假设鱼缸水深为h时水的体积为v，那么函数vf(h)的大致图象是()答案B解析vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，应选B.19(2022·贵阳模拟)某商场销售A型商品该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，那么此商品的定价(单位：元/件)应为()A4 B5.5 C8.5 D10答案C解析设定价为x元/件时，日均销售利润为y元，那么y(x3)·400(x4)·404021210，故当x8.5时，该商品的日均销售利润最大，应选C.20(2022·湖北荆州高三阶段考试)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)某家庭今年前四个月的煤气费如下表：月份一月份二月份三月份四月份用气量/m3452535煤气费/元441419假设五月份该家庭使用了22 m3的煤气，那么其煤气费为()A12.5元 B12元 C11.5元 D11元答案A解析由题意得C4.将(25,14)，(35,19)代入f(x)4B(xA)，得解得所以f(x)故当x22时，f(22)12.5.应选A.21(2022·河南洛阳模拟)某校为了标准教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0x100，且教职工平均月评价分数在50分左右，假设有突出奉献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大局部教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少那么以下函数最符合要求的是()Ay(x50)2500By10500Cy(x50)3625Dy5010lg (2x1)答案C解析由题意知，拟定的函数应满足：是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；在x50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y(x50)2500先减后增，不符合要求；B中，函数y10500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D中，函数y5010lg (2x1)是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y(x50)3625是由函数yx3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求应选C.22(2022·北京海淀月考)某公司为了开展业务制定了一个鼓励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元销售额x为64万元时，奖励4万元假设公司拟定的奖励模型为yalog4xb.某业务员想要得到8万元奖励，那么他的销售额应为_万元答案1024解析由题意，得函数yalog4xb过点(8,1)和(64,4)，那么即解得那么函数y2log4x2，某业务员要想得到8万元奖励，由2log4x28，解得x451024(万元)即他的销售额应为1024万元23(2022·石家庄二模)某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长记2022年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87假设f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.那么你认为最适合的函数模型的序号为_答案解析假设模型为f(x)2xa，那么由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与表格数据相差太大，不符合；假设模型为f(x)logxa，那么f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；假设模型为f(x)axb，由得解得所以f(x)x，xN*，将x2，x4代入验证可得f(x)的值与表中数据较为接近，所以最适合的函数模型的序号为.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2022·河南三门峡模拟)留鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为vablog3(其中a，b是实数)据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)假设这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，那么其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，v1log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，那么有v2，即1log32，即log33，解得Q270.所以假设这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，其耗氧量至少要270个单位2(2022·潍坊中学月考)中国“一带一路战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备生产这种设备的年固定本钱为500万元，每生产x台，需另投入本钱c(x)(万元)，当年产量缺乏80台时，c(x)x240x(万元)；当年产量不小于80台时，c(x)101x2180(万元)假设每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？解(1)当0<x<80时，y100x500x260x500；当x80时，y100x5001680.所以y(2)当0<x<80时，y(x60)21300，所以当x60时，y取得最大值，最大值为1300万元；当x80时，y1680168021500，当且仅当x，即x90时，y取得最大值，最大值为1500万元综上，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大，最大利润为1500万元3(2022·盐城中学期末)某校为丰富师生课余活动，方案在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地如图，点M在AC上，点N在AB上，且点P在斜边BC上ACB60°，|AC|30米，|AM|x米，x10,20设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影局部)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数) (1)试用x表示S，并求S的取值范围；(2)求总造价T关于面积S的函数Tf(S)；(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?解(1)在RtPMC中，显然|MC|30x，PCM60°，|PM|MC|tanPCM(30x)，矩形AMPN的面积S|PM|·|AM|x(30x)，x10,20，由x(30x)2225，可知当x15时，S取得最大值为225，当x10或20时，S取得最小值为200，200S225.(2)矩形AMPN健身场地造价T137k，又ABC的面积为450，草坪造价T2(450S)总造价TT1T225k，200S225.(3)12，当且仅当，即S216时等号成立，此时x(30x)216，解得x12或x18.选取|AM|为12米或18米时总造价T最低4(2022·广东揭阳高三阶段测试)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是10,100(单位：万元)现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)假设建立函数模型f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：()yx1；()ylog2x2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求解(1)设奖励函数模型为f(x)，那么该函数模型满足的条件是：当x10,100时，f(x)是增函数；当x10,100时，f(x)5恒成立；当x10,100时，f(x)恒成立(2)(a)对于函数模型()yx1，它在10,100上是增函数，满足条件；但当x80时，y5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件；故该函数模型不符合公司要求(b)对于函数模型()ylog2x2，它在10,100上是增函数，满足条件，x100时，ymaxlog210022log25<5，即f(x)5恒成立满足条件，设h(x)log2x2x，那么h(x)，又因为x10,100，所以，所以h(x)<0，所以h(x)在10,100上是递减的，因此h(x)h(10)log2104<0，即f(x)恒成立，满足条件，故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型()ylog2x2符合公司要求