届高考数学一轮复习第章导数及其应用第讲导数的简单应用作业试题含解析新人教版.doc
第三章 导数及其应用第二讲导数的简单应用练好题考点自测1.2021陕西模拟假设函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)上单调递增,那么k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)2.以下说法错误的选项是()A.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的B.假设x0是可导函数y=f(x)的极值点,那么一定有f '(x0)=0C.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值D.函数f(x)=xsin x有无数个极值点3.2022全国卷,5分假设x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,那么 f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1图3-2-14.多项选择题函数y=f(x)的导函数的图象如图3-2-1所示,那么以下说法正确的选项是()A.(0,3)为函数y=f(x)的单调递减区间B.(5,+)为函数y=f(x)的单调递增区间C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值5.2021河南省名校第一次联考函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取极大值,那么c=. 6.2021武汉市局部学校质检设函数f(x)=ln在区间-,上的最小值和最大值分别为m和M,那么m+M=. 拓展变式1.2022全国卷,12分函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)x3+1,求a的取值范围.2.函数g(x)=x3-x2+2x+5.(1)假设函数g(x)在(-2,-1)内单调递减,那么a的取值范围为; (2)假设函数g(x)在(-2,-1)内存在单调递减区间,那么a的取值范围为; (3)假设函数g(x)在(-2,-1)上不单调,那么a的取值范围为. 3.2022北京,13分函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,上的最大值和最小值.4.2022广西桂林三校联考函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.(1)函数g(x)=f(x)-ax2+1,在其定义域上g(x)0恒成立,求实数a的最小值;(2)当a>0时, f(x)在区间1,e上的最小值为-2,求实数a的取值范围.5.2021湖南名校大联考假设f(x)为定义在R上的偶函数,当x(-,0时,f'(x)+2x>0,那么不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3的解集为()A.(,+) B.(-,-3)C.(-,-)D.(-,+)答 案第二讲导数的简单应用1.D因为f(x)=kx-ln x,所以f '(x)=k-.因为f(x)在区间(1,+)上单调递增,所以当x>1时,f '(x)=k-0恒成立,即k在区间(1,+)上恒成立.因为x>1,所以0<<1,所以k1.应选D.2.A对于A选项,函数在某区间上或定义域内的极大值不一定是唯一的,如f(x)=sin x在定义域内有无数个极大值点,故A错误;对于B选项,假设x0是可导函数y=f(x)的极值点,那么一定有f '(x0)=0,故B正确;对于C选项,显然正确;对于D选项,函数f(x)=xsin x的导数f '(x)=sin x+xcos x,令f '(x)=0,那么x=-tan x,因为y=x与y=-tan x的图象有无数个交点,故函数f(x)=xsin x有无数个极值点,故D正确.选A.3.A因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f '(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f '(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f '(x)>0,解得x<-2或x>1,令f '(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以当x=1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值=f(1)=-1,应选A.4.BD由函数y=f(x)的导函数的图象可知,当x<-1或3<x<5时,f '(x)<0,y=f(x)单调递减,当-1<x<3或x>5时,f '(x)>0,y=f(x)单调递增,由此可知A错误,B正确;函数y=f(x)在x=-1,x=5处取得极小值,在x=3处取得极大值,因此可知C错误,D正确.应选BD.5.6解法一由题知,f '(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),当c0时,不合题意,故c>0.当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,)(,c)c(c,+)f '(x)+0-0+f(x)极大值f()极小值f(c)故=2,c=6.解法二由题知,f ' (x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),那么f '(2)=(2-c)(6-c)=0,解得c=2或c=6,经检验,c=2不合题意,故c=6.6.-2ln 2令g(x)=,x-,那么g'(x)=,因为x-,所以sin x-,所以g'(x)>0,那么g(x)在-,上单调递增,所以f(x)在-,上单调递增,因为g(-)=,g()=,所以f(x)的最小值与最大值的和m+M=ln+ln=ln=-2ln 2.1.(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f '(x)=ex+2x-1.故当x(-,0)时,f '(x)<0;当x(0,+)时,f '(x)>0.所以f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.(2)f(x)x3+1等价于(x3-ax2+x+1)e-x1.设函数g(x)=(x3-ax2+x+1)e-x(x0),那么g'(x)=-(x3-ax2+x+1-x2+2ax-1)e-x=-xx2-(2a+3)x+4a+2e-x=-x(x-2a-1)(x-2)e-x.(i)假设2a+10,即a-,那么当x(0,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2)上单调递增,而g(0)=1,故当x(0,2)时,g(x)>1,不合题意.(ii)假设0<2a+1<2,即-<a<,那么当x(0,2a+1)(2,+)时,g'(x)<0;当x(2a+1,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+)上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)1当且仅当g(2)=(7-4a)e-21,即a.所以当a<时,g(x)1.(iii)假设2a+12,即a,那么g(x)(x3+x+1)e-x.由于0,),故由(ii)可得当a=0时,g(x)=(x3+x+1)e-x1.故当a时,g(x)1.综上,a的取值范围是,+).2.因为g(x)=x3-x2+2x+5,所以g'(x)=x2-ax+2.(1)(-,-3解法一因为g(x)在(-2,-1)内单调递减,所以g'(x)=x2-ax+20在(-2,-1)内恒成立.所以即解得a-3.即实数a的取值范围为(-,-3.解法二由题意知x2-ax+20在(-2,-1)内恒成立,所以ax+在(-2,-1)内恒成立,记h(x)=x+,那么x(-2,-1)时,-3<h(x)-2,所以a-3.即实数a的取值范围为(-,-3.(2)(-,-2)因为函数g(x)在(-2,-1)内存在单调递减区间,所以g'(x)=x2-ax+2<0在(-2,-1)内有解,所以a<(x+)max.又x+-2,当且仅当x=即x=-时等号成立,所以满足要求的a的取值范围是(-,-2).(3)(-3,-2)由(1)知g(x)在(-2,-1)上单调递减时,a的范围是(-,-3.假设g(x)在(-2,-1)上单调递增,那么ax+在(-2,-1)上恒成立,又在(-2,-1)上y=x+的值域为(-3,-2,所以a的取值范围是-2,+),所以函数g(x)在(-2,-1)上单调时,a的取值范围是(-,-3-2,+),故g(x)在(-2,-1)上不单调时,实数a的取值范围是(-3,-2).3.(1)因为f(x)=excos x-x,所以f '(x)=ex(cos x-sin x)-1,f '(0)=0.又f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,那么h'(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当x0,时,h'(x)0,当且仅当x=0时“=成立,所以h(x)在区间0,上单调递减.所以对任意x0,有h(x)h(0)=0,即f '(x)0,当且仅当x=0时“=成立.所以函数f(x)在区间0,上单调递减.因此f(x)在区间0,上的最大值为f(0)=1,最小值为f()=-.4.(1)由题意得g(x)=ln x-(a+2)x+10在(0,+)上恒成立,因为x>0,所以a+2在(0,+)上恒成立.设h(x)=(x>0),那么h'(x)=,令h'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增;当x>1时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减.因此h(x)max=h(1)=1,所以a+21,即a-1.于是所求实数a的最小值为-1.(2)对f(x)求导,得f '(x)=2ax-(a+2)+=(x>0,a>0),令f '(x)=0,得x1=,x2=.当0<1,即a1时,因为x1,e,所以f '(x)0, f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=-2,符合题意;当1<<e,即<a<1时,因为x1,e,所以当x1,)时,f '(x)<0,f(x)单调递减,当x(,e时, f '(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f()<f(1)=-2,不符合题意,舍去;当e,即0<a时,因为x1,e,所以f '(x)0, f(x)单调递减,所以f(x)min=f(e)<f(1)=-2,不符合题意,舍去.综上可知,实数a的取值范围为1,+).5.D令g(x)=f(x)+x2,因为f(x)为定义在R上的偶函数,所以g(x)也是定义在R上的偶函数,g'(x)=f'(x)+2x,当x(-,0时,g'(x)=f'(x)+2x>0,所以g(x)在(-,0上单调递增,所以当x(0,+)时,g(x)单调递减.g(x+1)=f(x+1)+(x+1)2,g(x+2)=f(x+2)+(x+2)2,所以不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3,可化为f(x+1)+(x+1)2>f(x+2)+(x+2)2,(题眼)即g(x+1)>g(x+2),所以|x+1|<|x+2|,解得x>-,应选D.
