届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第讲直线与圆圆与圆的位置关系配套练习文北师大版.doc
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1(2022·全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，那么a()A B C. D2解析由圆的方程x2y22x8y130得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d1，解之得a.答案A2(2022·景德镇模拟)过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，那么该切线的方程为()A2xy50 B2xy70Cx2y50 Dx2y70解析过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，点(3,1)在圆(x1)2y2r2上，圆心与切点连线的斜率k，切线的斜率为2，那么圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70.应选B.答案B3圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，那么实数a的值是()A2 B4 C6 D8解析将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1,1)，半径r，圆心到直线xy20的距离d，故r2d24，即2a24，所以a4，应选B.答案B4圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有()A1个 B2个 C3个 D4个解析圆的方程化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线距离d，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点答案C5(2022·福州模拟)过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，那么AB所在直线的方程为()Ay By Cy Dy解析圆(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y. 应选B.答案B二、填空题6(2022·全国卷) 直线l：xy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，那么|CD|_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y23y60，解得y1，y22，A(3，)，B(0,2)过A，B作l的垂线方程分别为y(x3)，y2x，令y0，得xC2，xD2，|CD|2(2)4.答案47(2022·兰州月考)点P在圆C1：x2y28x4y110上，点Q在圆C2：x2y24x2y10上，那么|PQ|的最小值是_解析把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(2，1)，半径是2.圆心距d3.所以，|PQ|的最小值是35.答案358(2022·铜川一模)由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，那么切线长的最小值为_. 解析设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，那么|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心M的最小距离设圆心到直线yx1的距离为d，那么d2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|.答案三、解答题9(2022·全国卷)过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)假设·12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)易知圆心坐标为(2,3)，半径r1，由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.10直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不管k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长法一(1)证明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因为(24k)228(k21)>0，所以不管k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令t，那么tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.法二(1)证明因为不管k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|<2R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不管k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不管k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.11(2022·衡水中学月考)两圆x2y22axa240 和x2y24by14b20恰有三条公切线，假设aR，bR且ab0，那么的最小值为()A1 B3 C. D.解析x2y22axa240，即(xa)2y24，x2y24by14b20，即x2(y2b)21.依题意可得，两圆外切，那么两圆圆心距离等于两圆的半径之和，那么123，即a24b29，所以1，当且仅当，即a±b时取等号答案A12(2022·山东卷)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，那么反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析由，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，那么反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，那么有d1，解得k或k，应选D.答案D13曲线C：x，直线l：x6，假设对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得0，那么m的取值范围为_解析曲线C：x，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xP2,0，对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得0，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x6，m2,3答案2,314(2022·湖南省东部六校联考)直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？假设存在，请求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由解(1)设圆心C(a,0)，那么2a0或a5(舍)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.假设x轴平分ANB，那么kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立.
