2022年高考数学 黄金易错点专题汇编 专题05 三角函数.doc

2014年高考数学黄金易错点专题汇编：专题05 三角函数1.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 。2函数f(x)=sinx+2|sinx|,x（0，2）的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是 .3要得到函数y=cosx的图像，只需将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的 ( ) A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度 B横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度4设函数f(x)=sin(2x+)(-<<0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=. (1)求； (2)求函数y=f(x)的单调增区间； 5设为第四象限的角，若，则tan2= . 6已知-<x<0，sinx+cosx=， (1)求sinx-cosx的值； (2)求的值7已知6sin2+sincos-2cos2=0，求sin(2+)的值 8在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0()将十字形的面积表示为的函数；()为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?9若0<x<，则2x与3sinx的大小关系为 ( ) A2x>3sinx B2x<3sinx C2x=3sinx D与x的取值有关2【错误答案】 填0，3 f(x)= f(x)的值域为(0，3)，f(x)与y=k有交点， k0，3 【正确解答】 选C 将函数y=sin(2x+)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=sin(x+)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=sin(x+)= cosx的图像故选C 4 【错误答案】 (1)x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，sin(2×+)=±1， + =k+k Z =k+ ，-<<0， =-5 【错误答案】 填± 【正确解答】 解法1 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .又- <x<0，sinx<0，cosx>0，sinx-cosx<0sinx-cosx= (2)解法2 (1)联立方程由得slnx=-cosx，将其代入，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，cosx=-或(cosx=)- <x<0，故sinx-cosx=-( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 7【错误答案】 由已知得(3sin+2cos)(2sin-cos)=03sin+2cos=0或2sin-cos=0 tan=-或tan=又sin(2+)=sin2cos+cos2·sin =sincos+(cos2-sin2)=将tan=-代入上式得sin(2+)=将tan=时代入上式得即【易错点点睛】 上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用，(,)，tan<0，tan=应舍去，因此原题只有一解 8【错误答案】 设S为十字形的面积，则S=2xy=2sin· cos=sin2(<) (2)当sin2=1即= 时，S最大，S的最大值为1【易错点点睛】 上面解答错在面积S的计算上，因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为 x的正方形面积 【正确解答】 (1)设S为十字形的面积，则S=2xy-x2=2sincos-cos2(<< ) (2)解法1 S=2sincos-cos2=sin2-cos2,其中=1，即2-=时，S最大当=时，S最大，S的最大值为 解法2 S=2sincos-cos2，S=2cos2- 2sin2+2sin·cos=2cos2+sin2 令S=0即2cos2+sin2=0， 可解得=arctan(-2)当=arctan(-2)时，S最大，S的最大值为 易错起源1、三角函数的图象和性质 例1求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间.【错误答案】 当时，函数y有最小值-2. 当时，函数单调递增. 函数递增区间是.利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值)，应以基本的三角函数图像y= sinx，y=cosx，y=tanx为基础，在研究单调性要注意复合函数(如y=1-sin(x+)，y=sin(-2x)， y=log sin(2x+)的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+， -2x，2x+,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题y=Asin(x+)与y=sinx图像间的关系：由y=sinx图像可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平移要注意顺序不同，平移单位也不同 易错起源2、 三角函数的恒等变形 例2若函数f(x)=cos(- )的最大值为2，试确定常数a的值 【错误答案】 f(x) =sinx的最大值为1，a=3由于三角函数式中包含着各种角，不同的三角函数的种类，以及不同的式了结构，所以三角函数配凑、降次与升幂、引入辅助角等.同时在三角恒等变形中应多观察，以便发现角、三角函数名称及式子结构差异，运用公式，找出差异的内在联系，选择适当的公式促使差异的转化.另外，由于公式记错而在考试中失分是很常风的，应该熟练掌握各种要求记的公式及其使用范围。易错起源3、三角函数的综合应用 例3设函数f(x)=xsinx(xR)(1)证明f(x+2k)f(x)=2ksinx其中kZ；(2)设x0是f(x)的一个极值点证明f(x0)2=； (3)设f(x)在(0，+)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2，an，证明：<an+1-an< 【错误答案】 (1)证明：由函数f(x)的定义，对任意整数k，有f(x+2k)-f(x)=(x+2k)·sin(x+2k)- xsinx=(x+2k)sinx-xsinx=2karsinx(2)函数f(x)在定义域R上可得f(x)=sinx+ xcosx令f(x)=0，sinx+xcosx=0显然，对于满足上述方程的x有cosx0，上述方程化简为x=-tanx，此方程一定有解,f(x)的极值点x0一定满足tanx0=-x0· (3)证明：设x0>0是f，(x0)=0的任意正实根即x0 =-tax0，则存在一个非负整数k，使x0(+k，+ k)即x0在第二或第四象限内 由题设条件，a1，a2，an为方程x=-tanx的全部正实根,且满足a1<a2<a3，an，那么对于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)·tan(an+1-an) 由于+(n-1)<an<+(n-1)，+n< an+1<+n，则<an+1-an< 由于tanan+1·tanan>0，由式知tan(an-1，-an)< 0由此可知an+1-an必在第二象限 <an+1-an< (3)证明：设x0>0是f(x)=0的任意正实根，即x0-tanx0，则存在一个非负整数k，使x0(+k，+k)，即x0在第二或第四象限内由式f(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：X()f(x)的符号K为奇数-0+K为偶数+0-所以满足f(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点由题设条件，a1,a2，an为方程x=-tanx的全部正实根且满足a1<a2<<an<那么对于n=1，2， an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)<an<+(n-1)，+n<an+1<+n，则<an+1-an<,由于tanan+1·tanan>0，由式知tan(an+1-an)<0由此可知an+1-an必在第二象限，即an+1-an<.综上，<an+1-an< 处理与角度有关的应用问题时，可优先考虑三角方法，其一般步骤是：具体设角、构造三角函数模型，通过三角变换来解决另外，有些代数问题，可通过三角代换，运用三角知识来求解有些三角问题，也可转化成代数函数，利用代数知识来求解。 1. 已知x，cos2x=a，则sinx ( ) A B-C D 2.已知的值为 ( ) A. B. C. D.3. 设，则有 ( ) AO>b>c BO<b<c CO<c<6 D6<c<O 4. 函数y=4sin(wx+)w(wx-)(w>0)的图像与直线y=3在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，且|P3P5|=，则w等于( ) A4 B1 C2 D.5.已知f()=,则f()取得最大值时的值是 ( ) A BC D6. 若sin+cos=tan(0<<)，则( ) 7.的值是 . 8. 函数y=(sin-2x)的单调减区间是 . 9 . 求函数f(x)=的最小正周期、最大值和最小值 10. 已知函数y=Asin(w+)(xR)(其中A>O,w>0)的图像在y轴右侧的第一个最高点为M(2，2)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(0,0) (1)求这个函数的解析式；(2)此函数可以由y=sinx经过怎样的变换得到?(写出每一个具体变换) 11. 已知三点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)C(cos，sin)，kZ，若=-1，求的值 12. 已知向量a= (1)若f(x)=(a+b)2，求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的最大值和最小值； 13. 已知为第二象限的角，sin=，为第一象限的角，cos=，求tan(2-)的值 14.如图所示，有一农民在自留地建造一个长10 m，深05 m，横截面为等腰梯形的封闭式引水槽侧面材料每平方米造价50元，顶盖材料每平方米造价10元 (1)把建立引水槽的费用y(元)表示为引水槽的侧面与地面所成的角DAE=的函数；(2)引水槽的侧面与地面所成的角多大时，其材料费最低?最低材料费是多少?(精确到001，1732)(3)按照题没条件，在引水槽的深度和横截面积及所在的材料不改变的情况下，将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与(2)中所求得的材料费相比较，哪一种设计所用材料费更省?省多少?6. 答案： C 解析：0<+<+，sin(+)(，1)sina+cos=sin(+)(1，)，即tan(，)故()(2) y=2sin()11. 答案：解：由=（cos-3,sin）,=(cos,sin-3)得(cos-3)cos+sin(sin-3)=-1sin+cos= 又由式两边平方得1+2sincos=,2sincos=-14. (1)答案：作AHCD，垂足为H，则AH=,ADH=AH(AB+CD).即(2)答案：