2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题.doc

2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1a,b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合 P中仍为x，则a+b的值等于（ ）A1 B0 C1 D2若函数满足，则的解析式是（ ）A B C D3若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为（ ）A B C D4已知数列的前n项和分别为，记 则数列的前10项和为（ ）A B C D5如图1，设P为ABC内一点，且， 则ABP的面积与ABC的面积之比为（ ）A B C D6若 则角的取值范围是（ ） A B C D7袋中装有m个红球和n个白球，m>n4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n40的数组（m,n）的个数为（ ） A3 B4 C5 D68已知实系数一元二次方程的两个实根为且则的取值范围是 （ ）A B C D9如图2，在正方体中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l， 使l与平面ABCD和平面AB均成角，则这样的直线l的条数为 （ ） A1 B .2 C3 D .410如图3，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T延长FT交双曲线右支于P点若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则与的大小关系为 （ ）A B C D不确定二、填空题（每十题6分，共30分）11已知为锐角，且，则 12用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为，能包容此框架的最小球的半径为，则等于 13设是以2为周期的奇函数，且，若则的值是 14若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为 15设则S的最大值为 第二试一、（50分）设是函数的反函数图象上三个不同点，且满足的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围.二、（20分）已知x、y、z均为正数 （1）求证： （2）若,求的最小值三、（20分）已知,设,记 （1）求 的表达式; （2）定义正数数列。试求数列的通项公式。四、（30分）如图4，ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H,设D、E分别为内切圆I与边BC、CA的切点，求证：D、H、E三点共线五、（30分）如图5，已知抛物线C：，F为C的焦点，l为准线，且l交x轴于E点，过点F任意作一条直线交抛物线C于A、B两点。（1）若，求证：；（2）设M为线段AB的中点，P为奇素数，且点M到x轴的距离和点M到准线l的距离均为非零整数，求证：点M到坐标原点O的距离不可能是整数。参考答案1C 由题设得M=P，从而。2B 由，于是3D 因为 解得4C 当时， 故5A 如图1，设 ，由平行四边形法则知 NP/AB，所以，6C 方法1：由因为 方法2：原不等式可变形为 构造函数， 则原不等式为易知在R上是增函数，因此。注 意到，解得7A 记“取出两个红球”为事件A，“取出两个白球”为事件B，“取出一红一白两 球”事件C，则。依题得P（A）+P（B）=P（C），即Cm2+Cn2=Cm1Cn1。所以m+n=（mn）2，从而m+n为完全平方 数，又由，得 所以，解之得（m，n）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）。故符合题意的数组（m，n）有3个。8D 设 在直线坐标平面aOb上作出上述不等式所表示平面区域如图2中阴影部分所示（不含边 界），两直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点为P（2，1）。 表示经过坐标原点O和可行域内的点（a，b）的直线l的斜率。显然，当l过点P （2，1）时，斜率为；当l与直线平行时，斜率为2。所以 9B 由于二面角C1ABD的平面角为45，所以在这个二面角及它的“对顶”二面 角内，不存在过点P且与面ABCD和面ABC1D1均成30的直线。转而考虑它的补二面 角，易知过点P有且仅有两条直线与面ABCD和面ABC1D1均成30。故满足条件的直 线l有2条。10B 如图4，设双曲线的右焦点为F，连结PF、OT，在RtOTF中，由|OF|=c，|OT|=a（c为双曲线的半焦距），得|TF|=b，于是，根据三角形中位线定理及双曲线定义，得|MO|MT|=二、填空题（每小题6分，共30分。把答案填在题中的横线上）11 方法1：由题设及三倍角的斜弦公式，得故方法2：设故12 依题意，R1为这个正四面体框架的棱切球半径，R2为外接球半径。易知，棱切球的直径即为正四面体对棱之间的距离；又外接球的半径为，所以，。133 因为为锐角，所以是以2为周期的奇函数，且，所以14 由a2b+c=0知，直线过定点P（1，2）。又点P在椭圆上，所以P为所截线段的一个端点，设另一端点为Q（x1，y1），线段PQ的中点为M（x0，y0），则。因为点 Q（x1，y1）在椭圆上，所以=1。故得中点M轨迹方程为152 由题设得于是S33S20，即（S2）（S+1）20，得S2。当，y=4时取等号。第二试一、选择题（每小题5分，共50分）【解】的反函数为。于是，由，得。此方程等价于。 5分（1）当=0，即时，方程有唯一实根。 10分（2）当>0，即时，方程有两个实根显然，满足条件，从而应有 15分而a=0时，点P、Q重合，所以a>0。综上所述，实数a的取值范围为。20分二、（本题满分20分）【解】（1）因为x，y，z无为正数。所以；5分同理可得当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立。将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得10分（2）因为x，y，z均为正数，且由（1）的结论，得当且仅当x=y=z，且时，以上等号都成立，故 20分三、（本题满分20分）【解】（1）由，所以 5分于是，10分（2）因为，即15分因此，是首项为2，公比为的等比数列。所以 20分四、（本题满分30分）【证法1】如图5，设直线BI与CA边相交于K点，连结AI、DI、EI、DH、EH。因为BDI=AHB，IBD=ABH，所以IBDABI有 10分又因为HBD=ABI，所以HBDABI有BHD=BAI 20分因为AEI=AHI=90，所以A、E、H、I四点共圆，有EHK=EAI 由、及BAI=EAI，得BHD=EHK。故D、H、E三点共线。 30分【证法2】如图5，连结DE、EH、AI、EI。因为AEI=AHI=90，所以A、E、H、I四点共圆，有AEH=AIB 10分又因为I为ABC的内心，所以AIB=90+C. 从而AEH=90+C. 20分因为CD=CE，所以于是AEH+DEC=180，故D、H、E三点共线。30分五、（本题满分30分）【解】（1）方法1：点F的坐标为（p，0），设直线l的方程为得 设，则y1、y2是方程的两个根，有由因为，又所以故 10分方法2：如图6，设点A、B在准线l上的射影分别为A、B，则|AF|=|AA|，|BF|=|BB|。从而，由因为又故 10分（2）设M（x，y），依题意x、y均为非零整数，由对称性，不防设x，y，则 因为点M在直线AB上，所以x=my+p 由、消去m，得 假设|OM|=r为正整数，则 因为p为奇质数，所以由知，p|y，从而p|x。于是，由知p|r。令，则有。消去y1，得即又有相同的奇偶性，且所以从而y1=0，于是y=-0，这与y为正整数矛盾。故点M到坐标顶点O的距离不可能是整数。